콘텐션 텐서

미분 기하학의 비틀림 텐서는 비틀림과의 연결과 비틀림 없는 연결 사이의 차이점이다.그것은 일반적으로 스핀 연결에 관한 연구에서 나타난다.따라서 예를 들어 회전 연결과 함께 비엘베인은 사라지는 비틀림 상태에 따라 아인슈타인의 중력에 대한 설명을 제공한다.초대칭의 경우, 사라지는 비틀림과 같은 제약조건은 11차원 초중력을 준다.^[1]즉, 콘스탄션 텐서는 연결과 함께 이론의 역동적인 물체 중 하나가 되어 메트릭을 2차적이고 파생된 역할로 강등시킨다.

연결에서 비틀림 제거는 비틀림 흡수라고 하며, 기하학적 구조의 등가성을 확립하기 위한 카르탄의 등가성 방법의 한 단계다.

메트릭 지오메트리 정의

미터법 기하학에서 등축 텐서는 Christoffel 기호 $symbol{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ i ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$ k ${\$와 같은 메트릭에 대한 고유한 비틀림 없는 Levi-Civita 연결 사이의 차이를 나타낸다.

The contorsion tensor ${\displaystyle K_{kji}}$ is defined in terms of the torsion tensor ${\displaystyle {T^{l}}_{ij}={\Gamma ^{l}}_{ij}-{\Gamma ^{l}}_{ji}}$ as (up to a sign, see below)

${\displaystyle K_{ijk}={\tfrac {1}{1}:{2}}(T_{ijk}+)T_{jki}-T_{kij}}}$

메트릭과 관련하여 지수를 올리고 내리는 경우:

${\$$T^{l}}_{jk$

반대 텐서 정의에서 모호하지 않은 합계가 발생하는 이유는 미터법 호환성을 강제하는 합계 차이 때문이다.비틀림 텐서는 처음 두 지수에서 대칭성이며, 비틀림 텐서 자체는 마지막 두 지수에서 대칭성이 된다. 이는 다음과 같다.

${\displaystyle K_{ijk}={\tfrac {1}{1}:{2}}(T_{ijk}+)T_{jki}-T_{kij}}}$

${\displaystyle K_{{(ij)k}={\tfrac {1}{1}:{1}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}(T_{ijk})+T_{jik}+{\tfrac {1}{1}:{2}}(T_{jki}+)T_{ikj}-{\tfrac {1}{1}:{2}}(T_{kij}+)T_{kji}}{\bigr ]}}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{1}{4}}(T_{ijk})+T_{jig}+T_{jki}+T_{ikj}-T_{kij}-T_{kji}}}$

${\displaystyle =0}$

전체 미터법 호환 부속서 연결은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle {\Gamma ^{l}_{ij}={\bar {\Gamma }}{{}}{}_{ij}+{K^{l}}}}}}$

여기서 $\gamma$의${\displaystyle {\stackrel{}{}l}^{}}$ ${\displaystyle j_{}}$i {\$displaystyle${\$bar {\\gamma }^{l}{}_${ji$$$}}$ 비틀림 없는 Levi-Civita 연결부:

${\displaystyle {\bar}{{}_{ji}={\tfrac {1}{1}{1}{{1}}}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_-\partial _{k}g_{ij}}}}}}}}}}}}}}}}}$

아핀 기하학의 정의

아핀 기하학에서는 미터법도, 미터법 연결도 없기 때문에 요구 시 지수를 올리고 내리는 것이 자유롭지 못하다.땜납 형태를 사용함으로써 여전히 비슷한 효과를 얻을 수 있어, 묶음이 그것의 베이스 공간에서 일어나고 있는 일과 관련되게 할 수 있다.이것은 명시적으로 기하학적 관점으로, 텐서들은 이제 기초 공간에서만 정의되는 지수화된 대수적 객체 대신에 섬유 다발의 수직과 수평 다발의 기하학적 객체가 되었다.이 경우 접선다발 위에 하나의 형태로 사는 등축 텐서(contorence tensor)를 구성할 수 있다.

