미터법 연결

수학에서, 미터법 연결은 번들 메트릭이 장착된 벡터 번들 E에서의 연결이다. 즉, 두 벡터의 내부 생산물이 어떤 곡선을 따라 평행하게 운송될 때 동일한 상태를 유지하는 메트릭이다.^[1]이는 다음과 같다.

• E에 대한 메트릭의 공변량 파생 모델이 사라지는 연결부.
• E의 정형외과적 프레임의 번들에 대한 주요 연결부.

미터법 연결의 특별한 경우는 리만 접속이다; 비틀림 없는 독특한 리바이스-시비타 접속이 있다.이 경우 번들 E는 다지관의 접선 번들 TM이며, E에 대한 메트릭은 M에 대한 리만 측량계에 의해 유도된다.

미터법 연결의 또 다른 특별한 경우는 양-밀스 연결로, 양-밀스 운동 방정식을 만족한다.연결과 그 곡률을 정의하는 대부분의 기계는 번들 메트릭과의 호환성을 요구하지 않고 통과할 수 있다.그러나 일단 호환성이 요구되면 이 미터법 연결은 내부 제품인 Hodge star, Hodge dual 및 Laplacian을 정의하며, 양-밀스 방정식을 공식화하는 데 필요하다.null

정의

$\sigma {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma ,\tau }$을(를) 벡터 번들 E의 로컬 섹션으로 하고$$, X를 번들의 기본 공간 M에 있는 벡터 필드로 한다.${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle ,}$ , {${\displaystyle \{}${ {\$displaystyle \langle \cdot$,\$cdot \angle }$이(가) 번들 메트릭, 즉 E의 벡터 섬유에 대한 메트릭을$$ 정의하도록 하자.다음의 경우 E의 연결 D는 미터법 연결이다.

$\displaystyle d\langle \sigma,\tau \langle D\sigma,\tau \langle \sigma, D\tau \rangle .}$

여기 d는 스칼라 함수의 일반적인 차이점이다.공변량 파생상품은 기준공간에서 E-값 차등형태에 대한 지도의 역할을 하도록 확장할 수 있다.

$[\displaystyle D:\감마(E)\otimes \Oomega ^{p}(M)\to \Gamma(E)\otimes \Oomega ^{p+1}(M).}$

함수 f${\displaystyle }f{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}M}$) ${\displaystyle f\in \{0}(M)$에 $대해$ D ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \equiv }$ X f ${\$displaystyle $D_{X}f\equiv Xf}$를 정의하고$,$

$\displaystyle D(\sigma \otimes \omega )=D\sigma \wedge \omega +\sigma \otimes d\omega }$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ${\displaystyle \in }$∈ (${\displaystyle E}$) ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$은 벡터 번들의 로컬 매끄러운 섹션이며$$ $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$(${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \omega \in \p}(M)}$은 (scalar-값) p-form이다.위의 정의는 국부적인 평활 프레임뿐만 아니라 국부적인 평활 프레임에도 적용된다.null

메트릭 대 이중 쌍 구성

E에 부과된번들 메트릭 ⟨, ⋅, 음,\displaystyle\langle \cdot ,\cdot \angle}}은(는)벡터 번들에 내재된 벡터 공간의 자연적 결합(,,,, ⋅)과 그 이중 결합(\cdot ,\cdot)과 혼동해서는 안 된다.후자는 Endomorphism ${\displaystyle \text{End}}$(${\displaystyle E}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\displaystyle {\mbox{End}=$의 번들에 대한 함수다.$E\$otimes E$^{*}},$ 그렇게 하십시오$$.

${\displaystyle(\cdot ,\cdot ):E\otimes E^{*}\to M\times \mathb {R} }$

벡터를 M의 각 지점 위에 있는 이중 벡터(기능)와 쌍을 이룬다.That is, if ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ is any local coordinate frame on E, then one naturally obtains a dual coordinate frame ${\displaystyle \{e_{i}^{*}\}}$ on E* satisfying ${\displaystyle (e_{i},e_{j}^{*})=\delta _{ij}}$.

이와는 대조적으로 번들 메트릭 ${\displaystyle ⟨}$ ,${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle ⟩}$ \$\$ {\$displaystyle$ \$langle$\langle \$cdot$,\$cdot \rangele}$은${\displaystyle }$E ${\displaystyle ,}$ E$$, {\$displaystyle$E\$otimes$ E$,}$의 함수다$$.

