사이클로토믹 다항식

수학에서 n번째 사이클로토믹 다항식은 임의의 양의 정수 n에 대하여 x $n{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}1}$의 약수인 정수 계수를 갖는 고유한 환원불가능 다항식이며, 임의의 k < n에 $대하여{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$k - ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{k}-1}$의 약수가 아닙니다.그 근은 n보다 크지 않은 양의 정수 위에 k가 달리고 n(그리고 i는 허수 단위)에 공임계가 되는 단위인 유니트 ${\displaystyle {e2}^{}}$ i$$π kn {\$displaystyle e^{2i$\pi${\frac {k$n}}}}의 모든 n번째 원시 근입니다.즉, n번째 사이클로토믹 다항식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}\right).}$

임의의 원시 n번째 근의 유리수 필드 위의 최소 다항식인 정수 계수를 갖는 단항 다항식으로 정의될 수도 있습니다(${\displaystyle {\mathrm{e2i}}^{}}$π / n {\$displaystyle e^{2i\$pi /n}는 그러한 근의 예입니다).

사이클로토믹 다항식과 원근을 연결하는 중요한 관계는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \prod _{d\midn}\Phi _{d}(x)=x^{n}-1,}$

x가 n을 나누는 일부 d에 대한 통합의 기본 근인 경우에만$$ x ${\displaystyle n^{}}$ -${\displaystyle {}^{}1}$ ${\displaystyle$ x$^{n}-1}$의 근임을 보여줍니다.^[1]

예

만약 n이 소수라면,

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}}}$

만약 p가 홀수 소수일 때 n = 2p이면,

${\displaystyle \Phi _{2p}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}}$

n에서 30까지의 사이클로토믹 다항식은 다음과 같습니다.^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(x)&=x-1\\\Phi _{2}(x)&=x+1\\Phi_{3}(x)&=x^{2}+x+1\\Phi_{4}(x)&=x^{2}+1\\Phi_{5}(x)&=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\Phi_{6}(x)&=x^{2}-x+1\\Phi_{7}(x)&=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\Phi_{8}(x)&=x^{4}+1\\\Phi_{9}(x)&=x^{6}+x^{3}+1\\Phi _{10}(x)&=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\Phi_{11}(x)&=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\Phi _{12}(x)&=x^{4}-x^{2}+1\\Phi_{13}(x)&=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\Phi_{14}(x)&=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\Phi_{15}(x)&=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1\\Phi _{16}(x)&=x^{8}+1\\Phi_{17}(x)&=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\Phi _{18}(x)&=x^{6}-x^{3}+1\\Phi_{19}(x)&=x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\Phi _{20}(x)&=x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\Phi_{21}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{9}-x^{8}+x^{6}-x^{4}+x^{3}-x+1\\Phi _{22}(x)&=x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}-x^{2}-x+1\\Phi _{23}(x)&=x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{14}+x^{13}+x^{12}\&\q quad \quad +x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\Phi _{24}(x)&=x^{8}-x^{4}+1\\Phi_{25}(x)&=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+1\\Phi _{26}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\Phi_{27}(x)&=x^{18}+x^{9}+1\\Phi_{28}(x)&=x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\Phi _{29}(x)&=x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\&\q quad \quad +x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\Phi _{30}(x)&=x^{8}+x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1.\end{aligned}}$

105번째 사이클로토믹 다항식의 경우는 흥미로운데, 105는 세 개의 다른 홀수 소수 (3*5*7)의 곱인 가장 작은 양의 정수이고, 이 다항식은 1, 0, 또는 -1 이외의 계수를 갖는 첫 번째 다항식이기 때문입니다.^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{105}(x)&=x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}\&amp;q quad \quad -x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-2x^{8}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+1.\end{aligned}}$

특성.

기본도구

사이클로토믹 다항식은 유리수의 장에서 축소할 수 없는 정수 계수를 갖는 단일 다항식입니다.1 또는 2와 같은 n을 제외하면, 그들은 짝수의 회맹점입니다.

