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Complete category수학에서 완전한 범주는 모든 작은 한계가 존재하는 범주다.즉, 모든 도표 F : J → C(J가 작은 경우)에 C의 한계가 있으면 범주 C가 완성된다.한 달에 한 번씩, 모든 소형 콜리미트가 존재하는 범주가 된다.완전한 범주는 완전하고 완전한 범주다.
(J가 적절한 계급인 경우에도) 모든 한계의 존재는 너무 강해서 실질적으로 관련성이 없다.이 속성을 가진 어떤 범주는 반드시 얇은 범주로 되어 있다. 어떤 두 물체에 대해서도 한 물체에서 다른 물체까지 최대 한 가지 형태론이 존재할 수 있다.
완결성의 약한 형태는 유한한 완전성의 형태다.모든 유한한 한계(즉, 유한한 범주 J에 의해 지수화된 도표의 한계)가 존재하는 경우 범주는 정밀하게 완전하다.모든 유한한 콜리미트가 존재한다면, 한 범주는 완전하게 완성된다.
정리
범주가 (모든 형태 쌍 중) 이퀄라이저와 모든 (소형) 제품을 가질 경우에만 완전한 범주가 되는 것은 존재의 정리로부터 따른다.이퀄라이저는 풀백과 바이너리 제품으로 구성될 수 있으므로(대각 Δ를 따라 (f, g) 풀백을 고려한다), 풀백과 제품이 있는 경우에만 범주가 완성된다.
일반적으로 범주는 동일제 및 모든 (소형) 조합물 또는 동등한 푸시아웃과 조합물이 있는 경우에만 완전하다.
유한한 완전성은 여러 가지 면에서 특징지어질 수 있다.범주 C의 경우, 다음은 모두 동등하다.
이중 진술 또한 동일하다.
작은 범주 C는 전체인 경우에만 완료된다.[1]작은 완전한 범주는 반드시 얇다.
태아 범주는 모든 이퀄라이저와 동등분자를 빈 상태로 가지고 있으며, 모든 (마인드) 제품이 있는 경우에만 완료되는 경우(마지막으로) 그리고 다달이 코콤플렉스에 대해 완료된다.정밀도 제한이 없으면 모든 제품이 포함된 실증 범주는 자동으로 완전하게, 그리고 한 달에 한 번씩 완전 격자(complete lattice)에 대한 정리에 의해 완성된다.
예제 및 비표본
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- 다음 범주는 완전하다.
- 다음 범주는 완전하고 완전하지만 완전하거나 완전하지는 않다.
- 모든 (이전)아벨라비아 범주는 완전하고 완전하다.
- 완전 래티스의 범주는 완전하지만 완전하지는 않다.
- 미터법 공간 범주 Met은 완전하지만 2진법이나 무한 제품이 없다.
- 필드의 범주인 필드는 완전하지도 완전하지도 않다.
- 작은 범주로 간주되는 포셋은 완전한 격자일 경우에만 완전하다(그리고 cocomful).
- 모든 서수 번호의 부분적으로 순서가 지정된 클래스는 완전하지만 완전하지는 않다(단자 객체가 없기 때문에).
- 단일 객체를 가진 범주로 간주되는 그룹은 사소한 경우에만 완성된다.비경쟁 그룹에는 풀백과 푸시아웃이 있지만 제품, 공동 유도체, 이퀄라이저, 동급제, 단자 객체 또는 초기 물체는 없다.
참조
- ^ 추상적이고 구체적인 범주, 지지 아다멕, 호르스트 에를리히, 조지 E.Strecker, 정리 12.7, 213페이지
- ^ Riehl, Emily (2014). Categorical Homotopy Theory. New York: Cambridge University Press. p. 32. ISBN 9781139960083. OCLC 881162803.
추가 읽기
- Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
- Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 ((2nd ed.) ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