$\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E\otime E\to M\time \mathb {R} }$

E의 각 벡터 공간 섬유에 내부 제품을 제공하는 것.번들 메트릭은 방정식 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}{}_{}}$ = ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$j$$. {\$displaystyle \langle e_{i}, e_${j$}\rangele$=\$delta _${ij$}$에 의해 정형 좌표 프레임을 정의할 수 있다.$}$

벡터 번들을 지정하면, 항상 그 위에서 번들 메트릭을 정의할 수 있다.null

표준 관행에 따라 페어링$({\displaystyle }$ $⋅$ )만 사용하여 번들 메트릭을 참조하지 않고 연결 양식, $크리스토펠$ 기호 및 리만 $곡률$을 정의할 수 있다$.$^[1]$$ 그들은 일반적인 대칭 특성을 따를 것이다. 예를 들어, 곡률 텐서는 마지막 두 지수에서 대칭성이며 두 번째 비안치 정체성을 만족시킬 것이다.그러나 호지 별, 라플라시안, 최초의 비앙치 정체성, 양-밀스 기능을 정의하기 위해서는 번들 메트릭스가 필요하다.null

연결 양식

로컬 번들 차트를 지정하면 공변량 파생 모델이 양식으로 작성될 수 있다.

$D=d+A}$

여기서 A는 연결 단일 양식이다.null

약간의 공칭적 기계들이 정돈되어 있다.Let ${\displaystyle \Gamma (E)}$ denote the space of differentiable sections on E, let ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$ denote the space of p-forms on M, and let ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=$$E\otimes$ E$^{*}$은(는) E의 내형성이다$$.여기서 정의한 공변량 파생상품은 지도 입니다.

$[\displaystyle D:\감마(E)\to \감마(E)\여러 번 \Oomega ^{1}(M)}$

연결 계수의 관점에서 연결 양식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle A_{j}{}{}^{k}\\\\\Gamma ^{k}{}{{ij}\,dx^{i}.}$

표기법 포인트는 섬유 n차원을 넘나드는 지수 j, k와 m차원 기준공간을 넘나드는 지수 i를 구분하는 것이다.아래의 Riemann 연결의 경우, 벡터 공간 E는 접선 번들 TM으로, n = m으로 간주된다.

연결 형태에 대한 A의 표기법은 전자성과 게이지 이론의 벡터 전위장에 대한 역사적 참고에서 물리학에서 유래한다.수학에서$$Ω {\$displaystyle \omega }$은(는) 연결 양식에 관한 글에서와 같이 A 대신에 종종 사용된다$$. 불행히도 연결 양식에$$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$omega }$을(를) 사용하는 것은 벡터 번들에 일반적인 교대 형태를 나타내는$$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ \$omega$}의 사용과 충돌한다.null

스큐 대칭

The connection is skew-symmetric in the vector-space (fiber) indices; that is, for a given vector field ${\displaystyle X\in TM}$, the matrix ${\displaystyle A(X)}$ is skew-symmetric; equivalently, it is an element of the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}$.

이것은 다음과 같이 볼 수 있다.섬유는 n-차원적이게 하여 번들 E에 i = 1, 2, ..., n과 함께 정형 로컬 프레임${\displaystyle }${${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}\}}$을(를) 부여할 수 있도록 한다. 그러면 정의에 따라 d ${\displaystyle e_{}}$≡ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystytyle de_{$i}\$equiv$ 0$\}$이 다음과 같이 된다.

${\displaystyle De_{i}=Ae_{i}=A_{i}{}^{j}e_{j}.}$

또한 번들 차트의$$ 각 ${\displaystyle \mathrm{지점}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \subset }$ M ${\displaystyle x\in U\subset M}$에 대해 로컬 프레임이 직교:

${\displaystyle \langle e_{i}(x), e_{j}(x)\angle =\cHB_{ij}.}$

따라서 모든 벡터 $X{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ X$\in T_{x}M}$에 대해 다음과 같이 한다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=X\langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle \\&=\langle A(X)e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle +\langle e_{i}(x),A(X)e_{j}(x)\rangle \\&=A_{i}{}^{j}(X)+A_{j}{}^{i}(X)\\end{aigned}}}$

즉, $A{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- A ${\displaystyle T^{}}$ ${\$ A$=-A^{\text{$$T}}}$은(는) 스큐 대칭이다.null

