실수의 완전성

직관적으로 완전성은 (데데데킨드의 용어로) 실수 라인에 '갑'이나 '누락점'이 없다는 것을 내포하고 있다. 이는 각각의 불합리한 값에서 해당 숫자 라인이 "갭"을 갖는 합리적인 숫자와 대비된다. 십진수 체계에서 완전성은 십진수의 무한 문자열은 실제로 일부 실수에 대한 십진수 표시라는 문장과 동등하다.

사용된 실수의 구성에 따라 완전성은 공리(완전성 공리)의 형태를 띠거나, 구성에서 입증된 정리일 수도 있다. 완성도에는 등가의 형태가 많으며, 가장 두드러진 것은 데데킨드 완전성과 코치 완전성(측정지표 공간으로서의 완전성)이다.

완전성의 형태

실수는 종합적으로 완전성 공리의 일부 버전을 만족하는 순서가 있는 분야로 정의할 수 있다. 이 공리의 서로 다른 버전은 모두 하나의 완전성 형식을 만족시키는 순서가 있는 필드가 코우치 완성도 및 내포된 간격 정리와는 별개로, 순서가 정해진 아르키메데스 필드가 아니고 코우치 완료라는 점에서 엄격히 약하다는 점에서 동등하다. 대신 모형을 사용하여 실수를 구성하면 완전성은 정리나 정리 집합이 된다.

최소 상한 속성

최소 상한 속성은 상한을 갖는 실수수의 모든 비빈 부분 집합이 실수 집합에서 최소 상한(또는 우월)을 가져야 한다고 명시한다.

합리적인 숫자 라인 Q는 최소 상한 속성을 가지고 있지 않다. 예를 들어 합리적인 숫자의 부분집합이 있다.

\displaystyle S=\{x\in \mathb {Q} \mid x^{2}<2\}.}

이 세트는 상한선이 있다. 그러나 이 집합은 $Q$ 에서 최소 상한이 없다. 실수의 하위 집합으로서 최소 상한이 $\sqrt2가$ 되겠지만, $Q$ 에는 존재하지 않는다. 어떤 $상한$ x ∈ $Q$ 의 경우, $y$ < $x$ 가 있는 또 다른 $상한$ y ∈ $Q$ 가 있다.

예를 들어 $x$ = $1.5$ 를 취하면 $x$ 는 $양수$ 이고² $x$ = 2. $25$ ≥ $2$ 이므로 $s$ 의 어떤 요소도 $x$ 보다 크지 않기 때문에 x = 1.5를 취하면 $확실히$ $S$ 의 상한이다. 그러나 $우리$ 는 y = $1.45$ 라고 하는 더 작은 상한을 선택할 수 있다. 이 또한 같은 $이유$ 로 S의 상한이지만 $x$ 보다 작기 $때문$ 에 x는 $S$ 의 최소 상한은 아니다. $우리$ 는 유사하게 진행하여 $y$ 보다 작은 $S$ 의 상한, $예$ 를 들어 z = 1 $.42$ 등을 찾아 Q에서 $S$ 의 최소 상한선을 결코 찾을 수 없다.

최소 상한 특성은 부분 순서 집합의 설정으로 일반화할 수 있다. 완전성(순서 이론)을 참조하십시오.

디데킨드 완전성

이 이름에 포함된 일반 개념은 디데킨드 완전성을 참조하십시오.

디데킨드 완전성은 모든 디데킨드가 실제 숫자를 잘라내는 속성이다. 실수에 대한 합성적 접근법에서 이것은 공리로 가장 많이 포함되는 완전성의 버전이다.

합리적인 숫자 라인 Q는 Dedekind가 완전하지 않다. 그 예로는 데데킨드 컷이 있다.

\displaystyle L=\{x\in \mathb {Q} \mid x^{2}\leq 2\lebe x<0\}.}

\displaystyle R=\{x\in \mathb {Q} \mid x^{2}\geq 2\wedge x>0\}.}

L은 최대값이 없고 R은 최소값이 없기 때문에 이 컷은 합리적인 숫자로 생성되지 않는다.

실수의 명칭을 정하기 위해 합리적인 숫자의 디데킨드 컷을 사용하는 아이디어에 기초하여 실수의 구성이 있다. 예를 들어, 위에서 설명한 컷 $(L,$ R)은 2의 $이름$ 을 붙일 것이다 $.$ 만약 어떤 사람이 디데킨드 컷으로 실수의 구성을 반복한다면(즉, 가능한 모든 숫자를 추가함으로써 실수의 집합을 "닫는다 ${\sqrt {2}}$ e 디데킨드 컷), 실제 수치는 이미 디데킨드가 완료되었기 때문에 추가 숫자를 얻을 수 없다.

