기형 은둔자 양-밀스 방정식

수학 및 이론 물리학, 특히 게이지 이론에서 기형적인 에르미트 양-밀스(dHYM) 방정식은 끈 이론의 B-모델(일반적으로 B-brane)에서 D-브레인에 대한 운동 방정식을 설명하는 미분 방정식이다.이 방정식은 아벨리아 게이지 그룹(${\displaystyle \mathrm{단일군}}$ $U{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {U}($1)$$렁–)의 경우 마리뇨-미나시아-무어-스트로밍거가^[1] 도출했다.끈 이론의 A-모델에서 D-branes에 대한 해당 운동 방정식의 거울 대칭을 이용한 Yau-Zaslow^[2].

정의

이 절에서는 콜린스-시-야우의 수학 문헌에서 설명한 dHYM 방정식을 설명한다.^[3]기형적인 에르미트-양-밀스 방정식은 콤팩트한 케흘러 다지관 위에 있는 선다발 위에 있는 에르미트 계량기에 대한 완전 비선형 부분 차별 방정식이며, 보다 일반적으로 ${\displaystyle \mathrm{실제}}({\displaystyle }$1${\displaystyle }$,${\displaystyle 1}$ ) ${\디스플레이 스타일(1,$1) 형식에 대한 것이다.즉${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle (X,\omega )}$이(가) 케흘러 다지관이고${\displaystyle }$[${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \in }$ H ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle [\alpha$]\$in$ H$^{1,1}(X,\mathb$ {$R}$)이 클래스라고$$ 가정하자.The case of a line bundle consists of setting ${\displaystyle [\alpha ]=c_{1}(L)}$ where ${\displaystyle c_{1}(L)}$ is the first Chern class of a holomorphic line bundle ${\displaystyle L\to X}$. Suppose that ${\displaystyle \dim X=n}$ and consider the topological constant

${\displaystyle {\z}([\omega ], [\alpha ])=\int _{X}(\omega +i\alpha )^{n}}}$

$z{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$ 및 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 클래스에만$$ 의존한다는 점에 $유의$하십시오$.$ z${\displaystyle \stackrel{}{}^}$ ${\displaystyle 0}${\$displaystystyle$ {\$z}\neq 0$그럼 이건 복잡한 숫자야

${\displaystyle {\z}([\omega], [\bea ])=re^{i\theta }}}$

real > 0 ${\displaystyle r>0}$ 및 각도 $\theta {\displaystyle [}$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$에 대해 고유하게 결정된다.

Fix a smooth representative differential form ${\displaystyle \alpha }$ in the class ${\displaystyle [\alpha ]}$. For a smooth function ${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {R} }$ write ${\displaystyle \alpha _{\phi }=\alpha +i\partial {\bar {\partial }}\phi }$, and notice that${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= [${\displaystyle \alpha }$ ] = [$$α ${\displaystyle ]}$ {\$displaystyle [\py _{\phi }]=[\pi$ $]\}\}.$$[{\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle[\alpha ]$에 관한${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \Omega }$ )${\displaystyle (X,\omega )}$에 대한 기형적인 에르미타인 양-밀스 방정식은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\begin}\operatorname {Im}(e^{-i\theta })(\omega +i\alpha _{\phi }^0}=0\\\\\operatorname {Re}(\e^{-i\alpha }).\end{case}}}$

두 번째 조건은 첫 번째 방정식에 대한 해법에 대한 긍정의 조건으로 보아야 한다.그렇습니다, 한 나는(e− 나는 θ(ω+나는 α ϕ)n⁡ 그 방정식에 대한 해결 방법을)=0{\displaystyle \operatorname{ 난}(e^{-i\theta}(\omega +i\alpha_{\phi})^{n})=0}가 리 ⁡(e− 나는 θ(ω+나는 α ϕ)nx>0{\displaystyle \operatorname{리}(e^{-i\theta}(\omega +i\alpha_{\phi})^{n})>0}일 경우 보입니다.이것은 나는n analogy to the related problem of finding Kähler-Einstein metrics by looking for metrics ${\displaystyle \omega +i\partial {\bar {\partial }}\phi }$ solving the Einstein equation, subject to the condition that ${\displaystyle \phi }$ is a Kähler potential (which is a positivity condition on the form ${\displaystyle \omega +i\mathrm{\partial }}$$∂'{\displaystyle \omega +i\phi{\bar{\bar}}\phi }.$

토론

에르미트 양-밀스 방정식과의 관계

dHYM 방정식은 방정식의 몇 가지 주요 특성을 조명하기 위해 여러 가지 방법으로 변환될 수 있다.첫째, 간단한 대수적 조작을 통해 dHYM 방정식이 동등하게 작성될 수 있음을 알 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Im}((\omega +i\alpha )^{n}=\tan \theta \operatorname {Re}(\omega +i\alpha )^{n}).}$