이는 명시적으로 번들 메트릭을 사용하여 달성된다. 이것을 사용하지 않고 페어링$({\displaystyle }$ $){\displaystyle(\cdot,\cdot )$만 사용하여 E의 연결 양식 $A$를 E의^∗ 이중 A와^∗ 연관시킬 수 있다$.$ $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$=${\displaystyle }$- A ${\displaystyle T^{}}$ ${\tyle$ A$^{*}=-A^{\$$text$}$T}}.}$ This follows from the definition of the dual connection as ${\displaystyle d(\sigma ,\tau ^{*})=(D\sigma ,\tau ^{*})+(\sigma ,D^{*}\tau ^{*}).$$}$

곡률

연결의 곡률에는 F를 사용하여 전계 강도 텐서를 나타내는 현대식 표기법, R을 곡률 텐서로 사용하는 고전적 표기법, 리만 곡률 텐서의 고전적 표기법 등 여러 가지 표기법이 사용되며, 대부분은 벡터 번들의 경우로 자연스럽게 확장될 수 있다.이러한 정의 중 어떤 것도 미터법 텐서 또는 번들 메트릭을 필요로 하지 않으며, 이러한 정의에 대한 참조 없이 상당히 구체적으로 정의할 수 있다.그러나 그 정의는 위에서 설명한 바와 같이 E의 내형성에 대한 명확한 이해를 요구한다.null

콤팩트 스타일

곡률 F의 가장 콤팩트한 정의는 연결이 정확하게 되지 않는 양(즉, 다음과 같이)이 주어지는 ${\displaystyle \text{End}}$ ${\displaystyle (E}$) ${\displaystyle${\$mbox{End}}$의 값을 취하는 2-폼으로 정의하는 것이다$.$

$F=D\circle D}$

의 요소인

${\displaystyle F\in \Oomega ^{2}(M)\time {\mbox{End},}$

또는 동등하게

${\displaystyle F:\Gamma(E)\to \Gamma(E)\여러 번 \Oomega ^{2}(M)}$

${\displaystyle \mathrm{이}}$를 다른 일반적인 정의와 공명과 관련시키려면 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ( ${\displaystyle (E}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \sigma \in \Gamma$ (E$)}$을(를) E의 섹션으로$$ 두십시오.위에 삽입하고 확장하면

${\displaystyle F\sigma =(D\circle D)\sigma =(d+A)\circle(d+A)\sigma =(dA+)A\wedge A)\sigma }$

또는 동등하게, 단면 삭제

$F=dA+A\웨지 A}$

간결한 정의로null

구성요소 스타일

구성요소의 경우, $A{\displaystyle }$= A ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ i${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle A=A_{i}dx^{i}}}$을(를) 두십시오. $여기$서 d x ${\displaystyle i^{}}${\$displaystyle dx^{i}}$는 등각재 번들 TM에^* 있는 표준 단일 형태의 좌표 기반이다$$.위에 삽입하고 확장하면 다음과 같은 결과를 얻는다.null

${\displaystyle F={\frac {1}{1}:{2}}:\frac {\partial A_{j}}-{\partial x^{i}}-{\partial A_{i}}}+[A_{i}}}},A_{j}]\오른쪽)dx^{i}\wedge dx^{j}.}$

n차원 벡터 공간의 경우 각 ${\displaystyle {Ai}_{}}$ ${\$는 n×n 행렬로$$, 지수는 억제된 반면, 지수 i와 j는 1,...,m을 넘고, m은 기저 다지관의 치수가 된다는 점을 명심하십시오.이 두 지수는 다음 절에서와 같이 동시에 나타낼 수 있다.null

여기에 제시된 표기법은 물리학에서 일반적으로 사용되는 것이다. 예를 들어, 그것은 글루온장 강도 텐서로서 즉시 인식될 수 있다.아벨의 경우는 n=1이고, 벡터 번들은 1차원이다; 정류자는 사라지며, 그 후 위의 것은 다소 표준물리 표기법에서 전자기 텐서로서 인식될 수 있다.null

상대성 스타일

All of the indices can be made explicit by providing a smooth frame ${\displaystyle \{e_{i}\}}$, i = 1, ..., n on ${\displaystyle \Gamma (E)}$. A given section ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$ then may be written as