카우치 완성도

Cauchy 완전성은 모든 Cauchy 순서의 실제 숫자가 수렴한다는 것이다.

합리적인 숫자 라인 Q는 Cauchy가 완전하지 않다. 예를 들면 다음과 같은 합리적 숫자의 순서가 있다.

\displaystyle 3,\displaystyle 3.1,\disput 3.14,\disput 3.14,\disput 3.1416,\disput \ldots }

여기서 시퀀스의 n번째 항은 pi에 대한 n번째 소수 근사치 입니다. 이것은 합리적인 숫자의 코치 수열이지만, 어떤 이성적인 숫자로 수렴되지는 않는다. (이 실수 라인에서 이 시퀀스는 pi로 수렴된다.)

Cauchy의 완전성은 Cauchy 시퀀스를 이용한 실수의 구성과 관련이 있다. 본질적으로, 이 방법은 실제 숫자를 합리적인 숫자의 카우치 수열의 한계로 정의한다.

수학적 분석에서, Cauchy 완전성은 모든 미터법 공간에 대한 완전성의 개념으로 일반화될 수 있다. 전체 메트릭 공간을 참조하십시오.

순서가 지정된 분야의 경우, Cauchy의 완전성은 이 페이지의 다른 형태의 완전성보다 약하다. 그러나 카우치 완성도와 아르키메데스의 재산은 다른 것과 동등하다.

내포 구간 정리

내포된 간격 정리는 또 다른 형태의 완전성이다. $Let n$ I $=$ [ $a n,$ $b n]$ 는 닫힌 간격의 연속이며, 이러한 구간이 다음 뜻으로 내포되어 있다고 가정한다.

I_{1}\;\supset \;I_{2}\;\supset \;;I_{3}\;\supset \;\cdots

또한 $b-a n n$ → $0$ 을 n → +bit로 가정한다 $.$ 내포된 구간 정리는 $내$ 가_n 정확히 한 점을 포함하는 모든 구간의 교차점을 명시한다.

합리적인 숫자 선은 내포된 구간 정리를 만족시키지 못한다. 예를 들어, 시퀀스(제안된 방식으로 pi의 숫자에서 용어를 파생하는 경우)

[3,4]\\\supset \;[3.11,3.2]\;\supset \;[3.14,3.15]\;\supset \;\\supset \;\\cdots

교차점이 비어 있는 합리적 숫자의 닫힌 간격의 내포된 시퀀스입니다(실수 번호에서 이 간격의 교차점에는 숫자 pi가 포함되어 있음).

내포된 간격 정리는 이 완전성의 스펙트럼에서 코치 완성도와 동일한 논리적 상태를 공유한다. 즉, 내포된 간격 정리는 그 자체로 다른 형태의 완전성에 비해 약하지만 아르키메데스 속성과 함께 취하더라도 다른 것과 동등하다.

모노톤 수렴 정리

모노톤 수렴 정리(Körner에^[1] 의해 분석의 기본 공리로 설명됨)는 모든 비감소, 경계된 실수의 순서가 수렴된다고 기술하고 있다. 이는 최소 상한 재산의 특수한 경우라고 볼 수 있지만, 실수의 코치 완성도를 증명하는 데 공정하게 직접 사용할 수도 있다.

볼자노-위어스트라스 정리

더 볼자노-Weierstrass 정리에서는 모든 경계된 실수의 순서는 융합적 연속성을 가지고 있다고 기술하고 있다. 다시 말하지만, 이 정리는 위에서 주어진 다른 형태의 완전성과 동등하다.

중간값 정리

중간값 정리는 음과 양의 값을 모두 획득하는 모든 연속함수는 뿌리를 가지고 있다고 명시한다. 이는 최소 상한 속성의 결과지만, 공리로 취급될 경우 최소 상한 속성의 증명에도 사용할 수 있다. (연속성의 정의는 어떤 형태의 완전성에도 의존하지 않기 때문에, 이것은 순환적이지 않다.)

참고 항목

실제 분석 주제 목록

참조

^ Körner, Thomas William (2004). A companion to analysis: a second first and first second course in analysis. AMS Chelsea. ISBN 9780821834473.

추가 읽기

Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998). Principles of real analysis (3rd ed.). Academic. ISBN 0-12-050257-7.
Browder, Andrew (1996). Mathematical Analysis: An Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. New York City: Springer Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd ed.). New York City: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-32148-6.
Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd ed.). McGraw-Hill. ISBN 9780070542358.
Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introductory Real Analysis. Brooks Cole. ISBN 9780395959336.
Bressoud, David (2007). A Radical Approach to Real Analysis. MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.

[Körner2004-1] Körner, Thomas William (2004). A companion to analysis: a second first and first second course in analysis. AMS Chelsea. ISBN 9780821834473.

[1]

Search