입방면

수학에서 입방면은 3도 3의 하나의 다항식 방정식으로 정의되는 3차원 공간의 표면이다.입방 표면은 대수 기하학에서 기본적인 예들이다.이 이론은 아핀 스페이스가 아닌 투영 공간에서 작업함으로써 단순화되므로 입방면은 일반적으로 투영 3공간 $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에서 고려된다$.$이 이론은 또한 실제 수치보다 복잡한 숫자에 초점을 맞추면 더 균일해진다; 복잡한 표면은 실제 치수 4를 가지고 있다는 것에 주목하라.간단한 예는 페르마 입방면이다.

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}}=0}$

$P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에서$.$ 입방 표면의 많은 특성들은 델 페조 표면의 경우 보다 일반적으로 유지된다.

입방면의 합리성

1866년 알프레드 클레브슈가 보여주듯이, 대수로 닫힌 영역 위에 매끄러운 입방 표면 X의 중심적인 특징은 모두 이성적이라는 것이다.^[1]즉, 투사 평면 $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}$$- 저차원 부분집합과$$ X - 저차원 부분집합 사이에 합리적인 함수에 의해 정의된 일대일 일치성이 있다.보다 일반적으로 대수적으로 닫힌 장 위에 있는 모든 무적합 입방 표면(아마도 단수)은 입방 곡선에 대한 투영 원뿔이 아닌 한 합리적이다.^[2]이 점에서 입방면은 결코 합리적이지 않은 $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에서 최소한 4는 부드러운 정도의 표면보다 훨씬 단순하다.특성 0에서 P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$3}$의 최소 4도 매끄러운 표면은 가려짐조차 없다$$.^[3]

더욱 강하게 클레브쉬는 ${\displaystyle {}^{}}$으로 폐쇄된 장에 걸쳐$$ $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ 3 ${\$의 매끄러운 입방 표면이 6 포인트에서$$ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}의 블로업과 이형성이 있음을 보여주었다.^[4]결과적으로, 복잡한 숫자에 걸쳐 매끄러운 입방체 표면은 모두 연결된 합 C ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}\mathrm{}}$# 6${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ )${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})$과 차이가 난다$.$ 여기서 마이너스 부호는 방향의 변화를 가리킨다.반대로 P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}} 지점의$$ 블로업은 점들이 일반적인 위치에 있는 경우에만 입방 표면으로 이형화되는데, 이는 점들이 한 선에 놓여 있지 않고 6개 모두가 원뿔에 놓여 있지 않다는 것을 의미한다.복합 다지관(또는 대수적 다양성)으로서 표면은 그 6개의 점의 배열에 따라 달라진다.

입방면 27줄

입방 표면의 합리성에 대한 대부분의 증거는 표면에서 선을 찾는 것으로 시작한다.($투영{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ 기하학의 ${\displaystyle {}^{}}$에서 P 3 ${\$\mathbf {$P} ^3}의$선은 ${\displaystyle {}^{}}$ 1 ${\$ {$P}{$1} ^1})$$$보다$ 정확하게는 1849년에 아서 케일리와 조지 샐먼트의 모든 입방 표면이 정확히 27개의 선을 포함하고 있음을 보여주었다.^[5]이것은 큐빅의 독특한 특징이다: 부드러운 사분면(2도) 표면은 연속적인 선 계열로 덮여 있는 반면, $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$에서 최소 4도면$(\$에는 선이 없다$$.27개의 선을 찾는 또 다른 유용한 기술은 슈베르트 미적분학을 포함하고 있는데, 이 ${\displaystyle {}^{}}$은 P 3$${\$displaystyle \mathbf{P}$^{$3}$에 있는 선들의 그래스만족의 교차 이론을 이용하여 선 수를 계산한다$.$

