드 모이브르-라플라스 정리

확률론에서 중심 한계 정리의 특수한 경우인 de Moivre-Laplace 정리는 정상 분포를 특정 조건 하에서 이항 분포에 대한 근사치로 사용할 수 있다고 기술하고 있다. 특히, 이 정리를 보면, $일련$의 n$${\$displaystylen}$ 독립$$ 베르누이 시험에서 관찰된 "성공자"의 무작위 수의 확률 질량 함수가 각각 성공 $확률{\displaystyle }$ p$$${\displaystylen}$의 확률 p {\$displaystylen}$을 갖는 이항 $분포{\displaystyle }$)로 수렴한다는 것을 알 수 있다.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ 또는$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle p}$이(가) 아니라고$$$$ 가정할 때$$평균 n$p$ {\$displaystyle$ n$}$과$(가$$)$ ${\displaystyle \mathrm{표준}}$ $편차\sqrt{}$ n $\sqrt{p}$($\sqrt{1}$ - p ){\$displaystystystyle$ n$}}}}}$을 사용한 정규 분포의 sity 함수$.$

이 정리는 1738년에 출판된 아브라함 드 모이브르의 <기회의 교리> 제2판에 실렸다. 드 모이브르는 '베르누이 재판'이라는 용어를 사용하지 않았지만, 동전을 3600번 던졌을 때 '헤드'가 나타나는 횟수의 확률 분포에 대해 썼다.^[1]

이것은 정규 분포에 사용된 특정한 가우스 함수의 하나의 파생이다.

정리

n이 커짐에 따라, k가 np근처의 k는 대략적으로^[2][3]

${\displaystyle {n \선택{p^{k}q^{n-k}\simeq}\\\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}\, e^{{{{np}}}}}}{{{2npq}}}}}}},\qad p+q=1, p, p,q>0}$

좌측 대 우측의 비율이 1로 수렴한다는 의미에서 n → ∞.

증명

The theorem can be more rigorously stated as follows: ${\displaystyle \left(X\!\,-\!\,np\right)\!/\!{\sqrt {npq}}}$, with ${\displaystyle \textstyle X}$ a binomially distributed random variable, approaches the standard normal as ${\displaystyle n\!$$\to \!\fully$ $\}$에 대한 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 확률 질량의 비율은$$ 1이다. 이는 임의의 0이 아닌 $유한{\displaystyle }$ 점 c ${\displaystyle c}$에 대해 표시될 수 있다$.$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 비포장 곡선에서는 이$$곡선은 다음에서 주어진$$ $점{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$이(가) 될 것이다.

${\displaystyle k=np+c{\sqrt{npq}}$

예를 들어 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ c$}$을(를) 3으로 설정하면$$ k ${\displaystyle k}$은(는) 봉합되지 않은 곡선의 평균으로부터 3 표준 편차를 유지한다$$.

평균 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$과(와) $표준{\displaystyle }$ 편차$display$ {\displaystyle \$sigma }$을(를) 갖는 정규 분포는 미분 방정식(DE)에$$ 의해 정의된다.

${\displaystyle f'\!(x)\!=\!-\!\,{\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}f(x)}$ with initial condition set by the probability axiom ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!f(x)\,dx\!$$=\!1}$.

이항 분포 한계는 이항 분포가 이항 DE를 만족하면 정상 분포에 접근한다. 이항 분포는 이항 분포가 이산형인 $p{\displaystyle }$ ( k + 1) - p ( k${\displaystyle }$) ${\$를 사용하는 차이 방정식으로 시작한다.$+\!1)\!-\!p(k)}$단계 크기 1에 대한 변경 사항$.$ $as{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \infty \mathrm{}}$ ${\$ n$\!$$\to!\fully }$에$,$ 이산형 파생상품은 연속적인 파생상품이 된다. 따라서 그 증거는 오직 밀봉되지 않은 이항 분포에 대해

${\displaystyle {\f'\!(x)}{f\!(x)}}\!$$\cdot \\leftfr{\frac{\fracma ^{2}}:{x-\mu }}\오른쪽)\!$$\to \!1$}을$$(를$)$ $n{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \infty \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ n$\!$$\to \!\fully$ $\}$

필요한 결과는 다음과 같이 직접 표시할 수 있다.

