텔레패럴리즘

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텔레패럴리즘은 절대 또는 텔레패럴리즘이라고도 불리는 원거리 평행의 수학적 구조에 기초해 전자기력과 중력의 통일된 이론을 세우려는 알버트^[1] 아인슈타인의 시도였다.이 이론에서, 시공간은 모두 동적 테트라 장으로 정의된 메트릭 텐서 장과 함께 곡률 없는 선형 연결로 특징지어진다.

텔레패럴렐

아인슈타인에게 중요한 새로운 아이디어는 모든 M에 정의된 4개의 벡터 필드의 집합 {X₁, X, X₃, X, X}의₄ 4개의 벡터 필드의 집합 {X(p₂), X(p), X(p)}의 도입이었다. 여기서 매_p p µ M에 대해 집합 {X₁(p), X₂₃(p), X(p)는₄ 파이버의 TM을 나타낸다_p.따라서 4차원 시공간 매니폴드 M은 병렬 가능한 매니폴드여야 한다.사각형 장은 다지관의 다른 지점에서 접선 벡터의 방향을 원거리 비교하기 위해 도입되었고, 따라서 원거리 평행도라는 이름이 붙었다.그의 시도는 그의 단순화된 필드 방정식에 슈바르츠실트 해법이 없었기 때문에 실패했다.

실제로 병렬화(Weitzenböck 연결이라고도 함) {X_i}의 연결을 다음과 같이^[2] M 위의 선형 연결 θ로 정의할 수 있습니다.

$\displaystyle \sla _{v}\left(f^{i}\mathrm {X}_{i}\right)=\left(f^{i}\right)\mathrm {X}_{i}(p})}$

여기서 v † TM_p 및 f는ⁱ M의 (글로벌) 함수이므로 fX는ⁱ_i M의 글로벌 벡터 필드입니다.즉, {X_i}에 대한 Weitzenböck 연결 θ의 계수는 모두 동일하게 0이며, 암묵적으로 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle\mathrm {X}_{i}\mathrm {X}_{j}=0,}$

이런 이유로

${\displaystyle {W^{k}}_{ij}=\Omega^{k}\left(\displayla _{\mathrm {X}_{i}}\mathrm {X}_{j}\right}\equiv 0,})$

연결 계수(Weitzenböck 계수라고도 함)에 대한 정보를 제공합니다.여기서 "는^ki "(X_j) = "로ⁱ
_j 정의되는 듀얼 글로벌베이스(또는 coframe)"입니다.

이것은 R, 임의의 아핀 공간 또는 Lie 그룹(예: '곡선' 구체³ S, 'Weitzenböck 플랫' 매니폴드)에서ⁿ 일반적으로 발생하는 현상이다.

접속의 변환법칙 또는 동등한 속성을 사용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

제안입니다.로컬 좌표(U, x^μ), 즉 홀로노믹 프레임 _μθ에 관련된 자연적 기초에서 바이첸뵈크 접속의 (로컬) 접속 계수는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\Gamma ^{\mu \nu }}=h_{i}^{\display}\display_{\nu }h_{\mu }^{i}$

여기서_i X = i의^μ
_i 경우 _μhµ, μ = 1, 2, … n은 전역 물체의 국소 표현, 즉 주어진 사각형이다.

Weitzenböck 연결부는 곡률이 사라지지만 일반적으로 비틀림이 사라지지 않습니다.

프레임 필드 {X_i}가 지정되면 프레임 필드를 직교 정규 벡터 필드로 간주하여 메트릭을 정의할 수도 있습니다.그런 다음 다음과 같이 시그니처의 의사 리만 메트릭 텐서 필드 g(3,1)를 얻을 수 있다.

$\displaystyle g\left(\mathrm {X} _{i},\mathrm {X} _{j}\오른쪽)=\eta _{ij}$

어디에

${\displaystyle \eta _{ij}=\operatorname {diag}(-1,-1,-1,1)입니다.}$

해당하는 기본 시공간을 바이첸뵈크 ^[3]시공간이라고 합니다.

이러한 '병렬 벡터장'이 부산물로 미터법 텐서를 발생시킨다는 점을 주목할 필요가 있습니다.

새로운 평행 중력 이론

새로운 평행 중력 이론(또는 새로운 일반 상대성 이론)은 바이첸뵈크 시공간에서의 중력 이론으로, 평행 벡터장으로 형성된 비틀림 텐서에 중력을 부여한다.

새로운 평행중력 이론에서 기본적인 가정은 다음과 같습니다.

1961년 크리스티안 뮐러는^[4] 아인슈타인의 사상을 되살렸고, 펠레그리니와 플레반스키는^[5] 절대평행을 위한 라그랑주의 공식을 발견했다.

