연속 임베딩

수학에서 하나의 규범 벡터 공간은 그들 사이의 포함 함수가 연속적인 경우 다른 규범 벡터 공간에 연속적으로 내재되어 있다고 한다.어떤 의미에서는 두 규범이 모두 같은 공간에 정의되어 있지 않더라도, 두 규범은 "거의 거의 동등한 것"이다.소볼레프 내장 이론 중 몇 가지는 지속적인 내장형 이론이다.

정의

X와 Y는 각각_Y X와 같은_X 규범 · · ·와 함께 두 개의 표준 벡터 공간이 되도록 한다. 포함도(정체성 함수)

${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y:x\mapsto x}$

연속이다. 즉, 다음과 같은 상수 C > 0이 존재하는 경우

${\displaystyle \ x\ _{Y}\leq C\ x\ _{X}}$

X의 모든 X에 대해 X는 Y에 연속적으로 내장되어 있다고 한다.어떤 저자는 연속 임베딩을 나타내기 위해 후크 화살표 "↪"를 사용한다. 즉, "X ↪ Y"는 "X와 Y는 Y에 연속적으로 임베디드된 X와 함께 표준화된 공간"을 의미한다.이것은 위상 벡터 공간의 범주의 관점에서 표기법을 일관되게 사용하는 것으로, 형태론("화살표")이 연속적인 선형 지도인 것이다.

예

• 연속 임베딩의 유한 차원 예는 실제 선 X = R을 평면 Y = R에² 자연적으로 내장함으로써 주어지며, 여기서 두 공간은 모두 유클리드 규범이 주어진다.

${\displaystyle i:\mathbf {R} \to \mathbf {R}^{2}:x\mapsto(x,0)}$

이 경우, 모든 실수 X에 대해 x = x.상수 C의 최적 선택은 C = 1이다.

• 연속 임베딩의 무한 차원 예는 렐리히-콘드라초프 정리에 의해 주어진다: Ω ⊆ R을ⁿ 개방, 경계, 립슈츠 영역으로 하고, 1 ⊆ p < n으로 한다.세트

${\displaystyle p^{*}={\frac {np}{n-p}}.}$

그런 다음 소볼레프 공간 W^1,p(Ω; R)가 L^p 공간 L^p∗(Ω; R)에 연속적으로 내장된다.실제로 1 ≤ q < p의^∗ 경우, 이 임베딩은 콤팩트하다.최적 상수 C는 도메인 Ω의 기하학에 따라 달라진다.

• 무한 차원 공간은 불연속 임베딩의 사례도 제공한다.예를 들어 다음을 고려하십시오.

${\displaystyle X=Y=C^{0}([0,1];\mathbf {R}),}$

단위 간격에 정의된 연속적 실질 가치 함수의 공간이지만, X에 L¹ 규범을, Y에 우월 규범을 적용한다.n ∈ N의 경우 f는_n 다음과 같이 주어진 연속적이고 단편적인 선형 함수가 되도록 한다.

${\displaystyle f_{n}(x)={\n^-n^{2}x+n,&0\leq x\leq {1}{n};\0,&\text{data.}}}\end{case}}$

그런 다음, 모든 n에 대해_n f = f = n_n, 그러나

${\displaystyle \ f_{n}\{L^{1}=\int _{0}^{1}{n}(x) \,\mathrm {d}x={\frac {1}{1}{2}.}$

따라서 f_n ≤ C f_n 와 같은 상수 C는 찾을 수 없으므로 Y에 X를 내장하는 것은 불연속적이다.

참고 항목

• 콤팩트 임베딩

참조

• Rennardy, M. & Rogers, R.C. (1992). An Introduction to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-97952-2.