이 형태에서 dHYM 방정식과 정기적인 에르미타인 양-밀스 방정식의 관계를 알 수 있다.특히 dHYM 방정식은 이른바 큰 부피 한계에서 정규 HYM 방정식처럼 보여야 한다.Precisely, one replaces the Kähler form ${\displaystyle \omega }$ by ${\displaystyle k\omega }$ for a positive integer ${\displaystyle k}$, and allows ${\displaystyle k\to \infty }$. Notice that the phase ${\displaystyle \theta _{k}}$ for ${\displaystyle (X,k\omega ,[\alp$$ha ])}$은(는) $k{\displaystyle }${\$displaystyle k}$에 따라$$ 달라진다$.$ 실제로 ${\displaystyle \mathrm{태닝}}$ tan${\displaystyle {\theta }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ k = ${\displaystyle O({\mathrm{k}}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$1$$) {\$displaysty \tan$ \tan $\tan$ \$theta _{k}=O($k^{-$1$ 그리고 우리는 확장할 수 있다.

${\displaystyle(k\omega +i\alpha )^{n}=k^{n}\omega^{n1}+ink^{n1}\n-1}\wedge \alpha +O(k^{n-2})}$

자, 이제 알겠다.

${\displaystyle \operatorname {Re} ((k\omega +i\alpha )^{n})=k^{n}\omega ^{n}+O(k^{n-2}),\quad \operatorname {Im} ((k\omega +i\alpha )^{n})=nk^{n-1}\omega ^{n-1}\wedge \alpha +O(k^{n-3}),}$

${\displaystyle \mathrm{k\Omega }}$ ${\displaystyle k\omega$}에 대한 dHYM 방정식이 형식을$$ 취함

${\displaystyle Ck^{n-1}\omega^{n}+O(k^{n-3)=nk^{n-1}\n-1}\wedge \알파 +O(k^{n-3)}$

${\displaystyle \mathrm{tann}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$ $\$ {\$displaystyle$ \$tan \tan$ \theta $}$에 의해 결정된 위상 $상수{\displaystyle }$C {\$displaystyle$ C$}$의 경우 dHIMM 방정식의 선행 순서 항은 다음과 같다$.$

$\displaystyle n\omega ^{n-1}\웨지 \alpha =C\omega ^{n}}$

이는 단지 HYM 방정식일 뿐이다(필요한$$ $경우{\displaystyle }$α {\$displaystyle \alpha$}을(를${\displaystyle )}$ F${\displaystyle }$( ${\displaystyle h}$ )$${\$displaystyle F(h)}$로 대체).

로컬 형태

dHYM 방정식은 국부 좌표로 작성될 수도 있다.$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in$ X$}$ 및$$ 홀로모르픽 좌표$({\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle z^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle(z^{1},\dots ,z^{n}})$를 p$${\$displaystyle p}$ 지점에 고정하십시오$.$

${\displaystyle \omega =\sum \{j=1}idz^{j}\bar{z}^{j},\bar{z}^\sum \sum \sum \sum \j=1}{j=1}^{j}da _{j}idz^{j}}.}$

여기서$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\lambda _{j}\in \mathb${$R$$}$은(는) 모든 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$j}$에 대해$$ 실제 형태라고 가정했다$$.Lagrangian 위상 연산자를 정의하여

$\displaystyle \theta _{\omega }(\alpha )=\sum _{j=1}^{n}\arctan(\lambda _{j}).}$

간단한 계산을 통해 이 로컬 좌표에서 dHYM 방정식이 형태를 취한다는 것을 알 수 있다.

$\displaystyle \theta _{\omega }(\alpha )=\phi }$

여기서 $\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathrm{mod}}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \phi =\theta \mod 2\pi$ $\}.$ dHIMM 방정식이 완전히 비선형이고 타원형임을 알 수 있다.

해결 방법

콜린스-제이콥–의 연구에서 입증된 바와 같이 dHYM 방정식에 대한 해결책의 존재를 연구하기 위해 대수 기하학을 사용할 수 있다.야우와 콜린스-야우.^[4][5][6]$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V\subset X}$이(가) $치수{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$의 분석 하위 변수라고$$ 가정하고$,$ 중앙$$ 전하 ${\displaystyle Z_{}}$ $V{\displaystyle {}_{}([\alpha ])}$ $([\displaystyle Z_{V}([\alpha ])]$를 정의하십시오.

