반지 완성

추상 대수학에서 완성은 완전한 위상학적 링과 모듈을 야기하는 링과 모듈에 관련된 몇 가지 관련 펑터 중 하나이다.완성은 국산화(localization)와 유사하며, 이들과 함께 조합 링을 분석하는 데 있어 가장 기본적인 도구에 속한다.완전한 교감반지는 일반반지보다 구조가 단순하며 헨젤의 보조마법이 적용된다.대수 기하학에서, 공간 X의 함수 R의 완성은 X 지점의 공식적인 근린에 집중한다: 휴리스틱하게, 이곳은 너무 작은 근린이라 그 지점에 중심을 둔 모든 테일러 시리즈가 수렴된다.대수적 완성은 Cauchy 시퀀스를 가진 미터법 공간의 완성과 유사한 방식으로 구성되며, R이 비아키메데스 절대값으로 주어진 미터법을 갖는 경우 이에 동의한다.null

일반건설

E가 하행 여과가 있는 아벨 그룹이라고 가정하자.

${\displaystyle E=F^{0}E\supset F^{1}E\supset F^{2}E\supset \cdots \,}$

부분군의그런 다음 (여과와 관련된) 완료를 역 한계로 정의한다.

${\displaystyle {\widehat{E}=\varprojlim(E/F^{n}E).\,}$

이것은 다시 아벨 그룹이다.보통 E는 첨가 아벨 그룹이다.예를 들어 E가 여과와 호환되는 추가적인 대수적 구조를 가지고 있다면, 예를 들어 E는 여과된 링, 여과된 모듈 또는 여과된 벡터 공간인 경우, 그것의 완성은 여과로 결정된 위상에서 완성되는 동일한 구조를 가진 물체가 된다.이 구조는 정류 링과 비 정류 링 모두에 적용될 수 있다.예상할 ${\displaystyle {}^{}}$ 있듯이, $F{\displaystyle {}^{}}$I E {\$displaystyle F^{i}$E}의$$ 교차점이 0일 때, 이것은 완전한 위상학적 고리를 생성한다.null

크룰 위상

정류 대수학에서 적절한 이상적인 힘에 의한 정류 링 R의 여과 나는 R의 Krull 위상(볼프강 크롤 이후)이나 I-adic 위상(R의 I-adic 위상)을 결정한다.최대 이상 $I{\displaystyle }$= ${\displaystyle m\mathfrak{}}$ ${\$ I$={\mathfrak{m}}$의 경우는 특히 중요한데$$, 예를 들어 평가 링의 현저한 최대 이상이다.R에서 0의 개방적 인접성의 기초는 Iⁿ 세력에 의해 주어지며, 이 세력은 중첩되어 R:에 대한 내림 여과를 형성한다.

${\displaystyle F^{0}R=R\supset I^{2}\supset \cdots,\quad F^{n}R=I^{n}}}$

(r ∈ R의 개방된 이웃은 코스메츠 r + I에ⁿ 의해 주어진다.)완성은 요인 링의 역한계,

${\displaystyle {\widehat{R}_{I}=\varprojlim(R/I^{n}})}$

"R I hat"으로 발음한다.링에서 완성에 이르는 표준 지도 π의 낟알은 I의 힘의 교차점이다.따라서 π은 이 교차점이 링의 0 원소로 감소하는 경우에만 주입된다; 크롤 교차점 정리에서는 통합 영역 또는 국부 링 중 하나인 모든 정류형 노메트리안 링에 대한 경우가 이에 해당한다.null

R-모듈에는 Krull 또는 I-adic 위상이라고도 하는 관련 위상이 있다.모듈 M의 개방된 주변 환경의 기본은 양식 세트에 의해 제공된다.

${\displaystyle x+I^{n}M\quad {\text{}x\in M의 경우}$

R-모듈 M의 완성은 인수의 역한계다.

${\displaystyle {\widehat{M}_{I}=\varprojlim(M/I^{n}M).}$

이 절차는 R을 통한 모든 모듈을 $R{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$를 통한 완전한 위상학적 모듈로 변환한다$.$

예

• p-adic 정수 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathb{$$Z$$}$$_{p}}$의 링 $정수$를 이상적인 (p)에서$$완성하여 얻는다$$$.$

• R = K[x₁,...,x_n]를 필드 $K$와 m${\displaystyle }$= ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ )에 대한 n 변수의 다항식 링으로 한다. ${\displaystyle {\mathfrak{m}=(x_{1},\ldots ,x_{n})$는 변수에 의해 생성되는 최대 이상이다$$.그런 다음 $완료{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ R${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\displaystyle m_{\mathfrak{}}}$ ${\${\$widehat{R}_{\mathfrak{m}}}$은(는) K보다 n개 변수에서 공식 파워시리즈의 링 K[[x₁,...,x_n]이다$$.

