틸팅 이론

우리가 생각하기에 고정된 뿌리 시스템의 기초의 변화로 생각하는 유사한 변환을 이용하는 우리의 functors의 적용이 있다는 것이 밝혀졌다. 즉, 뿌리에 상대적으로 축이 기울어져서 양의 원뿔에 다른 뿌리 부분 집합이 놓여지게 되는 것이다.… 이런 이유로 '틸트'라는 말이 쉽게 번져나가기 때문에 우리는 우리의 functors를 tilting functors 또는 단순히 tilts라고 부른다.

Brenner & Butler (1980, p. 103)

수학, 구체적으로 표현 이론에서 틸팅 이론은 소위 틸팅 모듈과 관련 틸팅 펑커를 사용하여 두 알헤브라의 모듈 범주를 연관시키는 방법을 설명한다.여기서 두 번째 대수학은 첫 번째 대수보다 기울어지는 모듈의 내형성 대수다.

틸팅 이론은 조셉 베른슈테인, 이스라엘 겔판드, 브이(V)에 의한 반사 공법의 도입으로 동기부여가 되었다.A. 포노마레프(1973); 이 환자들은 두 떨림의 표현을 연관시키는 데 사용되었다.이 펑커들은 모리스 아우스랜더, 마리아 이네스 플라체크, 이둔 레이텐(1979)에 의해 개혁되었고, 틸팅 펑커를 도입한 쉴라 브레너와 마이클 C. R. 버틀러(1980)에 의해 일반화되었다.디터 하펠과 클로스 마이클 링겔(1982)은 기울어진 알헤브라와 기울어진 모듈을 이것에 대한 추가적인 일반화로 정의했다.

정의들

A가 어떤 분야에 대한 유한 차원 단항 연관 대수라고 가정해 보자.정밀하게 생성된 우측 A-모듈 T는 다음과 같은 세 가지 특성을 가진 경우 틸팅 모듈이라고 한다.

T는 최대 1의 투사적 차원을 가지고 있으며, 다시 말해 투사적 서브모듈에 의한 투사 모듈의 지수인 것이다.
Ext¹
_A(T,T) = 0.
오른쪽 A-모듈 A는 T의 직접 합계 유한 직접합계 사이의 허탈적 형태론의 커널이다.

그러한 기울어지는 모듈을 감안하여, 우리는 내형성 대수 B = End_A(T)를 정의한다.이것은 또 다른 유한차원 대수학이며, T는 미세하게 생성된 좌 B-모듈이다.틸팅 펑커 Hom_A(T,-), Ext¹
_A(T,-), _B-throughtT 및 Tor^B
₁(,T)는 정밀하게 생성된 권리 A-module의 범주 mod-A를 정밀하게 생성된 권리 B-module의 범주 mod-B와 연관시킨다.

실제로 그러한 알헤브라에 대한 모듈 범주는 상당히 잘 이해되기 때문에 종종 유전적 유한 치수 알헤브라스 A를 고려한다.세습 유한 치수 대수보다 기울어지는 모듈의 내형성 대수학을 기울어진 대수라고 한다.

사실들

A가 유한 차원 대수라고 가정하고, T는 A보다 기울어지는 모듈이며, B = End_A(T)라고 가정한다.F=Hom_A(T,-), F′=Ext¹
_A(T,-), G=-⊗_BT, G′=Tor^B
₁(-,T)를 쓴다.F는 G에 오른쪽, F는 G에 오른쪽이다.

브레너 & 버틀러(1980)는 틸팅 펑커스가 mod-A와 mod-B의 특정 하위 범주 사이에 동등성을 부여한다는 것을 보여주었다.Specifically, if we define the two subcategories ${\mathcal {F}}=\ker(F)$ and ${\mathcal {T}}=\ker(F')$ of A-mod, and the two subcategories ${\mathcal {X}}=\ker(G)$ and ${\displaystyle {\mat$ $hcal{Y}}=\ker(G')}$ B-mod의 다음 ${\mathcal {Y}}=\ker(G')$ $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ ) ${\displaystyle({\mathcal{T},{\mathcal{F})$ 은 $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ A-mod의 비틀림 쌍이다. ${\mathcal {T}}$ and ${\mathcal {F}}$ are maximal subcategories with the property $\operatorname {Hom} ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})=0$ ; this implies that every M in A-mod admits a natural short exact sequence ${\displ$ $aystyle 0\to U\to M\to V\to 0}$ with U in ${\mathcal {T}}$ and V in ${\mathcal {F}}$ ) and $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ is a torsion pair in B-mod.Further, the restrictions of the functors F and G yield inverse equivalences between ${\mathcal {T}}$ and ${\mathcal {Y}}$ , while the restrictions of F′ and G′ yield inverse equivalences between ${\mathcal {F}}$ and ${\mathcal {X}}$ . (No이러한 동등성이 비틀림 쌍 $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ , $){\displaystyle({\mathcal{T},{\mathcal{F}})$ 및 $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ ( $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ , $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ ) ${\displaystyle({\mathcal{X},{\mathcal}}})$ 의 순서를 바꾸는 경우. $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$