연결 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$의 비틀림을 다음과 같이 표현할 수 있음을$$ 상기하십시오.

$\displaystyle \theta _{\omega }=D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta }$

여기서 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$은(는) 납땜 형태(자동 단일 형태)이다$$.첨자 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$은(는) 이 비틀림 텐서를 연결에서 얻었다는 것을 상기시키는 역할만 한다$$.

위 섹션의 토션 텐서 지수를 낮추는 것과 유사하게 땜납 형태로 유사한 연산을 할 수 있으며 텐서(tensor)를 시공할 수 있다.

$\displaystyle \Sigma _{\omega }(X,Y,Z)=\langle \theta(Z),\theta _{\omega }(X,Y)\angle +\langle \theta(Y),\theta_{\omega }(Z,X)\rangle -\langle \theta(X),\테타 _{\omega }(Y,Z)\랑글 }$

여기서 $⟨{\displaystyle }$ ,${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle ,\rangle }$이(가) 스칼라 제품이다.이 텐서는 다음과^[2] 같이 표현할 수 있다.

$\displaystyle \Sigma _{\omega }(X,Y,Z)=2\langle \theta(Z),\sigma _{\omega }(X)\theta(Y)\rangele }}$

수량 ${\$}}}은$$ 비틀림 형태로서 비틀림 없는 Levi-Civita 연결을 얻기 위해 임의 연결에 추가하는 데 정확히 필요한 것이다.즉, Ehresmann 연결부 $\Omega {\displaystyle }${\$displaystyle \omega$ torsion이 없는$$ 다른 $연결부{\displaystyle }$Ω + ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\$이 있다.

비틀림 부위가 없어지는 것은 그 다음이 있는 것과 같다.

${\displaystyle \theta _{\omega +\sigma _{\omega }}=0}$

또는

$\displaystyle d\theta =-(\omega +\ma _{\omega })\reason \theta }$

이것은 접선 텐서와의 연결 역학관계와 관련된 필드 방정식으로 볼 수 있다.

파생

미터법 호환 부속서 연결을 신속하게 도출하는 한 가지 방법은 Levi-Civita 연결의 도출에 사용된 총합 차이 아이디어를 반복하는 것이지만 비틀림을 0으로 받아들이지는 않는 것이다.아래는 파생어다.

파생에 대한 규칙(연결 계수를 다음과 같이 정의하려면 이 항목을 선택하십시오.그 동기는 게이지 이론에서 연결 원 형태에 있다.

${\displaystyle \nabla _{i}v^{j}=\partial _{i}v^{j}+{\Gamma ^{j}}}_{ki}v^{k}}},$

${\displaystyle \nabla _{i}\omega _{j}=\partial _{i}\omega _{j}-{j}-{\Gamma ^{k}}}\ji}\omega _{k}}}}}$

메트릭 호환 조건부터 시작하십시오.

${\displaystyle \nabla _{i}g_{jk}=\partial _{i}g_{jk}-{jk}-{l}g_{lk}-{\Gamma ^{l}}}_{ki}g}=0,}$

이제 총계 차액을 사용한다(조건에 대한 지수 순환):

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}-{\Gamma ^{l}}_{ji}g_{lk}-{\Gamma ^{l}}_{ki}g_{jl}+\partial _{j}g_{ki}-{\Gamma ^{l}}_{kj}g_{li}-{\Gamma ^{l}}_{ij}g_{kl}-\partial _{k}g_{ij}+{\Gamma ^{l}}_{ik}g_{lj}+{\Gamma ^{l}}_{jk}g_{il}=0}$

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-\Gamma _{kji}-\Gamma _{jki}-\Gamma _{ikj}-\Gamma _{kij}+\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}=0}$

이제 연결을 다시 작성하기 위해 (홀로노믹 프레임의 경우)