매끄러운 복잡한 입방 표면의 계수가 변화함에 따라 27개의 선은 연속적으로 움직인다.결과적으로 부드러운 입방 표면 계열의 폐쇄 루프는 27개의 선의 순열을 결정한다.이렇게 생겨난 27개의 선들의 순열 집단을 입방 표면 계열의 단색 집단이라고 한다.19세기의 주목할 만한 발견은 모노드로미 집단이 사소한 것도 아니고 전체 대칭 집단 S ${\$ 순서 51840의 집단이며, 선 집합에서 트랜시브하게 행동한다는 것이었다.^[4]이 그룹은 점차적으로 $Elie{\displaystyle {}_{}}$ Cartan(1896), Arthur Coble(1915-17), Patrick du Val(1936)을 Lie 그룹 E ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 6차원 리얼 벡터 공간에 대한 반사로 생성된 그룹$$${\displaystyle {E6\mathrm{}}_{}}$${\$의 Weil 그룹으로 인식되었다.^[4]

같은 순서 그룹 51840을 조합 용어로 설명할 수 있는데, 27개의 선 그래프의 자동형 그룹으로, 각 선에 대한 꼭지점과 두 선이 만날 때마다 가장자리가 있다.^[6]이 그래프는 슐래플리 이중 6 구성과 같은 하위 그래프를 사용하여 19세기에 분석되었다.보완 그래프(두 선이 분리될 때마다 가장자리가 있는)를 Schléfli 그래프라고 한다.

입방면에 관한 많은 문제들은 E ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 루트$$ 시스템의 조합법을 사용하여 해결할 수 있다.$예$를 들어 27개의 선은 Lie $그룹$ $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 6_{}}$의$기본$ 표현 가중치로 식별할 수 있다$.$입방체 표면에서 발생할 수 있는 특이점 집합은 E ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 루트$$ 시스템의 서브시스템 측면에서 설명할 수 있다.^[7]One explanation for this connection is that the ${\displaystyle E_{6}}$ lattice arises as the orthogonal complement to the anticanonical class ${\displaystyle -K_{X}}$ in the Picard group ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\cong \mathbf {Z} ^{7}}$, with its intersection form (coming f표면의 곡선의 교차 이론을 롬으로 하다.매끄러운 복잡한 입방체 표면의 경우, 피카르 격자는 또한 코호몰로지 그룹 H ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X\mathbf{}}$, ${\displaystyle Z}$) ${\displaystyle$ H$^{2}(X,\mathbf {Z} )}$과(와) 함께 식별할 수 있다$.$

에카르트 지점은 27개 노선 중 3개가 만나는 지점이다.대부분의 입방 표면에는 Eckardt 지점이 없지만, 그러한 지점은 모든 매끄러운 입방 표면의 코디멘션-1 부분 집합에서 발생한다.^[8]

X의 입방체 표면과 $일반{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ 위치의 6개 지점에서$$ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$$displaystyle$$\mathbf {P}{{2}}$의 Blow-up 사이에 식별을 할 경우, X의 27개 선은 Blow-up에 의해 생성된 6개의 예외 곡선, P ${\displaystyle {}^{}}$의 6개 $포인트$ 쌍을 통한 15개 선의 Birial 변환으로 볼 수 있다$.$$hbf {P} ^{2}}:$및 6개 점 중 하나를 제외한 모든 점을 포함하는 6개 원뿔의 쌍생 변환.^[9]주어진 입방체 표면은 $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 블로우업으로 볼 수 있으므로(사실상 72가지 다른 방법으로), 블로우업으로 설명한다고 해서 27개 선 전체의 대칭성이 드러나지는 않는다.

입방 표면과 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 루트$$ 시스템 사이의 관계는 모든 델 페조 표면과 루트 시스템 사이의 관계로 일반화된다.이것은 수학에서 많은 ADE 분류 중 하나이다.이러한 유사성을 추구하면서 베라 세르가노바와 알렉세이 스코로보가토프는 입방 표면과 Lie 그룹 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 사이에 직접적인 기하학적 관계를 부여했다$.$^[10]

물리학에서 27개 선은 6차원 토러스(6 모멘텀a; 15막; 6 5브레인)에 M 이론이 27개 가능한 전하로 식별할 수 있으며, 그러면 E 그룹은₆ 자연스럽게 U-이중성 집단으로 작용한다.델 페조 표면과 토리의 M-이론 사이의 이 지도는 신비한 이중성으로 알려져 있다.