${\displaystyle \sigma =\sigma ^{i}e_{i}}}}$

이 로컬 프레임에서 연결 양식은

${\displaystyle(A_{i}dx^{i})_{j}^{}^{k}=\감마 ^{k}{}{}_{ij}dx^{i}}}}}$

${\displaystyle {\mathrm{\gamma k}}_{}}$ i j ${\$가 크리스토펠 기호인 경우, 지수 i는 1, ..., m(기초 다지관 M의 치수)을 초과하며, j와 k는 1, ..., n, 섬유 치수를 초과한다.크랭크를 삽입하고 돌리면

${\displaystyle {\reasoned}F\sigma &={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{jr}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{ir}}{\partial x^{j}}}+\Gamma ^{k}{}_{is}\Gamma ^{s}{}_{jr}-\Gamma ^{k}{}_{js}\Gamma ^{s}{}_{ir}\right)\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\&=R^{k}{}_{rij}\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle {Rk}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ R$^{k}{}_{rij}}$은(는) 이제 Riemann 곡률 텐서(tensor)로 식별할 수 있다.이는 20세기 중엽부터 일반 상대성 교과서에 흔히 쓰이는 문체로 쓰여 있다(MTW와 같은 몇 가지 주목할 만한 예외는 인덱스프리 표기법을 일찍이 추진한 것이다).다시, 지수 i와 j는 다지관 M의 치수에 걸쳐 있는 반면, r과 k는 섬유의 치수에 걸쳐 있다.null

접선 번들 스타일

위의 내용은 접선 번들 TM의 표준 기본 요소로${\displaystyle \mathrm{}\partial \mathrm{}}$/ ${\displaystyle i^{}}$ x i ${\$/\$partial x$^{i$}}$를 작성하여 벡터 필드 스타일에 역포팅할 수 있다.그런 다음 곡률 텐서를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle R\left({\frac {\partial x^{i}}},{\partial }{\partial x^{j}}\오른쪽)\시그마 = {r}R_{r_{\;rij}^{k}e_{k}}}}}}}}}}}}}}$

공간 방향이 재조정되어 표기법이 만들어지도록 한다.

${\displaystyle F\sigma =R(\cdot ,\cdot )\sigma }$

또는 TM에 벡터 필드 X와 Y로 표현하여 지수를 숨기면서 공간적 방향을 분명하게 나타낼 수 있다.표준 기준에서 X는 다음과 같다.

${\displaystyle X=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}}}$

Y도 마찬가지 입니다. 플러그와 츄그를 조금 한 후,

${\displaystyle R(X,Y)\sigma =D_{X}D_{Y}\sigma -D_{Y}D_{X}\sigma -D_{[X,Y]}\sigma }}}$

어디에

${\displaystyle [X,Y]={\mathcal {L}_{Y}X}$

X에 대한 벡터 필드 Y의 Lie 파생 모델이다.

곡률 텐서는 섬유를 섬유에 매핑하는 방법:

$[\displaystyle R(X,Y):\감마(E)\to \감마(E)}$

하도록

${\displaystyle R(\cdot ,\cdot ):\Oomega ^{2}(M)\time \Gamma(E)\to \Gamma(E)}$

아주 명확하게 말하면, $F{\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$ (${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle F=R(\cdot ,\cdot )}$은 같은 것에 대한 대체 표기법이다$$.위의 조작 중 어떤 것도 실제로 번들 메트릭을 통과할 필요가 없었는지 관찰하십시오.제2의 비안치 정체성도 증명할 수 있다.

$[\displaystyle DF=0}$

번들 메트릭을 사용할 필요 없이null

양-밀스 연결

위의 곡률 텐서 개발은 번들 메트릭에 어떠한 호소도 하지 않았다.즉, 그들은 D 또는 A가 미터법 연결이라고 가정할 필요가 없었다. 벡터 번들에 연결을 갖는 것만으로도 위의 양식을 얻기에 충분하다.모든 다른 공칭 변형은 단지 묶음 섬유들의 내형성에 대한 고려에서 직접적으로 따른다.null

번들 메트릭은 호지 항성과 호지 이중성을 정의하는데 필요하다. 즉, 라플라시안을 정의하고 다음을 증명하는 데 필요하다.

${\displaystyle D{\star }F=0}$

이러한 정체성을 만족하는 모든 연결을 양-밀 연결이라고 한다.이 연결이 양-밀스 작용에 적용된 오일러-라그랑주 방정식의 임계점임을 알 수 있다.