${\displaystyle {{T^{k}_{ij}={\Gamma^{k}}-{\Gamma ^{k}}_{ji}}}}}$

${\displaystyle \감마 _{kij}=T_{kij}+\감마 _{kji}}$

Note that this definition of torsion has the opposite sign as the usual definition when using the above convention ${\displaystyle \nabla _{i}v^{j}=\partial _{i}v^{j}+{\Gamma ^{j}}_{ki}v^{k}}$ for the lower index ordering of the connection coefficients, i.e. it has the opposite sign은 지오메트리에 대한 아래 섹션의$$ 좌표 없는 정의 ${\displaystyle \omega {}_{}\Omega }$ = D $\$ {\$displaystyle \theta _${\omega }=$D\$teta $}.$(문헌에서 흔히 볼 수 있는 것처럼 보이는) 이러한 불일치를 시정하면 반대 기호와 함께 팽팽한 기조가 나타날 것이다.

비틀림 텐서 정의를 현재 보유하고 있는 것으로 대체하십시오.

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-(T_{kji}+\Gamma _{kij})-\Gamma _{jki}-(T_{ikj}+\Gamma _{ijk})-\Gamma _{kij}+(T_{jik}+\Gamma _{jki})+\Gamma _{ijk}=0}$

깨끗이 닦고 비슷한 조건을 결합한다.

${\displaystyle 2\Gamma _{kij}=\partial _{i}g_{jk}+\partial _{ji}-T_{kji}-{kji}-T_{kij}++ _{i}g}g_{kji}+T_{{jik}}}$

비틀림 용어는 결합하여 십이십자로 변형되는 물체를 만든다.이러한 용어들은 미터법 호환 방식으로 결합되기 때문에, 그들에게 Contorsion 텐서라는 이름이 주어지며, 이것은 미터법 호환 어핀 연결의 스큐 대칭 부분을 결정한다.

위 방정식의 왼쪽 지수와 일치한다는 동기 부여로 여기서 정의하겠다.

${\displaystyle K_{kij}={\tfrac {1}{1}{2}}(-T_{kji}-T_{ikj}+)T_{jig}}}$

비틀림 텐서의 반대칭성을 사용하여 청소하면 비틀림 텐서라고 정의될 수 있다.

${\displaystyle K_{kij}={\tfrac {1}{1}:{2}}(T_{kij}+)T_{ijk}-T_{jki}}}$

이것을 우리의 표현으로 되돌려 보면, 우리는 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle 2\Gamma _{kij}=\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}-\partial _{k}g_{ij}+2K_{kij}}}}}}$

이제 연결 계수를 분리하고 비틀림 항을 함께 그룹화하십시오.

${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})+{\tfrac {1}{2}}g^{lk}(2K_{kij})}$

부분파생상품이 있는 첫 번째 용어는 상대론자들이 자주 사용하는 Levi-Civita 연결 표현식이라는 것을 상기하라.

다음 사항을 비틀림 없는 Levi-Civita 연결로 정의하십시오.

${\displaystyle {\bar}{{}_{ij}={\tfrac{1}{1}{1}{1}{1}:{lk}(\partial _{i}g}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그런 다음 전체 메트릭스 호환 첨부 파일 연결은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle {\Gamma ^{l}_{ij}={\bar {\Gamma }}{{}}{}_{ij}+{K^{l}}}}}}$

텔레병리주의와 관계

원격병행론에서는 연결인 웨이젠보크 연결과 맞닥뜨리게 되는데, 이 연결은 평탄하지만(바니싱 리만 곡률) 비바니시 비틀림을 가지고 있다.평탄도는 정확히 평행 프레임 필드를 구성할 수 있는 것이다.이 개념들은 슈퍼맨의 개념으로 확장될 수 있다.^[3]

참고 항목

• 벨리판테-로센펠트 스트레스-에너지 텐서

참조