도체(클래스 장 이론)

대수적 수 이론에서 국소적 또는 지구적 영역의 유한한 아벨리아적 확장의 도체는 연장에서의 라미네이션에 대한 정량적 측정을 제공한다.지휘자의 정의는 아르틴 지도와 관련이 있다.

국소도체

L/K는 비아치메이드 지역 영역의 유한한 아벨의 확장자가 되게 하라. ${\mathfrak {f}}(L/K)$ /K ( ${\mathfrak {f}}(L/K)$ / $){\displaystyle {\mathfrak{f}(L/K$ 로 표시된 L/K의 도체는 상위 단위 그룹과 같은 가장 작은 음의 정수 n이다.

U^{{m}}=1+{\mathfrak{m}_{K}^{n}}=\{n}}}}}}{{n}}}}}}}}{n}}}}}}{n}}}}}}}{n}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

N_L/K(L^×)에 포함되어 있으며, 여기서 N은_L/K 필드 노멀 맵이고 m ${\mathfrak {m}}_{K}$ ${\$ 는 K의 최대 이상이다 ${\mathfrak {m}}_{K}$ .^[1]동등하게, n은 $U_{K}^{(n)}$ $){\$ 에 로컬 Artin 지도가 사소한 정도로 가장 작은 정수인데, 간혹 도체를 m ${\mathfrak {m}}_{K}^{n}$ ${\mathfrak {m}}_{K}^{n}$ ${\$ 로 정의하기도 한다 $U_{K}^{(n)}$ 여기서 ${\mathfrak {m}}_{K}^{n}$ n은 n이다.^[2]

연장자의 도체는 래미네이션을 측정한다.질적으로, 연장은 만약 도체가 0이면, 그리고 0이면,^[4] 1이면 길들여지지 않게 된다.^[3]는 변환합니다 어디 ηL/K은 기능 더 정확하게 말하면, 지휘자:s이 가장 큰 정수를"가 낮은"더 높은ramification 그룹 G, 그 f(L/K)은=}, 더 높은 결과 단체의 non-triviality η L/K(s)+1{\displaystyle{\mathfrak{f}}(L/K)=\eta _ᆮ(s)+1를 계산하 f.최대"낮은 번호 지정"에서 높은 라미네이션 그룹의 "낮은 번호 지정"까지.^[5]

L/K의 지휘자는 갈루아 그룹 갈(L/K)의 등장인물의 아르틴 지휘자와도 관련이 있다.구체적으로 ^[6]말하자면

{\displaystyle {\mathfak{m}_{K}^{\mathfrak{f}}{f}}}{\mathfrak{m}^{\mathfrak{f}}{\mathfrak{f}}}}}}{\mathfak{pi}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.

여기서 χ은 Gal(L/K)의 모든 곱셈 복합 문자에 따라 달라지며, ${\mathfrak {f}}_{\chi }$ ${\mathfrak {f}}_{\chi }$ ${\$ 은 χ의 아르틴 도체이며 ${\mathfrak {f}}_{\chi }$ , lcm는 최소공배수다.

추가 일반 필드

도체는 L/K에 대해 지역장의 아벨리안 유한 갈루아 확장과 동일한 방식으로 정의될 수 있다.^[7]그러나 이 상황에서 K의 최대치인 L/K에만 의존하고 있는 것은,^[8]^[9] K의 최대치인 L^ab/K에 의해서만 결정된다는 것을 기술하는 「규범한 한계 정리」 때문이다.

N_{L/K}\왼쪽(L^{\times }\오른쪽)=N_{L^{{L^{\text{ab}}/K}\왼쪽(\왼쪽(L^{\text{ab}\오른쪽)^{\time }\오른쪽).

또한 도체는 L과 K가 국부보다 약간 더 일반적일 수 있을 때, 즉 준마인잔류장이 있는 완전한 가치의 필드인 경우 정의할 수 있다.^[10]

아르키메데스 들판

대부분 글로벌 도체를 위해 사소한 연장 R/R의 도체는 0으로, 연장 C/R의 도체는 1로 정의된다.^[11]

글로벌 컨덕터

대수수장

숫자 필드의 아벨 연장 L/K의 도체는 아르틴 지도를 사용하여 현지 사례와 유사하게 정의할 수 있다.구체적으로 mod : I^m → Gal(L/K)을 글로벌 Artin 지도로 하고, 여기서 modulus m은 L/K를 정의하는 계수로 한다; 우리는 θ 인자가 레이 클래스 그룹 modulo m을 통하여 m을 유지한다고 말한다.We define the conductor of L/K, denoted ${\mathfrak {f}}(L/K)$ , to be the highest common factor of all moduli for which reciprocity holds; in fact reciprocity holds for ${\mathfrak {f}}(L/K)$ , so it is the smallest such modulus.^[12]^[13]^[14]