${\displaystyle YM_{D}=\int _{M}(F,F){\star }(1)$

여기서 $\star {\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle {\star }($1)은$$볼륨 요소, 상수 1의 Hodge 이중이다.이 동작을 구성하려면 세 가지 다른 내부 제품이 필요하다는 점에 유의하십시오. E의 미터법 연결, End(E)의 내부 제품, 2차 카시미르 연산자와 동등한(매트리시 한 쌍의 추적), Hodge 이중.null

리만 접속

미터법 연결의 중요한 특별한 경우는 리만 연결이다.This is a connection ${\displaystyle \nabla }$ on the tangent bundle of a pseudo-Riemannian manifold (M, g) such that ${\displaystyle \nabla _{X}g=0}$ for all vector fields X on M. Equivalently, ${\displaystyle \nabla }$ is Riemannian if the parallel transport it defines preserves the metric g.null

주어진 연결 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \nabla}$은(는) Riemanian이다.

${\displaystyle \partial _{X}(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$

M의 모든 벡터 ${\displaystyle {필드}_{}}$ X, Y 및 Z에 대해, 여기서 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$( g ( ${\displaystyle (Y,Z}$ ${\displaystyle ))}$ ${\displaystyle \partial _{X$${\displaystyle \}(}$$g, Z$$)}}$은 이 벡터 필드 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$g $(Y,Z$$)}$의 파생값을 나타낸다$$$.$

Levi-Civita 연결은 다지관의 비틀림 없는 리만 연결이다.리만 기하학의 근본적인 정리에 의해 독특하다.모든 리만족의 연결에 대해, 레비-시비타 연결에 해당하는 (독특한)을 쓸 수 있다.그 둘의 차이는 비틀림 텐서(tension tensor)에 의해 주어진다.null

성분 표기법에서 공변량 파생상품 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \nabla$}은$($는) 다음과 ${\displaystyle {\mathrm{같은}}_{}}$ 경우 미터법 텐서 g ${\displaystyle a_{}}$ ${\$와 호환된다$$.

$\displaystyle \probla _{\!c}\,g_{ab}=0.}$

다른 공변량 파생상품이 정의될 수 있지만, 일반적으로는 미터법 호환 파생상품만 고려한다.이는 두 가지 공변량 파생상품인${\displaystyle \mathrm{}}$∇ ${\displaystyle \nabla }$과 ${\displaystyle {\nabla }^{}}${\displaystyle \nabla $'}$을(를) 고려할 때,$$∇ {\$displaystyle$ \$nabla$ '}을(를)로 변환하기 위한 텐서가 존재하기 때문이다.

${\displaystyle \nabla _{a}x_{b}=\nabla _{a}x_{b}-{C_{ab}}^{c}x_{c}.}$

공간도 비틀림이 없는 경우 텐서 C ${\displaystyle {a_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {c_{}}^{}}$ ${\$는 처음 두 지수에서 대칭이다$$.null

표기법에 대한 단어

이 설정에서는 표기법을 변경하여 D 대신에 나블라 기호 ∇을 사용하는 것이 관례인데, 다른 면에서는 이 두 가지가 같은 것이다.즉, 앞의 절의 sections = D.null

마찬가지로 E의 내부 제품인 ${\displaystyle ⟨,\cdot ,}$ {\$displaystyle \langle$\langle \$cdot ,\cdot \angle }$은 TM의 미터법 텐서 g로 대체된다.이는 과거 사용과 일치하지만 혼동을 방지한다. 벡터 번들 E의 일반적인 경우, 기초 다지관 M은 측정기준을 부여받은 것으로 간주되지 않는다.E의 번들 메트릭스${\displaystyle }$metric ,${\displaystyle \cdot }$ ⟩ \ , ⋅ \ $\displaystyle \langle \cdot$\langle $\cdot$ \$rangle }$ 외에 TM에 메트릭 g을 모두 가진 다지관의 특별한 경우는 칼루자-클레인 이론으로 이어진다.null

참고 항목

• 수직 및 수평 번들

참조

• Rodrigues, W. A.; Fernández, V. V.; Moya, A. M. (2005). "Metric compatible covariant derivatives". arXiv:math/0501561.
• Wald, Robert M. (1984), General Relativity, University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2
• Schmidt, B. G. (1973). "Conditions on a Connection to be a Metric Connection". Commun. Math. Phys. 29 (1): 55–59. Bibcode:1973CMaPh..29...55S. doi:10.1007/bf01661152. hdl:10338.dmlcz/127117. S2CID 121543450.