• 노메테리아 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$과 ${\displaystyle {이상적}_{}}$인 $I{\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ I$=(f_{1},\ldots,f_{n}),}}$$I$ ${\$$displaystyle I$} -adic$$ $완료{\displaystyle }$ R {\\$displaystystyle R}$은 특히 투척의^[1] 이미지이다.

${\displaystyle {\displaysty}R[[x_{1},\ldots ,x_{n}]\to {\widehat{R}}_{{{{}]에I}\\x_{i}\mapsto f_{i}\end{case}}}$

커널이 이상적이다$({\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$- f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$- f${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ ) .${\displaystyle (x_{1}-f_{1},\ldots,x_{n}-f_{n}).$$}$

또한 하나의 체계의 특이점의 국부적 구조를 분석하는 데 보완을 사용할 수 있다.For example, the affine schemes associated to ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)}$ and the nodal cubic plane curve ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x^{2}(1+x))}$ have similar looking singularities at the origin when viewing their graphs (both look l더하기 기호를 긋다두 번째 사례에서, 기원의 자리스키 근방은 여전히 되돌릴 수 없는 곡선이라는 것을 주목하라.만약 우리가 보완장치를 사용한다면, 우리는 노드가 두 개의 구성요소를 가지고 있는 "적어도 충분히 작은" 이웃을 보고 있는 것이다.Taking the localizations of these rings along the ideal ${\displaystyle (x,y)}$ and completing gives ${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]]/(xy)}$ and ${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]]/((y+u)(y-u))}$ respectively, where ${\displaystyle u}$$$ $C$[${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$, y ${\displaystyle ]}$에 있는$$ $x{\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 1}$+ $x$${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$ $x^{2}(1$$+x$$)}$의 공식 제곱근이다$.$$}$ 더 명시적으로$$, 파워 시리즈:

${\displaystyle u=x{\sqrt{1+x}}=\sum _{n=0}^{\n=0}^{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n+1}.$

두 고리 모두 동질적 도 1 다항식(多 poly式)에 의해 생성되는 두 가지 이상의 교차점에 의해 주어지기 때문에, 우리는 대수학적으로 특이점들이 똑같이 보이는 것을 볼 수 있다.그러한 계획은 아핀 평면의 두 개의 등가 선형 서브스페이스의 결합이기 때문이다.null

특성.

1.완성은 functorial 연산: 연속 지도 f: R → S 위상학적 링은 그 완성도를 발생시킨다.

${\displaystyle {\widehat{f}}\\widehat {R}\\to {\widehat {S}.}$

더욱이 M과 N이 동일한 위상학적 링 R과 f에 걸쳐 있는 두 모듈인 경우: M → N은 연속적인 모듈 맵이며 f는 다음과 같은 보완물의 맵으로 고유하게 확장된다.

${\displaystyle {\widehat{f}}\\widehat {M}\to {\widehat{N},}$

여기서 $M{\displaystyle \stackrel{}{}^,}$ ${\displaystyle N\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) $R{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$. ${\displaystyle {\widehat {R}}}$ 위에 있는 모듈이다.

2. 노에테리아 링 R의 완성은 R 위에 평평한 모듈이다.

3. 노메테리아 링 R을 통해 미세하게 생성된 모듈 M의 완성은 스칼라를 연장하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\widehat{M}=M\otimes _{R}{\widehat {R}}}$

이전의 속성과 함께, 이는 정밀하게 생성된 R-모듈의 완성의 functor가 정확하다는 것을 암시한다: 그것은 짧은 정확한 순서를 보존한다.특히, 반지의 인수를 취하는 것은 완료와 함께 통용되는데, 이는 모든 인수의 R-알지브라 $R{\displaystyle /I}$ ${\displaystyle R/I}$에 대해$$이형성이 있음을 의미한다.

${\displaystyle {\widehat {R/I}\cong {\widehat {R}/{\widehat {I}}.}$

4. 코언 구조 정리(등균박테리아 케이스).R은 최대 $이상{\displaystyle \mathfrak{}}$ m ${\$과(와) 잔류 필드 K를 가진 완전한 로컬 노메트리안 정류 링이 되도록 한다.R에 필드가 포함된 경우

${\displaystyle R\simeq K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I}$

어떤 n과 어떤 이상 I (아이젠버드, 정리 7.7)을 위해서.null

참고 항목

• 형식 계획
• 무한정 정수
• 로컬 압축 필드
• 자리스키 링
• 선형 위상
• 준비혼합고리

인용구

참조