연속 확률적 공정

확률론에서, 연속적인 확률적 과정은 그것의 "시간"이나 지수 매개변수의 함수로서 "연속적"이라고 말할 수 있는 확률적 과정의 한 유형이다. 연속성은 프로세스가 어떤 의미에서는 잘 행동하고, 따라서 분석하기가 훨씬 쉽다는 것을 의미하기 때문에 (의 샘플 경로를) 가지는 좋은 특성이다. 확률적 공정의 지표가 연속적인 변수라는 것은 여기에 내포되어 있다. 일부 저자들은^[1] "지속적(정지적) 프로세스"를 샘플 경로의 연속성 없이 연속적으로만 지수 변수를 요구한다고 정의한다. 일부 용어에서, 이것은 "구체적 시간 프로세스"와 병행되는 연속 시간 확률적 프로세스일 것이다. 혹시 모를 혼란을 감안해 주의가 필요하다.^[1]

정의들

Let (Ω, Ω, P)는 확률공간이고, T는 어느 정도의 시간 간격이며, X : T × Ω → S는 확률적 과정이다. 단순성을 위해 이 글의 나머지 부분은 상태 공간 S를 실제 선 R으로 삼겠지만, S가 Rⁿ, 표준 벡터 공간 또는 심지어 일반 미터 공간인 경우에는 정의를 준용한다.

확률 1의 연속성

시간 t ∈ T를 주어, X는 다음과 같은 경우 확률 1을 t에서 연속한다고 한다.

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\왼쪽\{\\\\\omega \in \Oomega \lim_{s\t}{\big }X_{t}(\omega ){\big }=0\right.\right\}\right)=1.}$

평균 제곱 연속성

시간 t ∈ T를 주어진 X는 평균 제곱 t에서 E[ X ] < +홍콩_t 그리고

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\big }X_{s}-X_{t}{\big ^{2}\right]=0.}$

확률상 연속성

시간 t ∈ T를 주어진 X는 만약 모든 > > 0에 대해 t 확률로 연속된다고 한다.

$\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {P} \left(\left\{\omega \big }X_{s}(\omega )-X_{t}{\big }\geq \varepsilon \right.\right\}\right=0.}$

동등하게, X는 시간 t에서 확률로 연속된다.

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \왼쪽[{\frac {{\big }-X_{t}{\big }{1+{}-X_{t}{\big }}}{\big }}}\right]=0.}$

유통상 연속성

시간 t ∈ T를 주어, X는 다음과 같은 경우 t에서 연속적인 분포라고 한다.

${\displaystyle \lim _{s\to t}F_{s}(x)=F_{t}(x)}$

F가_t 연속적인 모든 점 x에 대해, 여기서 F는_t 랜덤 변수 X의_t 누적 분포 함수를 나타낸다.

샘플 연속성

X는 X_t(Ω)가 거의 모든 Ω Ω에 대해 t에서 연속적인 경우 샘플 연속이라고 한다. 샘플 연속성은 Ito 확산과 같은 프로세스의 연속성에 대한 적절한 개념이다.

펠러 연속성

X는 고정 t ∈ T와 경계, 연속 및 σ 측정 가능한 함수 g : S → R, E^x[g(X_t)]가 x에 지속적으로 의존하는 경우 Feller-연속 공정이라고 한다. 여기서 x는 공정 X의 초기 상태를 나타내며, E는^x X가 x에서 시작하는 사건을 조건으로 하는 기대치를 나타낸다.

관계들

확률적 프로세스의 다양한 유형의 연속성 사이의 관계는 랜덤 변수의 다양한 유형의 수렴 사이의 관계와 유사하다. 특히:

• 확률 1의 연속성은 확률의 연속성을 의미한다.
• 평균 제곱의 연속성은 확률의 연속성을 의미한다.
• 평균 제곱의 연속성을 의미하거나 암시하지 않는 확률의 연속성
• 확률의 연속성은 분포의 연속성을 의미하지만 암시하지는 않는다.

연속성과 확률 1을 표본 연속성과 혼동하는 것은 유혹적이다. 확률 1의 연속성 t는 P_t(A) = 0을 의미하며, 여기서 사건_t A는

${\displaystyle A_{t}=\left\{\\\\\\\neq \in \Oomega \left \lim _{s\}{\big }X_{t}(\omega){big }\neq 0\right.\right\}}$

그리고 이것이 각 t for T에 대해 유지되는지 여부를 확인하는 것이 완벽하게 가능하다. 반면에 샘플 연속성은 P(A) = 0을 필요로 한다.

${\displaystyle A=\빅컵 _{t\in T}A_{t}.}$

A는 헤아릴 수 없는 사건들의 결합이기 때문에 실제로 사건 자체가 아닐 수도 있기 때문에 P(A)는 정의되지 않을 수도 있다! 더 나쁜 것은 A가 사건일지라도, P(A_t)가 t ∈ T마다 0이 되더라도 P(A)는 엄격히 양성이 될 수 있다. 예를 들어 전신과정이 그렇다.

메모들

참조

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2010년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

• Kloeden, Peter E.; Platen, Eckhard (1992). Numerical solution of stochastic differential equations. Applications of Mathematics (New York) 23. Berlin: Springer-Verlag. pp. 38–39. ISBN 3-540-54062-8.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (Lemma 8.1.4 참조)