지수 모듈

Quotient module

대수학에서는 모듈 및 서브모듈이 주어지며, 그 몫의 모듈을 구성할 수 있다.[1][2]아래 설명된 이 구조는 지수 벡터 공간의 구조와 매우 유사하다.이러한 경우, 인수를 정의하는 데 사용되는 아공간이 주변 공간과 같은 성질이 아니라는 사실(즉, 인지트 링은 서브링이 아닌 이상에 의한 반지의 인지, 인지트 그룹은 정상 서브그룹에 의한 그룹의 인지)에 의해 유사한 인지구조와 다르다., 일반 부분군에 의한 것이 아니다.

링 R에 대한 모듈 A와 A의 하위 모듈 B가 주어진 경우, A/B는 등가 관계에 의해 정의된다.

만약의 경우에 한해서만

A의 어느 a와 b에 대해서도A/B의 요소는 등가 등급 [a] = a + B = {a + B : B}이다.π: A → A/B가 등가 등급 a + B로 a를 보내는 것을 인용지도 또는 투영지도라고 하며, 모듈 동형성이다.

A/B에 대한 추가 연산은 두 개의 등가 등급에 대해 이러한 등급의 대표자 2명의 합에 대한 등가 등급으로 정의되며, R의 요소에 의한 A/B 요소의 스칼라 곱셈도 이와 유사하게 정의된다.이러한 운영이 잘 정의되어 있음을 보여줘야 한다는 점에 유의하십시오.그러면 A/B는 그 자체로 지수 모듈이라 불리는 R-모듈이 된다.기호에서 (a + B) + (b + B) := (a + b) + B, r · (a + B) := (r · a) + B, 모든 a, b in A 및 r in R.

예

실제 숫자의 R 링과 실제 계수가 있는 다항식 링인 R-모듈 A = R[X]을 고려하십시오.하위 모듈 고려

B = (X2 + 1) R[X]

A, 즉 X2 + 1로 분할할 수 있는 모든 다항식의 하위절.이 모듈에 의해 결정된 동등성 관계는 다음과 같다.

P(X) ~ Q(X)를 X2 + 1로 나눌 때 P(X)와 Q(X)가 같은 나머지를 주는 경우에만 해당된다.

따라서 지수 모듈 A/B에서 X2 + 1은 0과 같으므로 X2 + 1 = 0을 설정하여 R[X]에서 얻은 A/B를 볼 수 있다.이 지수 모듈은 실제 수치 R에 대한 모듈로 간주되는 복잡한 숫자에 이형적이다.

참고 항목

참조

  1. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
  2. ^ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.