전보공정

확률론에서 전신과정은 기억력이 없는 연속시간 확률과정으로 두 개의 뚜렷한 값을 보여준다. 폭발 소음(팝콘 소음 또는 무작위 전신 신호라고도 함)을 모델링한다. 랜덤 변수가 취할 수 있는 두 값이 ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$및 c ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}인 경우$,$ 프로세스는 다음과 같은 마스터 방정식으로 설명할 수 있다.

${\displaystyle \partial _{t_{1}P(c_{1},t_{0})=-\lambda _{1}P(c_{1},t_{0}}}+\lambda _{2},t_{0}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{2},t_{0})=\lambda _{1}P(c_{1},t_{0},t_{0})-\lambda _{2}P(c_{2},t_{0}).}$

여기서 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$${\$$displaystyle$ $\lambda _{1}$는 $상태{\displaystyle {}_{}}$ c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle c_{$$1$}에서$$$$ $상태{\displaystyle {}_{}}$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$$${\$displaystyle c_$${$2$}}:$$${\$displaystyle$$$$c_{\}}}}$로 이동하는 전환율이다$.$$플레이스타일 c_{1$ 이 과정은 또한 Kac 과정(수학자 마크 칵 이후)^[1]과 이분법 무작위 과정이라는 이름으로 알려져 있다.^[2]

해결책

마스터 방정식은 벡터 $P{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$[ P ${\displaystyle ({c\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}t}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle P}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle t}$x , ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$0 )${\displaystyle }$]$${\$displaystyle \mathbf {P}$ =[$P(c_${1$},t_{0}), P(c_{2},t_{$0}), t $x,t_{0$ t를 도입하여 행렬 형태로 압축적으로 작성된다.

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {P}}{dt}=W\mathbf {P}}$

어디에

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}-\lambda _{1}&\lambda _{2}-\lambda _{2}\end{pmatrix}}}}}}$

전환율 매트릭스 입니다. ${\displaystyle \mathrm{공식}}$ 솔루션은 초기 조건 $P{\displaystyle \mathbf{}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {P} (0)}($$t{\displaystyle }$= ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$에서 상태가 x$$${\displaystyle$ x$\})$에 의해 생성된다.$$

${\displaystyle P}$(${\displaystyle }$t )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ W ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{P}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {P}(t)=e^{Wt}\mathbf {P}($0$)\}$ .

라는^[3] 것을 알 수 있다.

${\displaystyle e^{Wt}=I+W{\frac {(1-e^{-2\lambda t}}}{2\lambda }}}}}$

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) ID 매트릭스이고 ${\displaystyle \lambda \mathrm{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{\lambda \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1}+\lambda _{2}/2}$는 평균 전환율이다. $t{\displaystyle }$→ $∞{\displaystyle t\rightarrow \inft$ 솔루션은 고정 ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ $P{\displaystyle \mathbf{}}$(${\displaystyle t}$→${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle }$= P ${\$에 접근한다.

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}={\frac {1}{2\lambda }{pmatrix}}{\begin{pmatrix}}}{2}\lambda _{1}\end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}$

특성.

초기 상태에 대한 지식은 기하급수적으로 감소한다. 따라서 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \gg }$ ${\displaystyle (}$2 ${\displaystyle \lambda {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ ($2\lambda )^{-1}$ 동안$$공정이 첨자 s로 표시된 다음과 같은 고정 값에 도달할 것이다.

평균:

${\displaystyle \langle X\rangle _{s}={\frac {c_{1}\lambda _{2}+c_{2}}}\lambda _{1}{1}{1}\+da _{1}+\lambda _{2}}.}$

분산:

${\displaystyle \operatorname {var} \{X\}_{s}={\frac {(c_{1}-c_{2})^{2}\lambda _{1}{1}{2}}(\lambda _{1}+\lambda _{2}}^{2}}.}$

상관 함수도 계산할 수 있다.

${\displaystyle \langle X(t),X(u)\angle _{s}=e^{-2\lambda t-u }\operatorname {var} \{X\}_{s}.}$

적용

이 무작위 프로세스는 모델 빌딩에서 광범위한 적용을 찾는다.

• 물리학에서 스핀 시스템과 형광 간헐성은 이분법적인 성질을 보인다. 그러나 특히 단일 분자 실험에서는 위의 모든 공식에 내포된 지수 분포 대신 대수 꼬리를 특징으로 하는 확률 분포가 사용된다.
• 주가를^[1] 기술하기 위한 재무 부문
• 전사 인자 바인딩과 언 바인딩을 설명하기 위한 생물학에서.

참고 항목

• 마르코프 체인
• 확률적 프로세스 주제 목록
• 임의전신호

참조