φ$${\displaystyle \$Phi_$${$n}}, 즉 n번째 원근의 수는 φ(n) {\displaystyle \varphi(n)}이며, 여기서 φ {\displaystyle \varphi }는 오일러의 토티언트 함수입니다.

φ$n$ {\$displaystyle \Phi_{$n}}이(가) φ$(n) {\displaystyle$ \$($n)}의 ${\displaystyle \mathrm{축소}}$할 수 없는 다항식이라는 사실은 가우스로 인한 사소한 결과입니다.선택된 정의에 따라, 그것은 정도의 값이거나 중요하지 않은 결과인 감소 불가능성입니다.아이젠슈타인의 기준 덕분에 primen의 경우는 일반적인 경우보다 증명이 용이합니다.

사이클로토믹 다항식을 포함하는 기본 관계는

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}-1&=\prod_{1\leqslant k\leqslant n}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}}\right)\\&=\prod _{d\midn}\prod _{1\leqslant k\leqslant n \atop \gcd(k,n)=d}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}\right)\\&=\prod _{d\midn}\Phi _{\frac {n}{d}}(x)=\prod _{d\midn}\Phi _{d}(x).\end{aligned}}$

이것은 각각의 n번째 단합근이 고유한 d 나누기 n에 대한 단합의 원시 d번째 단합근임을 의미합니다.

뫼비우스 반전 공식을 사용하면${\displaystyle }$φ ${\displaystyle n}$ ($x$) {\displaystyle \Phi_{n}(x)}을(를) 명시적인 유리 분수로 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{d\midn}(x^{d}-1)^{\mu \left ({\frac {n}{d}}\right)},}$

$여기$서 μ ${\displaystyle \mu}$는 뫼비우스 함수입니다.

순환 다항식${\displaystyle }$φ n$$( x) ${\displaystyle \Phi_{$n}(x)}은$($정확하게) x n - 1 {\$displaystyle$x^{n}-1}을${\displaystyle {}^{}}$를) 이전에 계산된 n개의 적절한 약수의 순환 다항식으로 ${\displaystyle \mathrm{나누어}}$ 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod _{\stackrel {dn}{{}_{d<n}}}\Phi _{d}(x)}}$

${\displaystyle (}$φ 1 ( x ) = x - 1${\$displaystyle \Phi _{1}(x) = x-1}이라고 기억합니다.)

이 공식은 정수 인수분해 및 다항식 분할이 가능한 경우, 임의의 n에 대해${\displaystyle }$φ n$$( x) ${\displaystyle \Phi_{$n}(x)}을 계산하는 알고리즘을 정의합니다.SageMath, Maple, Mathematica 및 PARI/GP와 같은 많은 컴퓨터 대수 시스템에는 사이클로토믹 다항식을 계산하기 위한 내장 함수가 있습니다.

계산하기 쉬운 사례

위에서 언급한 바와 같이, 만약 n이 소수라면,

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}}}$

만약 n이 1보다 큰 홀수 정수라면,

${\displaystyle \Phi _{2n}(x)=\Phi _{n}(-x)}$

특히 n = 2p가 홀수 소수의 두 배일 경우 (위에서 언급한 바와 같이)

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}}$

만약 n = p가 prime이면

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{p}(x^{p^{m-1}})=\sum _{k=0}^{p-1}x^{kp^{m-1}}}$

보다 일반적으로, r이 상대적으로 프라임 탑인 n = pr이면,

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{pr}(x^{p^{m-1}).}$

이 공식들은 임의의 순환 다항식${\displaystyle }$φ n $($x) ${\displaystyle \Phi$_{n}(x)}에 대하여 제곱 자유 지수의 순환 다항식의 관점에서 간단한 식을 얻기 위해 반복적으로 적용될 수 있습니다. 만약 q가 n (그 라디칼)의 소수의 곱이라면,

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{q}(x^{n/q}).}$

이것은 n이 기껏해야 한 개의 이상한 소인수를 가질 때 n번째 사이클로토믹 다항식에 대한 공식을 제공할 수 있습니다.p가 홀수 소수이고, h와 k가 양의 정수이면 다음과 같습니다.