특수 입방면

${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 큰 자동형성 그룹이 있는$$ $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ 3 ${\$의 부드러운 복합 입방 표면은 페르마 입방 표면으로 정의된다.

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0.}$

그것의 자동형성 그룹은 확장 $3{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ :${\displaystyle {}^{}}$S ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ $[\$ 스타일 3$^{3}:$648 순서의 $S_{4$^[11]

다음으로 가장 대칭적인 평활 입방체 표면은 Clebsch 표면으로, 두 방정식으로 P$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ {$P} ^4}$에 정의될 수 있다.

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

그것의 자동화 그룹은 순서 120의 대칭 ${\displaystyle {그룹\mathrm{}}_{}}$ S $5{\displaystyle {}_{}}$ ${\$이다$.$복잡한 선형 좌표 변화 후 클렙슈 표면도 방정식으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle x^{2}y+y^{2}z+z^{2}w+w^{2}w+w^{2}}}x=0}$

$P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 $.$

단일한 복잡한 입방체 표면 중에서 Cayley의 노들 입방체 표면은 최대 노드 수인 4를 가진 고유한 표면이다.

${\displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx=0.}$

그것의 자동화 그룹은 순서 24의 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$이다.

실제 입방면

복잡한 경우와는 대조적으로, 실수에 걸쳐 매끄러운 입방 표면의 공간은 고전적 위상(R의 위상 기준)에서 연결되지 않는다.그것의 연결된 구성 요소들 (즉, 동위원소까지의 매끄러운 실제 입방 표면의 분류)은 루트비히 슐레플리 (1863), 펠릭스 클라인 (1865), H. G. Zeuthen (1875)에 의해 결정되었다.^[12]즉, P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 매끄러운 실제 입방 표면 X의 동위원소 등급이 5개 있으며$,$ $이$는 실제 지점 X${\displaystyle }$( ${\displaystyle R\mathbf{}}$) ${\displaystyle X(\mathbf {R})}$의 공간 위상상으로 구분된다$.$The space of real points is diffeomorphic to either ${\displaystyle W_{7},W_{5},W_{3},W_{1}}$, or the disjoint union of ${\displaystyle W_{1}}$ and the 2-sphere, where ${\displaystyle W_{r}}$ denotes the connected sum of r copies of the real projective plane ${\displaystyle {\mathbf{R}\mathbf{P}}^2}$${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2$ 이에 상응하여 X에 포함된 실선의 수는 27, 15, 7, 3 또는 3이다.

매끄러운 실제 입방체 표면은 실제 지점의 공간이 연결되어 있는 경우에만 R에 대해 합리적이므로, 앞의 5개 사례 중 처음 4개 사례에 해당한다.^[13]

Bombieri 내제품에 의해 유도된 가우스 앙상블에서 임의로 X의 정의 다항식을 추출했을 때$$^[14] X의 평균 실선 수는 6 ${\displaystyle 2}$- ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 6{\sqrt{2}}-3}$이다.