뮐러 사중력 이론

1961년 뮐러는^[4][6] 중력장에 대한 4차원 기술이 미터법 텐서만을 기반으로 한 이론보다 에너지-모멘텀 복합체를 보다 합리적으로 다룰 수 있음을 보여주었다.4중력을 중력 변수로 사용하는 것의 이점은 순수 미터법 공식보다 더 만족스러운 변환 특성을 가진 에너지-모멘텀 복합체에 대한 식을 구성할 수 있다는 사실과 관련이 있었다.2015년에는 물질과 중력의 총 에너지가 3공간에서 선형 ^[7]섭동 순서까지 리치 스칼라에 비례하는 것으로 나타났다.

새로운 번역 텔레패럴 게이지 중력 이론

1967년 하야시와 나카노는^[8] 독자적으로 아인슈타인의 아이디어를 되살렸고, 펠레그리니와 플레반스키는^[5] 시공간 번역군의 게이지 이론을 만들기 시작했다.하야시 교수는 시공간 번역군의 게이지 이론과 절대 평행성의 관련성을 지적했다.최초의 파이버 번들 배합은 ^[9]Cho에 의해 제공되었습니다.이 모델은 나중에 슈바이저 외 ^[10]연구진, 니치 및 홀, 마이어에 의해 연구되었으며, 보다 최근의 발전은 알드로반디, 페레이라, 그론발트, 이틴, 말루프와 다 로카 네토, 먼치, 오부호프와 페레이라, 그리고 슈크링과 술로위츠에서 찾을 수 있다.

오늘날 사람들은 전자기학과 통합하려 하지 않고 순전히 중력 이론으로^[11] 텔레평행론을 연구한다.이 이론에서 중력장은 번역 그룹의 게이지 이론과 마찬가지로 번역 게이지 전위^a_μ B에 의해 완전히 표현되는 것으로 밝혀졌습니다.

시공간 다양체의 각 점에 걸쳐 있는 내부 민코프스키 공간 섬유가 아벨리안⁴ R을 구조 그룹으로 하는 섬유 다발에 속하기 때문에 이 선택이 이루어지면 로렌츠 게이지 대칭이 더 이상 존재하지 않습니다.단, 다음과 같이 변환 게이지 대칭을 도입할 수 있습니다.4차원을 기본이라고 보는 대신, 기본⁴ R 변환 게이지 대칭(이 파이버가 다시 로컬로 만들어지도록 내부 Minkowski 공간 파이버에 친화적으로 작용함)을 Minkowski 공간 파이버에 접속 B와 "좌표 필드" x가 값을 취하도록 도입합니다.

보다 정확하게는 θ : M → M을 시공간 매니폴드 M 위의 민코프스키 섬유다발로 한다.각 점 pµM에 대해 파이버_p M은 아핀 공간입니다.섬유도(V, θ)에서 좌표는 보통 θ = (x^μ, x^a)로 표시되며, 여기서^μ x는 시공간 매니폴드 M 상의 좌표이고^a, x는 섬유_p M 내의 좌표이다.

추상 인덱스 표기법을 사용하여 a, b, c, …를_p M, μ, μ, δ…를 접선 번들 TM으로 합니다.특정 게이지에서 p점에서의 x 값은^a 다음 섹션으로 주어진다.

$\displaystyle x^{\mu }\to \left(x^{\mu },x^{a}=\xi ^{a}(p)\right).}$

공변 미분

$\displaystyle D_{\mu }\xi ^{a}\equiv \left(d\xi ^{a}\right)_{\mu }=\displaystyle _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}_{\mu}}}}}}$

는 변환 아벨군⁴ R의 Lie 대수의 1형식 가정값인 연결 형식 B에 대해 정의된다.여기서 d는 스칼라 필드인 x의 ath 성분의 외부 도함수이다(따라서 이것은 순수 추상 색인 표기법이 아니다).변환 필드α에^a 의한 게이지 변환에서는

${\displaystyle x^{a}\to x^{a}+\alpha ^{a}}$

그리고.

${\displaystyle {B^{a}}_{\mu}\to {B^{a}}_{\mu}-\partial _{\mu}\alpha^{a}}$

따라서 x = θ^a(p)의^a 공변 도함수는 게이지 불변이다.이는 번역(공동) 테트라드로 식별된다.

${\displaystyle {h^{a}}_{\mu}=\display_{\mu}\xi^{a}+{B^{a}}_{\mu}}$

이것은 변환 아벨 군⁴ R의 Lie 대수의 값을 취하는 단일 형태이며, 여기서 게이지 ^[12]불변이다.하지만 이게 무슨 뜻일까요?x^a = δ^a(p)는 (순수 변환) 아핀 내부 다발 M → M의 국소 섹션으로, 변환 게이지 필드^a_μ B와 더불어 또 다른 중요한 구조이다.기하학적으로 이 필드는 아핀 공간의 원점을 결정합니다. 이것은 카르탄의 반지름 벡터라고 합니다.게이지 이론 프레임워크에서 단일 형태는

${\displaystyle h^{a}={h^{a}_{\mu}_{\mu}=\left(\display_{\mu}\xi^{a}+{B^{a}}_{\mu }\right})^{\mu }}\left$

θ가^a 변환 대칭의 자발적 파괴를 설명하는 골드스톤 장으로 해석되는 비선형 변환 게이지 장으로 발생합니다.