${\displaystyle \Phi _{2^{h}}(x)=x^{2^{h-1}}+1}$

${\displaystyle \Phi _{p^{k}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}x^{jp^{k-1}}}$

${\displaystyle \Phi _{2^{h}p^{k}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}(-1)^{j}x^{j2^{h-1}p^{k-1}}}$

n의 다른 값에 대해 n번째 사이클로토믹 다항식의 계산은${\displaystyle }$φ${\displaystyle }$q ( x$),$ ${\displaystyle \Phi_{$q}(x)와 유사하게 감소합니다. 여기서 q는 n의 구별되는 홀수 소수의 곱입니다.이 사건을 다루기 위해서는 n을 나누지 않고, prime을 들 수 있습니다.^[6]

${\displaystyle \Phi _{np}(x)=\Phi_{n}(x^{p})/\Phi _{n}(x)}$

계수로 나타나는 정수

사이클로토믹 다항식의 계수 크기를 제한하는 문제는 많은 연구 논문의 목표가 되었습니다.여러 설문지에서 개요를 설명합니다.^[7]

n이 최대 두 개의 다른 홀수 소인수를 가질 경우, Migotti는 ${\displaystyle$\Phi_{n}}의$$φ 계수가 모두 {1, -1, 0} 집합에 있음을 보여주었습니다.

세 개의 다른 홀수 소인수의 곱에 대한 첫 번째 사이클로토믹 다항식은${\displaystyle {}_{}}$φ 105${\displaystyle }$($$x ); ${\displaystyle \Phi _{$105}(x);} 그것은 계수 -2를 갖습니다 (위의 식 참조).그 반대는 사실이 아닙니다.${\displaystyle {}_{}}$φ${\displaystyle {}_{}}$φ 231 ( x ) = φ 3$$x 7$$x 11 ( x ) {\displaystyle \Phi _{231}(x)=$\Phi _{3\times 7\times 11}(x)}$에는 {1, -1, 0}의 계수만 있습니다$$.

n이 더 다른 홀수 소인수의 곱이면 계수가 매우 높은 값으로 증가할 수 있습니다.예를 들어,${\displaystyle {}_{}}$φ${\displaystyle \mathrm{15015}}$ (x) =${\displaystyle {}_{}}$φ 3${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ 5$$x 7 x 11 x 13 (x) {\displaystyle \Phi _{15015}(x)=$\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13}(x)$의 계수는 -22부터 23까지이며, $φ$ ${\displaystyle \mathrm{255255}(}$x) $=$${\displaystyle {}_{}}$$φ$ 3${\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle 5_{}}$× 7 × 11 × 13 × 17(x) {\displaystyle \Phi _{255}(x)$=$6개의 다른 홀수 소수를 가진 가장 작은 n인$$\$Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17}(x)}$는 최대 532까지의 크기 계수를 갖습니다.

A(n)를 φ 계수의 최대 절대값이라고 합니다.임의의 양의 k에 대하여, A(n) > n인 n부터 x까지의 수는 k와 x에 따라 양의 c(k)에 대하여 적어도 c(k) ⋅x인 것으로 알려져 있습니다.반대 방향으로, n으로 무한대가 되는 임의의 함수 ψ(n)에 대해 우리는 거의 모든 n에 대해 A(n)가 n으로 경계지어져 있습니다.

바테만 응답의 정리들의 조합.Vaughan은 으로모든 ε > 0 ${\displaystyle$\$varepsilon$ >0}에 대하여, 우리는

${\displaystyle A(n)<e^{\left(n^{(\log 2+\varepsilon )/(\log \log n)}\right)}}$

충분히 큰 모든 양의 $정수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에 대하여$,$ 그리고 다른 한편으로, 우리는

${\displaystyle A(n)>e^{\left(n^{(\log 2)/(\log \log n)}\right)}}$

무한히 많은 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$에 대해.이는 특히 일변량 다항식(무한히 많은 양의 정수 n ${\displaystyle n}$에 대한 ${\displaystyle \mathrm{구체적}}$으로 ${\displaystyle x^{}}$ n -${\displaystyle {}^{}}$1 ${\displaystyle x^{n}-1$$\})$에 계수가 원래 계수보다 초대칭적으로 큰 인자(예:$$φ n $displaystyle \Phi_${n})가 있을 수 있음을 의미합니다.이곳은 일반적인 란다우-미뇨테 경계에서 그리 멀지 않습니다.