${\displaystyle {\frac{fraged}{\f'\!(x)}{f\p\!(x)}{\frac {npq}{np\!\,-\,k}\!}\!&={\frac {p\left(n,k+1\right)-p\left(n,k\right)}{p\left(n,k\right)}}{\frac {\sqrt {npq}}{-c}}\\&={\frac {np-k-q}{kq+q}}{\frac {\sqrt {npq}}{-c}}\\&={\frac {-c{\sqrt {npq}}-q}{npq+cq{\sqrt {npq}}+q}}{\frac {\sqrt {npq}}{-c}}\\&\to 1\end{aligned}}}$

마지막은 -${\displaystyle \mathrm{cn}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle -cnpq}$이라는 용어가 분모와 분자 $모두$를${\displaystyle }$n →${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyle n\!$로 지배하기$$ 때문이다.$\to \!\fully$ $\}$

$k{\displaystyle }$ ${\$이(가) 정수 $c{\displaystyle }$ ${\$은(는) 반올림 오류가 발생할$$ 수 있다. 그러나 이 오류의 ${\displaystyle \mathrm{최대값}}$인 0.5${\displaystyle /n\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{p}}$ ${\displaystyle \sqrt{q}}$ ${\$${\sqrt{npq}}$은$($는) 소멸 값이다.^[4]

대체 증명

그 증명서는 (정리문장에서) 왼쪽을 세 개의 근사치로 오른쪽으로 변형시키는 것으로 구성된다.

첫째, 스털링의 공식에 따르면, 큰 숫자의 n은 근사치로 대체할 수 있다.

${\displaystyle n!\simeq n^{n}e^{-n}{\sqrt{2\pi n}}\qquad{\as }}}\text{n\as \n\ft.}$

그러므로

${\displaystyle {\p^{k}q^{n-k}&={\frac {n!}{{k!(n-k)!}}p^{k}q^{n-k}\\&\simeq {\frac {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}(n-k)^{n-k}e^{-(n-k)}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}p^{k}q^{n-k}\\&={\sqrt {\frac {n}{2\pi k\left(n-k\right)}}}{{\frac{n^{n}}{k^{k}\왼쪽(n-k\right)^{n-k}}}{n-k}\={n-k}\\\\\sqrt{\n}{2\pi k\left(n-k\rig)}}}}}}}\왼쪽\frac{np}{np}{np}{np}{np}}}}}}}}오른쪽)^{k}\왼쪽 사진\frac {nq}{n-k}}\오른쪽)^{n-k}\ended}}}$

다음으로 근사 ${\displaystyle \frac{k}{}}$ n${\displaystyle }$→ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tfrac {k}{n}}\to$ p$}$를 사용하여$$ 위의 루트를 오른쪽의 원하는 루트에 일치시킨다.

${\displaystyle {\p^{k-k}q^{n-k}&\simeq {\sq}\\\simeq {\sq}{\sqrt {1}{2\pi n}{n}}}}\좌측(1-{\frac{n}}}}}}}}{np}}}}}}{k\오른쪽)}}}}}}}}}}}}}}\좌측좌측좌측만)^{k}\왼쪽 \frac {nq}{n-k}\\\\simeq {1}{\frac {1}{\sqrt{2\pi npq}}\frac {np}{k}\오른쪽)^{k}\왼쪽 사진\frac {nq}{n-k}\오른쪽)^{n-k}\qquad p+q=1\\\ended}}}$

마지막으로 표현식은 지수식으로 다시 작성되며 ln(1+x)에 대한 Taylor Series 근사치가 사용된다.