틸팅 이론은 T가 투영 발전기일 경우 회복되는 모리타 동등성의 일반화로 볼 수 있다. 이 ${\mathcal {T}}=\operatorname {mod} -A$ T ${\mathcal {T}}=\operatorname {mod} -A$ = ${\mathcal {T}}=\operatorname {mod} -A$ - ${\mathcal {T}}=\operatorname {mod} -A$ A ${\mathcal{T}=\operatorname {mod} -A$ 및 Y ${\mathcal {T}}=\operatorname {mod} -A$ = ${\mathcal {Y}}=\operatorname {mod} -B$ - ${\mathcal {Y}}=\operatorname {mod} -B$ ${\mathstyle$ { $Y}=\mathatorname {mod} -B$

A가 유한한 글로벌 차원을 가지고 있다면 B도 유한한 글로벌 차원을 가지고 있으며, F와 F'의 차이는 그로텐디크 그룹₀ K(A)와₀ K(B)의 등위계를 유도한다.

In case A is hereditary (i.e. B is a tilted algebra), the global dimension of B is at most 2, and the torsion pair $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ splits, i.e. every indecomposable object of B-mod is either in ${\mathcal {X}}$ or in ${\mathcal {Y}}$ .

Happel(1988)과 Cline, Parshall & Scott(1986)은 일반적으로 A와 B가 파생된 등가물(즉, 파생된 범주 D^b(A-mod)과 D^b(B-mod)는 삼각형 범주와 동등하다는 것을 보여주었다.

일반화 및 확장

유한차원 대수 A에 대해 일반화된 기울기 모듈은 다음과 같은 세 가지 특성을 가진 오른쪽 A-모듈 T이다.

T는 유한한 투영 치수를 가지고 있다.
Extⁱ
_A(T,T) = 모든 i>0에 대해 0.
$0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0$ 한 순서_i 0 → A $0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0$ → $0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0$ $0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0$ → $0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0$ → $0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0$ n $0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0$ → 0 $[\displaystyle$ 0 $\to T_{1$ }\ $to \dots \to$ T_{ $n}\to$ 0 $}$ 이 있으며, 여기서 $0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0$ T는 T의 직접 합계의 유한 직접 합이다.

이러한 일반화된 기울기 모듈은 또한 A와 B 사이에 파생된 동등성을 산출한다. 여기서 B=End_A(T)는 다음과 같다.

Rickard(1989)는 S가 R에 대한 "틸팅 콤플렉스"의 내형성 대수인 경우에만 두 개의 유한차원 알헤브라 R과 S가 동등하게 파생된다는 것을 증명함으로써 파생 동등성에 대한 결과를 확장했다.틸팅 콤플렉스는 일반화된 틸팅 모듈을 일반화한 것이다.이 정리의 버전은 임의의 링 R과 S에 유효하다.

Happel, Reiten & Smalø(1996)는 모든 Hom- 및 Ext-space가 일부 대수적으로 닫힌 필드 k에 대해 유한한 차원인 유전 아벨리아 범주에서 기울어지는 물체를 정의했다.이러한 기울어진 물체의 내형성 알헤브라는 기울어진 알헤브라의 일반화인 준틸화된 알헤브라스다.k 위에 있는 준틸 알헤브라는 정확하게 지구 치수 ≤ 2의 k 위에 있는 유한 치수 알헤브라로서, 모든 외설적 모듈에는 투영 치수 1 1 또는 주입 치수 1 1. Happel(2001)은 위 구조에서 나타날 수 있는 유전 아벨리아 범주를 분류했다.

Colpi & Fuller(2007)는 임의의 아벨리아 범주 C에서 틸팅 객체 T를 정의했다. 이들의 정의는 C가 임의의 (아마도 무한한) T 복사본 수의 직접 합을 포함하도록 요구하므로, 이는 위에서 고려한 유한 차원 상황을 직접적으로 일반화하는 것이 아니다.내형성 링 R이 있는 그러한 기울어지는 물체를 고려할 때, 그들은 모든 R-모듈의 범주인 C의 비틀림 쌍과 R-Mod의 비틀림 쌍 사이에 동등성을 제공하는 틸팅 펑커를 확립한다.

군집 알헤브라의 이론에서 군집 범주의 정의(부안 등으로부터)가 나왔다. (2006) 및 군집 기울어진 대수(Buan, Marsh & Reiten(2007)는 세습 대수 A와 관련이 있다.클러스터 기울어진 대수학(cluster gifted 대수학)은 특정 반간접제품으로 기울어진 대수학에서 발생하며, A의 클러스터 범주는 A에서 발생하는 클러스터 기울어진 알헤브라의 모든 모듈 범주를 요약한다.

참조

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Unger, L. (2001) [1994], "Tilting theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

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