렐리히-콘드라초프 정리

수학에서 렐리히-콘드라초프 정리는 소볼레프 공간에 관한 콤팩트한 내장 정리다.오스트리아-독일 수학자 프란츠 렐리치와 러시아 수학자 블라디미르 이오시포비치 콘드라쇼프의 이름을 따서 지은 것이다.렐리치는 L 정리², 콘드라쇼프 L 정리를^p 증명했다.

정리명세서

Ω ⊆ R을ⁿ 개방된 경계 립슈츠 도메인으로 하고, 1 ≤ p < n. 설정

${\displaystyle p^{*}={\frac {np}{n-p}}.}$

그 후 소볼레브 공간 W^1,p(Ω; R)는 L^p 공간 L^p∗(Ω; R)에 연속적으로 내장되며, 1㎛ q <p마다^∗ L^q(Ω; R)에 압축적으로 내장된다.기호로는

${\displaystyle W^{1,p}(\Oomega )\hookrightarrow L^{p^{*}}}$

그리고

${\displaystyle W^{1,p}(\Oomega )\subset L^{q}(\Oomega ){\text{{{}의 경우.}$

콘드라초프 임베딩 정리

C경계가¹ 있는 콤팩트한 다지관에서, 콘드라초프 임베딩 정리에서는, 만약 k > k과 k - n/p > n - n/q가 되면, 소볼레프 임베딩이라고 기술하고 있다.

${\displaystyle W^{k,p}(M)\subset W^{\ell,q}(M)}$

완전히 연속적이다.^[1]

결과들

포함(identity) 연산자가 콤팩트한 연산자인 경우에만 임베딩이 콤팩트하므로, 렐리히-콘드라초프 정리는^1,p W(Ω; R)의 균일한 경계 시퀀스가^q L(Ω; R)으로 수렴되는 하위 시퀀스를 갖는다는 것을 암시한다.이 형식에서, 과거에는 하나의 "선택"이 수렴을 하기 때문에 그 결과를 렐리히-콘드라초프 선택 정리라고 부르기도 했다.(그러나 오늘날 관습적인 명칭은 "계산 정리"인 반면, "선택 정리"는 정밀하고 상당히 다른 의미를 가지며 다분히 언급하고 있다.

렐리히-콘드라초프 정리는 ^[2]inc W(Ω^1,p; R) (Ω이 위와 동일한 가설을 만족하는 경우)를 명시하는 푸앵카레 불평등을 입증하는 데 사용될 수 있다.

${\displaystyle \u-u_{\Oomega }\{L^{p}(\Oomega )}\leq C\ \nabla u\ \{L^{p}(\Oomega )}}}}}$

p 및 도메인 Ω의 지오메트리에만 의존하는 일부 상수 C에 대해, 다음과 같은 경우

${\displaystyle u_{\Oomega }:={\frac {1}{\operatorname {meas}(\Oomega )}}\int_{\Oomega u(x)\,\mathrm {d}x}$

Ω을 초과하는 u의 평균값을 나타낸다.

참조

문학

• Evans, Lawrence C. (2010). Partial Differential Equations (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4974-3.
• 콘드라초프, V. I. 공간 L p.Dokl에 있는 함수의 특정 특성에 관하여.Akad. Nauk SSSR 48, 563–566 (1945년).
• 레오니, 조반니(2009년).소볼레프 공간의 첫 코스.수학 대학원. 105.미국수학협회. 페이지 16+607.ISBN 978-0-8218-4768-8.MR 2527916.Zbl 1180.46001
• Rellich, Franz (24 January 1930). "Ein Satz über mittlere Konvergenz". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (in German). 1930: 30–35. JFM 56.0224.02.