간간

2개의 평활 입방면은 P ${\displaystyle {}^{}}$의 어떤 선형 자동형성에 의해 등가하는 경우에만 대수학 품종으로서 이형성이 있다${\$ 기하학적 불변성 이론은 평활 입방 표면의 이형성 등급별로 1점을 갖는 입방 표면의 모듈리 공간을 제공한다.이 모듈리 공간은 차원 4가 있다.보다 정확히 말하면, 그것은 Salmon과 Clebsch(1860)에 의한 가중 투영 공간 P(12345)의 개방된 부분집합이다.특히 합리적 4배다.^[15]

곡선의 원뿔

The lines on a cubic surface X over an algebraically closed field can be described intrinsically, without reference to the embedding of X in ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$: they are exactly the (−1)-curves on X, meaning the curves isomorphic to ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ that have self-intersection −1.Also, the classes of lines in the Picard lattice of X (or equivalently the divisor class group) are exactly the elements u of Pic(X) such that ${\displaystyle u^{2}=-1}$ and ${\displaystyle -K_{X}\cdot u=1}$. (This uses that the restriction of the hyperplane line bundle O(1) on ${\displays$$tyle \mathbf {P} ^{3}~$X는 항암선 번들${\displaystyle }$- ${\displaystyle K_{}}$ X ${\$ 접합식에 의한$)$

For any projective variety X, the cone of curves means the convex cone spanned by all curves in X (in the real vector space ${\displaystyle N_{1}(X)}$ of 1-cycles modulo numerical equivalence, or in the homology group ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbf {R} )}$ if the base field is the complex numbers).입방체 표면의 경우, 곡선의 원뿔은 27개의 선으로 확장된다.^[16]특히 N ${\displaystyle 1{}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$ R ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\$ 대칭군이 있는$$ 합리적인 다면 원뿔이며$,$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ $6{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 Weyl 그룹. 어떤 델 페조 표면에서도 곡선의 원뿔에 대해서도 유사한 설명이 있다.

필드 위에 입방체 표면

대수적으로 닫히지 않은 필드 k 위에 매끄러운 입방체 표면 X는 k보다 합리적일 필요가 없다.극단적인 경우로서 합리적인 숫자 Q(또는 p-adic 숫자 $Q{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ p ${\$ 위에 매끄러운 입방 표면이 있는데, 이 경우 X는 확실히 합리적이지 않다.^[17]만약 X(k)가 비어 있지 않다면, Beniamino Segre와 Janos Kollarr에 의해 X는 적어도 k에 대한 이성적인 것이다.^[18]k 무한대에 대해, 단일성은 k-합리적 점의 집합이 X로 밀집된 자리스키라는 것을 의미한다.

절대 갈루아 그룹 k는 (${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$6 {\$displaystyle$E_${6$}의 Weyl 그룹의 일부 하위그룹을 통해) k의 대수적 $폐쇄{\displaystyle \stackrel{}{}}$ k$'{\$에 대해 X의 27줄을 허용한다.$$만약 이 작용의 일부 궤도가 분리 선으로 구성된다면, X는 닫힌 지점에서 k 위로 "심플러" 델 페조 표면의 블로업이다.Otherwise, X has Picard number 1. (The Picard group of X is a subgroup of the geometric Picard group ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X_{\overline {k}})\cong \mathbf {Z} ^{7}}$.) In the latter case, Segre showed that X is never rational.더욱 강하게, 유리 마닌은 쌍생강성 진술을 증명했다: 완벽한 필드 k 위에 피카르드가 1번인 매끄러운 입방 표면 두 개가 이소모르픽일 경우에만 쌍생강성이다.^[19]예를 들어, 이러한 결과는 Q에 걸쳐 많은 입방 표면을 제공하지만 합리적이지 않다.

단수 입방면

27개의 선을 포함하는 매끄러운 입방 표면과 대조적으로, 단일한 입방 표면은 더 적은 선을 포함한다.^[20] 더욱이 그것들은 정상적인 형태로 발생하는 특이점의 종류에 따라 분류될 수 있다.이 특이점들은 Dynkin 도표를 사용하여 분류된다.