가우스 공식

홀수이고 제곱이 없고 3보다 큰 값을 갖습니다.그러면:^[10][11]

${\displaystyle 4\Phi _{n}(z)=A_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nz^{2}B_{n}^{2}(z)}$

A(z)와 B(z) 모두 정수 계수를 가지며, A(z)는 φ(n)/2, B(z)는 φ(n)/2 - 2를 갖습니다.또한, A_n(z)는 그 정도가 짝수일 때는 회맹점이고, 그 정도가 홀수일 때는 반 회맹점입니다.마찬가지로, B(z)는 n이 합성이고 ≡ 3(mod 4)이 아닌 한, 반팔린드로믹입니다.

처음 몇 가지 경우는

${\displaystyle {\begin{aligned}4\Phi _{5}(z)&=4(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\&=(2z^{2}+z+2)^{2}-5z^{2}\[6pt]4\Phi _{7}(z)&=4(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\&=(2z^{3}+z^{2}-z-1)^{2}+7z^{2}(z+1)^{2}\[6pt]4\Phi _{11}(z)&=4(z^{10}+z^{9}+z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{3}+z^{2}+z+1)\&=(2z^{5}+z^{4}-2z^{3}-2z^{2}-z-2)^{2}+11z^{2}(z^{3}+1)^{2}}\end{aligned}}$

루카스 공식

홀수가 되고 제곱이 없고 3보다 커집니다.그럼^[11]

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=U_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nzV_{n}^{2}(z)}$

여기서 U(z)와 V(z) 모두 정수 계수를 가지며, U(z)는 차수 φ(n)/2를 가지며, V(z)는 차수 φ(n)/2 - 1을 갖습니다.이것도 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \Phi _{n}\left((-1)^{frac {n-1}{2}}z\right)= C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z).}$

n이 짝수이고 제곱이 없으며 2보다 클 경우(이로 인해 n/2는 홀수가 됩니다),

${\displaystyle \Phi _{\frac {n}{2}}\left (-z^{2}\right)=\Phi _{2n}(z)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z)}$

여기서 C(z)와 D(z) 모두 정수 계수를 가지며, C(z)는 φ(n) 도를 가지며, D(z)는 φ(n) - 1 도를 갖습니다. C(z)와 D(z)는 모두 회문법입니다.

처음 몇 가지 경우는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\파이 _{3}(-z)&=\Phi _{6}(z)=z^{2}-z+1\&=(z+1)^{2}-3z\[6pt]\Phi _{5}(z)&=z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-5z(z+1)^{2}\[6pt]\Phi _{6/2}(-z^{2})&=\Phi _{12}(z)=z^{4}-z^{2}+1\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-6z(z+1)^{2}\end{aligned}}$

비터 수녀 추측

자매 비터 추측은 ${\displaystyle \mathrm{3개}}$의 고리원자 다항식${\displaystyle {}_{}}$φ $($x)의 계수의 최대 크기(절대값에서) $A{\displaystyle (\mathrm{pqr})}$ ${\displaystyle A(pqr))$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ \$Phi _$${$pqr}(x${\displaystyle )\},}$ $여기서$3 ≤ p$$≤$$r {\displaystyle 3\leq $p\leq$q\leq r}은 3개의 소수입니다.

유한장과 p-adic 정수에 대한 사이클로토믹 다항식

소수의 원소 p를 갖는 유한장에서, p의 배수가 아닌 정수 n에 대하여, 순환 다항식$$φ n {\$displaystyle \Phi_${n}}은 차수 d의$$φ(n) 및 ${\displaystyle {\frac {\$varphi(n)}{d}}의 환원불가능한 ${\displaystyle \frac{\mathrm{다항식}}{}}$으로${\displaystyle \frac{}{}}인수분해됩니다$.여기서$$φ (n) ${\displaystyle \varphi($n)}는 오일러의 토티언 함수이고 d는 모듈론의 곱셈 차수입니다.특히,$$φ {\$displaystyle \Phi_${n}}는 p가 원시 근모듈론일 경우, 즉 p가 n을 분할하지 않는 경우에만 축소 불가능하며, 그 곱셈 차수 ${\displaystyle \mathrm{모듈론}}$이$$φ$($n) {\displaystyle$$\varphi(n)},$$φ $n의$ ${\$displaystyle \Phi_{n}}.