대략적인 비유:M은 컴퓨터 화면이고 내부 변위는 마우스 포인터의 위치라고 생각하십시오_p.커브드 마우스 패드는 시공간으로, 마우스의 위치는 위치로 생각해 주세요.마우스를 커브된 마우스 패드 주위로 이동하면 마우스 포인터의 위치(내부 변위)도 변화하고 이 변화는 경로에 따라 달라집니다. 즉, 마우스의 초기 위치와 최종 위치에만 의존하지 않습니다.마우스 패드의 닫힌 경로 주위로 마우스를 이동할 때 내부 변위 변화가 비틀림입니다.

또 다른 조잡한 비유:선로 결함(가장자리 이탈 및 나사 이탈이 있지만 어긋남이 아님)이 있는 결정을 생각해 보십시오.경로를 따라 M점의 병렬 전송은 횡단된 (위/아래, 앞/뒤 및 왼쪽/오른쪽) 결정 결합의 수를 세어 구한다.버거 벡터는 비틀림에 해당합니다.불경사는 곡률에 해당하므로 생략됩니다.

비틀림, 즉 텔레패럴 중력(또는 변환 "곡선")의 변환 전계 강도,

${\displaystyle {T^{a}_{\mu \nu }\equiv \left(DB^{a}\right)_{\mu }=D_{B^{a}_{\nu }-D_{B^{a}}_{\nu}}_{\mu }$

게이지 불변입니다.

물론 x가 0인 게이지는^a 항상 선택할 수 있습니다(문제는 M은_p 아핀 공간이고 섬유이기도 합니다만, 포인트 단위로 원점을 정의해야 합니다만, 이것은 항상 임의로 실시할 수 있습니다).이것에 의해, 사방정체가 기본이 되는 이론으로 돌아옵니다.

텔레패럴리즘은 이 틀에 기초한 중력 이론을 말한다.일반 상대성 이론과 정확히^[9] 동등하게 만드는 특정한 작용의 선택사항이 있지만, GR과 동등하지 않은 다른 작용의 선택 사항도 있다.이러한 이론들 중 일부는 관성 ^[13]질량과 중력 질량 사이에 동등성이 없다.

GR과 달리 중력은 시공간 곡률에 의한 것이 아니다.그것은 비틀림 때문이다.

비중력 콘텍스트

시공간 기하학과 ^[14][15]결정의 결점 구조가 밀접하게 유사하다.전위는 비틀림, 편위는 곡률로 표시됩니다.이러한 결점은 서로 독립적이지 않습니다.전위는 공개-폐쇄 방지 쌍에 해당하며, 전위는 일련의 전위와 동일합니다.이것이 곡률만을 바탕으로 한 아인슈타인의 이론이 비틀림만을 바탕으로 한 텔레패럴 이론으로 다시 쓰여질 수 있는 기본적인 이유이다.게다가 아인슈타인의 이론을 다시 쓰는 방법에는 무한히 많은 것들이 있는데, 비틀림의 관점에서 얼마나 곡률을 다시 표현하고 싶은가에 따라, 텔레패럴 이론은 ^[16]이것들의 특정한 버전 중 하나에 불과합니다.

양자장론에서 텔레패럴리즘의 추가 적용은 단순 기하학적 다양체 상에 목표 공간을 갖는 2차원 비선형 시그마 모델이며, 그 재규격화 거동은 비틀림을 포함한 리치 흐름에 의해 제어된다.이 비틀림은 Ricci 텐서를 수정하고, 따라서 텔레패럴리즘("지질동토증")^[17] 때문에 커플링을 위한 적외선 고정점으로 이어집니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 고전적 중력 이론
• 게이지 중력 이론

레퍼런스

추가 정보

• Aldrovandi, R.; Pereira, J. G. (2012). Teleparallel Gravity: An Introduction. Springer: Dordrecht. ISBN 978-94-007-5142-2.
• Bishop, R. L.; Goldberg, S. I. (1968). Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.). Macmillan. ISBN 978-0-486-64039-6.
• Weitzenböck, R. (1923). Invariantentheorie. Groningen: Noordhoff.

외부 링크

• D에 의해 번역 및 편집된 텔레패럴리즘에 관한 논문.H. 델페니히
• nLab에서의 텔레패럴 중력
• 루카 봄벨리의 텔레패럴 구조와 중력 이론