예

Taking as base the field of rational numbers, the Kronecker–Weber theorem states that an algebraic number field K is abelian over Q if and only if it is a subfield of a cyclotomic field $\mathbf {Q} \left(\zeta _{n}\right)$ , where $\zeta _{n}$ denotes a primitive nth root of unity.^[15] n이 이것이 지탱하는 가장 작은 정수인 경우, K의 도체는 복잡한 결합에 의해 K가 고정된 경우 n이고 $n\infty$ $n\infty$ ${\displaystyle$ n $\infit }$ 이다 $n\infty$ .
$\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}$ /K를 $\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}$ ( $\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}$ ) $\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}$ / Q ${\$ 가) 되도록 두십시오. 여기서 $\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}$ d는 제곱이 없는 정수입니다.그러면.^[16]
${\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases}\left \Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right &{\text{for }}d>0\\\infty \left \Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right &{\text{for }}d<0\end{cases}}$

여기서

\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}

\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}

\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}

( d

\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}

)

{\

})({\

sqrt{d}}})}}}

은 Q

\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}

(

\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}

\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}

/

\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q}

Q {\

displaystystyle \mathbf {Q

의 식별자

.

국부 도체 및 라미네이션과의 관계

글로벌 도체는 로컬 도체의 산물이다.^[17]

{\mathfrak{f}(L/K)=\pod_{\mathfrak{p}}{\mathfrak{p}^{\mathfrak{f}}{p}\mathfrak{p}\mathfrak{p}\right}}}.

그 결과 유한한 ${\mathfrak {f}}(L/K)$ 이 f ${\mathfrak {f}}(L/K)$ ( ${\mathfrak {f}}(L/K)$ / $){\displaystyle {\mathfrak{f}(L/K)}$ 를 나누는 경우에만 L/K로 래밍되며 ${\mathfrak {f}}(L/K)$ ^[18] v가 진짜인 경우에만 도체에서 무한 프라임 v가 발생한다.

메모들

^ 세레 1967, 제4.2조
^ Neukirch 1999에서와 같이 V.1.6 정의
^ Neukirch 1999, 제안 V.1.7
^ 밀른 2008, I.1.9
^ 세레 1967, 제4.2조, 발의안 제1호
^ Artin & Tate 2009, 정리 XI.14, 페이지 100
^ 1967년 세레와 같이 제4.2조
^ 세레 1967, 제2.5조 발의안 제4호
^ 밀른 2008, 정리 III.3.5
^ Artin & Tate 2009에서와 같이 §XI.4.지역 계급장 이론의 형식주의가 작용하는 상황이다.
^ Cohen 2000, 정의 3.4.1
^ Milne 2008, 언급 V.3.8
^ 야누스 1973, 페이지 158, 168–169
^ 일부 저자는 예를 들어 Neukirch 1999, §VI.6과 같이 지휘자로부터 무한한 장소를 생략한다.
^ Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 49 (Second ed.). pp. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.
^ Milne 2008, 예 V.3.11
^ 유한 부분 Neukirch 1999, 제안 VI.6.5 및 무한 부분 Cohen 2000의 경우 정의 3.4.1
^ Neukirch 1999, Corollary VI.6.

참조

Artin, Emil; Tate, John (2009) [1967], Class field theory, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 2467155
Cohen, Henri (2000), Advanced topics in computational number theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 193, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98727-9
Janusz, Gerald (1973), Algebraic Number Fields, Pure and Applied Mathematics, vol. 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4, Zbl 0307.12001
Milne, James (2008), Class field theory (v4.0 ed.), retrieved 2010-02-22
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
Serre, Jean-Pierre (1967), "Local class field theory", in Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht (eds.), Algebraic Number Theory, Proceedings of an instructional conference at the University of Sussex, Brighton, 1965, London: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, MR 0220701

[1] 세레 1967, 제4.2조

[2] Neukirch 1999에서와 같이 V.1.6 정의

[3] Neukirch 1999, 제안 V.1.7

[4] 밀른 2008, I.1.9

[5] 세레 1967, 제4.2조, 발의안 제1호

[6] Artin & Tate 2009, 정리 XI.14, 페이지 100

[7] 1967년 세레와 같이 제4.2조

[8] 세레 1967, 제2.5조 발의안 제4호

[9] 밀른 2008, 정리 III.3.5

[10] Artin & Tate 2009에서와 같이 §XI.4.지역 계급장 이론의 형식주의가 작용하는 상황이다.

[11] Cohen 2000, 정의 3.4.1

[12] Milne 2008, 언급 V.3.8

[13] 야누스 1973, 페이지 158, 168–169

[14] 일부 저자는 예를 들어 Neukirch 1999, §VI.6과 같이 지휘자로부터 무한한 장소를 생략한다.

[15] Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 49 (Second ed.). pp. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.

[16] Milne 2008, 예 V.3.11

[17] 유한 부분 Neukirch 1999, 제안 VI.6.5 및 무한 부분 Cohen 2000의 경우 정의 3.4.1

[18] Neukirch 1999, Corollary VI.6.

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