헨젤의 보조정리는 p 요소가 있는 필드 위의 인수분해를 p-adic 정수 위의 인수분해로 들어올릴 수 있기 때문에 이러한 결과는 p-adic 정수 위에서도 사실입니다.

다항식 값

이 절에서는 출처를 언급하지 않습니다. 신뢰할 수 있는 자료에 인용문을 추가하여 이 부분을 개선하는 데 도움을 주시기 바랍니다. 출처가 없는 자료에 이의를 제기하여 삭제할 수 있습니다. (2014년 4월) (본 템플릿 메시지 삭제 방법 및 시기 알아보기)

만약 x가 임의의 실수 값을 취한다면, 모든 n개의 ≥ 3에 대하여 φn ( > 0 ${\displaystyle \Phi _{$n}(x) > 0}입니다. (이것은 사이클로토믹 다항식의 근이 모두 n개의 ≥ 3에 대하여 비실수라는 사실에 기인합니다.)

x에 정수 값이 주어졌을 때 사이클로토믹 다항식이 취할 수 있는 값을 연구하려면 경우 n = 1과 n = 2가 사소한 $경우$(하나는 φ 1 (x)) = x - 1 {\displaystyle \Phi _{1}(x) = x-1$}$ 및 φ 2 (x ) = x + 1 {\displaystyle \Phi _{2}(x) = x+1})만 고려하면 됩니다.

n ≥ 2에 대해서는.

${\displaystyle \Phi _{n}(0)=1,}$

${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$φ ${\displaystyle \mathrm{n}{\mathrm{}}_{}}$($1$) = n이 소수가 아닌 경우 1 {\displaystyle \Phi _{${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$}(1)=1},

${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$φ ${\displaystyle \mathrm{n}{\mathrm{}}_{}}$($1$)$$= p {\displaystyle \Phi _{${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$}(1)=p}인 ${\displaystyle {\mathrm{경}}_{}}$우 n = p k {\displayst${\displaystyle {\mathrm{y}}_{}}$le n=p^{k}${\displaystyle {\mathrm{\}}}_{}}$는 k ≥ 1의 소수입니다.

순환 다항식${\displaystyle }$φ n$$( x) ${\displaystyle \Phi$_{n}(x)}이 x의 다른 정수 값에 대해 취할 수 있는 값은 곱셈 차수 모듈로 소수와 강한 관련이 있습니다.

좀 더 정확하게 말하면, 소수 p와 정수 b 동치환인 b modulop의 곱셈 차수가 주어졌을 때, p가 ${\displaystyle b^{}}$ n -${\displaystyle {}^{}1}$의 약수가 되는 가장 작은 양의 정수 n입니다${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle b^{n}-1.}$ b > 1에 대하여$$,b modulop의 곱셈 순서는 또한 숫자 b에서 1/p를 표현하는 가장 짧은 주기입니다(독특한 prime 참조; 이것은 표기법 선택을 설명합니다).

곱셈 순서의 정의는 n이 b 모듈럽의 곱셈 순서라면 p는${\displaystyle }$φ n${\displaystyle }$(b$)$의 약수임을 의미합니다.${\displaystyle$\Phi_{n}(b$).$$}$그 역은$$ 사실이 아니지만 다음과 같은 것이 있습니다.

만약 n > 0이 양의 정수이고 b > 1이 정수라면, (증명을 위해 아래를 참조)

${\displaystyle \Phi _{n}(b)=2^{k}gh,}$

어디에

• k는 음이 아닌 정수이며, b가 짝수일 때 항상 0과 같습니다. (실제로 n이 1도 2도 아닌 경우 k는 0 또는 1입니다.또한 n이 2의 거듭제곱이 아닐 경우 k는 항상 0과 같음)
• g는 n의 가장 큰 홀수 소인수 또는 1입니다.
• 그의 홀수, n과 공초점, 그리고 그것의 주요 인자들은 정확히 n이 b modulop의 곱셈 순서가 되는 홀수 소수 p입니다.