분류

A normal singular cubic surface ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle {\textbf {P}}_{\mathbb {C} }^{3}}$ with local coordinates ${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]}$ is said to be in normal form if it is given by ${\displaystyle F=x_3{f}_2(x_0,x_1,x_{}}$${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$. Depending on the type of singularity ${\displaystyle X}$ contains, it is isomorphic to the projective surface in ${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$ given by ${\displaystyle F=x_3{f}_2(x_0}$${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})=0}$ where ${\displaystyle f_{2},f_{3}}$ are as in the table below.그것은 우리가 모든 단일한 입방체 표면의 분류를 얻을 수 있다는 것을 의미한다.The parameters of the following table are as follows: ${\displaystyle a,b,c}$ are three distinct elements of ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$, the parameters ${\displaystyle d,e}$ are in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,-1\}}$ and ${\displaysty$$르 u}$은(는) $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \setminus }${ ${\displaystyle 0}$} ${\displaystyle \mathb {C} \setminus \{0\}}}$의 원소로서$,$ 특이점 ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\$을(를) 가진 서로 다른 두 개의 단수 입방 표면이 있음을 알 수 있다$.$

특이점 유형별 단수 입방면 분류

특이점	${\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}$	${\displaystyle f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})}$
${\displaystyle A_{1}.$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-ax_{1})(-x_{0}+(b+1)x_{1}-bx_{2})(x_{1}-cx_{2})$
${\displaystyle 2A_{1}.$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-2x_{1}+x_{2})(x_{0}-ax_{1})(x_{1}-bx_{2})$
${\displaystyle A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-x_{1})(-x_{1}+x_{2})(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2})}$
${\displaystyle 3A_{1}.$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2}}$
${\displaystyle A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-x_{1})(-x_{1}+x_{2})(x_{0}-2x_{1}+x_{2})$
${\displaystyle 2A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{2}(x_{0}-x_{1}})$
${\displaystyle 4A_{1}.$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-x_{1})(x_{1}-x_{2}x_{1}:{1}.$
${\displaystyle A_{1}A_{4}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}x_{1}:{1}$
${\displaystyle 2A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}^{2}}$
${\displaystyle A_{1}2A_{2}}:$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}}$
${\displaystyle A_{1}A_{5}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}^{3}}}$
${\displaystyle A_{2}}:$	${\displaystyle x_{0}x_{1}1}:{1}$	${\displaystyle x_{2}(x_{0}+x_{1}+x_{2})(dx_{0}+ex_{1}+ex_{1}+ex_{2})}$
${\displaystyle 2A_{2}}:$	${\displaystyle x_{0}x_{1}1}:{1}$	${\displaystyle x_{2}(x_{1}+x_{2})(-x_{1}+dx_{2})$
${\displaystyle 3A_{2}}:$	${\displaystyle x_{0}x_{1}1}:{1}$	${\displaystyle x_{2}^{3}}}$
${\displaystyle A_{3}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}1}:{1}$	${\displaystyle x_{2}(x_{0}+x_{1}+x_{1}(x_{0}-ux_{1})$
${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}1}:{1}$	${\displaystyle x_{0}^{2}x_{2}+x_{1}^{3}-x_{1}x_{2}^{2}}$
${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}1}:{1}$	${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}-x_{1}x_{2}^{2}}$
${\displaystyle D_{4}(1)$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}}$
${\displaystyle D_{4}(2)}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}}:$
${\displaystyle D_{5}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}}:$
${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}^{2}+x_{1}^{3}}$
${\displaystyle {\tilde{E}_{6}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}-x_{0}(x_{0}-x_{2})(x_{0}-ax_{2})$

정상적인 형태에서 입방면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$} 기수$$ 하나 이상이 포함될$$ 때마다${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$: 0${\displaystyle }$: ${\displaystyle 0}$ : 0 : ${\displaystyle 1]}$ ${\displaystyle [0:0:0:$1$]\}\}\}$에서 A$$1 {\$displaystystystyle A_{$1} 기수를$$ 갖는다.

단일한 입방체 표면의 선

단수 입방 표면의 분류에 따르면, 다음 표는 각 표면이 포함하는 선의 수를 보여준다.