${\displaystyle \ln \left(1+x\right)\simeq x-{\frac{x^{2}}:{2}}+{\frac{x^{3}}{3}}}-\cdots }}}$

그러면

${\displaystyle {\pmx{np}{k^{k}q^{n-k}&\simeq {\frac {1}{\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \좌측(\좌측\frac\np}{np}{k}}}}}\오른쪽) 선택)^{k}\right)+\ln \left(\left({\frac{nq}{n-k}}\right)^{n-k}\right)\right\}\\&, ={\frac{1}{\sqrt{2\pi)}}}\exp \left\{-k\ln \left({\frac{k}{np}}\right)+(k-n)\ln \left({\frac{n-k}{nq}}\right)\right\}\\&, ={\frac{1}{\sqrt{2\pi)}}}\exp \left\{-k\ln \left({\frac{np+x{\sqrt{npq}}}{np}}\right)+(k-n)\ln \left({\frac{n-np-x{\sqrt{npq}}}{nq.}}\right)\right\}\\&, ={\frac{1}{\sqrt{2\pi)}}}\exp \left\{-k\ln \left({1+x{\sqrt{\frac{q}{np}}}}\right)+(k-n)\ln \left({1-x{\sqrt{\frac{p}{nq}}}}\right)\right\}\qquad p+q=1\\&, ={\frac{1}{\sqrt{2\pi)}}}\exp \left\{-k\left({x{\sqrt{\frac{q}{np}}}}-{\frac{x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)+(k-n)\left({-x{\sqrt{\frac{p}{nq}}}-{\frac{{2x^}p}.{2nq}}}-\cdots \right)\right\}\\&, ={\frac{1}{\sqrt{2\pi)}}}\exp \left\{\left(-np-x{\sqrt{npq}}\right)\left({x{\sqrt{\frac{q}{np}}}}-{\frac{x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)+\left(np+x{\sqrt{npq}}-n\right)\left(-x{\sqrt{\frac{p}{nq}}}-{\frac{x^{2}p}{2nq}}-\cdots \right)\right\}\\&, ={\frac{1}{\sqrt{2\pi)}}}\exp\left\{\left(-np-x{\sqrt{np.q}}\righT=\left(){\sqrt{\frac{q}{np}}}-{\frac{x^{2}q}{2np}}+\cdots \right)-\left(nq-x{\sqrt{npq}}\right)\left(-x{\sqrt{\frac{p}{nq}}}-{\frac{x^{2}p}{2nq}}-\cdots \right)\right\}\\&, ={\frac{1}{\sqrt{2\pi)}}}\exp \left\{\left(-x{\sqrt{npq}}와{\frac{1}{2}}x^{2}q-x^{2}q+\cdots \right)+\left(){\sqrt{npq}}+{\frac{1}{2}}\rig x^{2}p-x^{2}p-\cdots.ht))Right\}\\&, ={\frac{1}{\sqrt{2\pi)}}}\exp \left\{-{\frac{1}{2}}x^{2}q-{\frac{1}{2}};={\frac{1}{\sqrt{2\pi)}}}\exp \left\{-{\frac{1}{2}}\right\}\\& x^ᆶ(p+q)-\cdots, \simeq{\frac{1}{\sqrt{2\pi)}}}\exp \left\{-{\frac{1}{2}}x^{2}\right\}\\&, ={\frac{1}{\sqrt{2\pi)}}}e^{\frac{{2-(k-np)^}}{2np\right\}\\& x^{2}p-\cdots.q}}\\\end{aligned}}$

위의 주장에서 각 $"{\displaystyle \simeq$ $\}"$은 두 수량이 n이 증가함에 따라 점증적으로 동등하다는 진술로, 정리의 원래 진술에서와 같은 의미로, 즉 각 수량의 비율이 n → ∞으로 1에 근접한다는 것이다.

트리비아

• 더 월은 드 모이브르-라플라스 정리를 사용하는 텔레비전 게임 쇼의 한 예다.^[5]

참고 항목

• 포아송 분포는 n의 큰 값에 대한 이항 분포의 대체 근사값이다.

메모들