이것은 만약 p가${\displaystyle }$φ${\displaystyle }$n (b$),$ ${\displaystyle \Phi_{$n}(b)의 홀수 소수이면 n은 p - 1의 소수이거나 p는 n의 소수임을 의미합니다.후자의 경우 ${\displaystyle {p2}^{}}$ ${\displaystyle p^{2}}$은(는)${\displaystyle }$φn${\displaystyle (}$b$)$을 나누지 않습니다. ${\displaystyle \Phi_{$n}(b)}

지그몬디의 정리는 b > 1이고 h = 1인 경우는 다음과 같다는 것을 의미합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(2)&=1\\\Phi _{2}\left(2^{k}-1\right)&=2^{k}&&k>0\\\Phi _{6}(2)&=3\end{aligned}}$

위의 인수분해로부터 이상한 소인수들은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {\Phi_{n}(b)}{\gcd(n,\Phi_{n}(b))}}}$

n이 b modulop의 곱셈 순서가 되는 홀수 소수 p입니다.이 분수는 b가 홀수일 때만 짝수일 수 있습니다.이 경우 b modulo 2의 곱셈 차수는 항상 1입니다.

φ$($b) {\$displaystyle \Phi_{$n}(b)}이(가) prime일 정도로 b > 1인 쌍(n, b$)$이${\displaystyle }$많습니다.사실, 부냐코프스키 추측은 모든 n에 대해${\displaystyle }$φ n $($b) ${\displaystyle \Phi_{$n}(b)}이 소수일 정도로 b > 1이 무한히 많다는 것을 암시합니다.See OEIS: A085398 for the list of the smallest b > 1 such that ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ is prime (the smallest b > 1 such that ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ is prime is about ${\displaystyle \lambda \cdot \varphi (n)}$, where ${\displaystyle \lambda }$ is Euler–Mascheroni constant,φ$${\displaystyle \varphi}는 오일러의 토티엔트 함수입니다.)또한 OEIS: A206864를 참조하여 n > 2이고 b > 1인 ${\displaystyle \mathrm{형태}}$의${\displaystyle }$φn$$(b) {\$displaystyle \Phi$_{n}(b)}의 가장 작은 소수의 목록을 참조하고, 더 일반적으로 이 형태의 가장 작은 양의 정수에 대해 OEIS: A206942를 참조하십시오.

적용들

φ$${\displaystyle \Phi_${$n}}을 사용하여, 산술 진행에 대한 디리클레 정리의 특별한 경우인 1모듈론에 해당하는 소수의 무한에 대한 기본 증명을 제공할 수 있습니다.

참고 항목

• 고리원자장
• 오리푸아 인수분해
• 통합의 뿌리

참고문헌

추가열람

가우스의 저서 "산술의 발견"은 라틴어에서 영어와 독일어로 번역되었습니다.독일어판에는 수론에 관한 그의 모든 논문이 포함되어 있습니다: 이차 호혜성의 모든 증명, 가우스 합의 부호 결정, 이차 호혜성에 대한 조사, 그리고 출판되지 않은 주석.

• Gauss, Carl Friedrich (1986) [1801], Disquisitiones Arithmeticae, Translated into English by Clarke, Arthur A. (2nd corr. ed.), New York: Springer, ISBN 0387962549
• Gauss, Carl Friedrich (1965) [1801], Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory), Translated into German by Maser, H. (2nd ed.), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer, doi:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 978-3-642-08628-1

외부 링크

• Weisstein, Eric W., "Cyclotomic polynomial", MathWorld
• "Cyclotomic polynomials", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• OEIS 수열 A013595 (순환 다항식 Phi_n(x))의 계수의 삼각형(증가 순서로 지수)
• OEIS 시퀀스 A013594 (nor -n을 계수로 포함하는 사이클로토믹 다항식의 최소 차수)