단일한 입방체 표면의 선

특이점	${\displaystyle A_{1}.$	${\displaystyle 2A_{1}.$	${\displaystyle A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle 3A_{1}.$	${\displaystyle A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle 2A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle 4A_{1}.$	${\displaystyle A_{1}A_{4}}$	${\displaystyle 2A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle A_{1}2A_{2}}:$	${\displaystyle A_{1}A_{5}}$	${\displaystyle A_{2}}:$	${\displaystyle 2A_{2}}:$	${\displaystyle 3A_{2}}:$	${\displaystyle A_{3}}$	${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle D_{4}}$	${\displaystyle D_{5}}$	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle {\tilde{E}_{6}}$
라인수	21	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	$\displaystyle \infit }$

모수가 없는 단일한 입방 표면의 자동 형태 그룹

일반적인 단수 입방체 표면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 자동형성은 투사 공간 ${\displaystyle P^{\mathrm{}}}$ 3 ${\$부터 X$${\$displaysty X}$까지의 자동형성을 제한하는 것이다$.$ 그러한 자동형은 단수형을 보존한다.게다가 그들은 다른 유형의 특이점을 허용하지 않는다.표면이 같은 유형의 특이점 두 개를 포함하는 경우, 자동형성은 그것들을 허용할 수 있다.입방체 표면의 자동형성 집합체는 집단을 형성하는데, 이른바 자동형성 집단이다.다음 표는 매개변수가 없는 단일한 입방 표면의 모든 자동 형태 그룹을 보여준다.

모수가 없는 단일한 입방 표면의 자동 형태 그룹

특이점	$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 자동 유형 그룹
${\displaystyle A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle \mathb {Z} /2\mathb {Z}}$
${\displaystyle 2A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle \mathb {Z} /2\mathb {Z}}$
${\displaystyle 4A_{1}.$	${\displaystyle {\mathrm{\sigma }}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 순서 $4$의 대칭 그룹${\displaystyle !<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash Sigma\; \_\{4\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/5e3f3957860f5436564df64756e2ca4316c8774d"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:2.732ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="409">}$ ${\displaystyle 4!}$
${\displaystyle A_{1}A_{4}}$	${\displaystyle \mathb {C}^{\time }=\mathb {C} \setminus \{0\}}}$
${\displaystyle 2A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle \mathb {C} ^{\time }\rtimes \mathb {Z} /2\mathb {Z}}$
${\displaystyle A_{1}2A_{2}}:$	${\displaystyle \mathb {C} ^{\time }\rtimes \mathb {Z} /2\mathb {Z}}$
${\displaystyle A_{1}A_{5}}$	${\displaystyle \mathb {C} \rtimes \mathb {C} ^{\time }}}$
${\displaystyle 3A_{2}}:$	${\displaystyle (\mathb {C} )^{2}\rtimes \Sigma _{3}}}$
${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle \mathb {Z} /4\mathb {Z}}$
${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle(\mathb {C} \rtimes \mathb {Z} /3\mathb {Z} )\rtimes \mathb {Z} /2\mathb {Z}}}}$
${\displaystyle D_{4}(1)$	${\displaystyle \mathb{C}^{\time }\rtimes \Sigma _{3}}}}$
${\displaystyle D_{4}(2)}$	${\displaystyle \Sigma _{3}}$
${\displaystyle D_{5}}$	${\displaystyle \mathb{C} ^{\time }}$
${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathb {C} \rtimes \mathb {C} ^{\time }}}$

참고 항목

• 대수표면
• 엔리케스-고다이라 분류
• 파노 품종
• 슈베르트 미적분학

메모들

참조

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외부 링크

위키미디어 커먼스는 큐빅 표면과 관련된 미디어를 가지고 있다.

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Cubic surface", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• William Goldman의 작업 기반인 Ryan Hoban의 Cubic Surface(메릴랜드 대학의 실험 기하학 연구소)에 의한 라인.
• Cubic Surface DVD(입방 표면의 애니메이션 54개, 별도 또는 DVD로 다운로드 가능)