${\displaystyle Z_{V}([\alpha ])=-\int _{V}e^{-i\omega +\alpha }}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 치수가 2일$$ 때 콜린스-제이콥–유 교수는 만약 나는(ZX([α]))>0{\displaystyle \operatorname{ 난}(Z_{X}([\alpha]))>0}일 경우 ⁡ ∈ H1,1(X, R){\displaystyle[\alpha]\in H^{1,1}(X,\mathbb{R})}만일 모든 곡선 C⊂ X에 우리는{\displaystyle C\subset X}은, 그 다음에는dHYM 방정식의 해결책은 클래스에서[α]존재한다. 가지고 있

${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\frac {Z_{C})([\alpha ])}{Z_{X}([\alpha ])}}}\오른쪽)>0.}$^[4]

In the specific example where ${\displaystyle X=\operatorname {Bl} _{p}\mathbb {CP} ^{n}}$, the blow-up of complex projective space, Jacob-Sheu show that ${\displaystyle [\alpha ]}$ admits a solution to the dHYM equation if and only if ${\displaystyle Z_{X}([\alpha ])\neq 0}$${\displaystyle \mathrm{그리고}}$ $모든{\displaystyle }$ V${\displaystyle }${$$X {\$displaystyle$V\$subset$ X$}$에 대해 마찬가지로$,$

${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\frac {Z_{V})([\alpha ])}{Z_{X}([\alpha ])}}}\오른쪽)>0.}$^[7]

It has been shown by Gao Chen that in the so-called supercritical phase, where ${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{2}}<\theta <{\frac {n\pi }{2}}}$, algebraic conditions analogous to those above imply the existence of a solution to the dHYM equation.^[8]이것은 kahler 기하학에서 dHYM과 소위 J-등가와의 비교를 통해 달성된다.J 동위는 dHIM 방정식의 *소량 볼륨 한계*로 나타나는데, 여기서 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은(는) ${\displaystyle$ $\varepsilon$$\$$omega$$}$로 대체되어$$ 소수의for$$> {\$displaystyle$ \$varpsilon$ $to$ 0$}$을 허용한다$.$

일반에서 그dHYM 방정식에 대한 솔루션의 클래스에 대한 존재[α]으로 추측할 것이다.)c1(L){\displaystyle[\alpha]=c_{1}(L)}가 되어야 한다 해당하는 그 Bridgeland 안정성의 라인 묶음 L{L\displaystyle}.[5][6]이것은 동기 모두로부터 비교와 비슷한 이론의non-deformed 경우입니다,. 그러한유명한 고바야시-Hitchin contaction은 HYM 방정식에 대한 해결책이 기초 번들이 안정적일 경우에만 존재한다고 주장한다.또한 물리적으로 현실적인 B-brane(예를 들어 dHYM 방정식에 대한 해결책을 인정하는 자)가 correspond-stability에 대응해야 한다고 예측하는 끈 이론에서 오는 물리적 추리에 의해서도 동기가 부여된다.^[9]

끈 이론과의 관계

슈퍼스트링 이론은 스페이스타임이 10차원이며, 캘러비와 함께 차원 4의 로렌츠 다지관(일반적으로 민코프스키 공간 또는 드 시터 또는 반데 시터 공간으로 가정함)으로 구성되어 있다고 예측한다.치수 6(따라서$$ 복잡한 치수 3)의$$Yau $매니폴드$ X {\$displaystyle$ X}이 끈 이론에서 열린 문자열은 끝점의 디리클레 경계 조건을 만족시켜야 한다.이러한 조건들은 문자열의 끝점이 소위 D-branes(D for Dirichlet)에 위치하도록 요구되며, 이러한 branes를 기술하는 데 수학적 관심이 많다.

위상학적 끈 이론의 B-모델에서, 동질적 거울 대칭은 D-branes가 Calabi–에 있는 일관성 있는 피복의 파생 범주의 요소로 보아야 함을 시사한다. 때 B-brane 적인.submanifold Y⊂ X{\displaystyle Y\subset X}과 위에 적인. 벡터 다발 E→ Y{\displaystyle E\to Y}(여기서 이렇게 유 교수는3-fold X{X\displaystyle}.[10]이 characterisation가 추상, 그리고 가장 중요해dHYM 방정식 표현의 목적의 사례가 있다.${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 일관성 있는 $sheaf{\displaystyle }$ E$${\$displaystyle E}$의 지지로 간주될$$ 수 있으며,$$ 아마도 번들에 호환 가능한 Chene 연결이 있을 것이다.

This Chern connection arises from a choice of Hermitian metric ${\displaystyle h}$ on ${\displaystyle E}$, with corresponding connection ${\displaystyle \nabla }$ and curvature form ${\displaystyle F(h)}$. Ambient on the spacetime there is also a B-field or Kalb–Ramond field ${\displaystyle B}$ (not to고전적 배경 전자기장과 동등한 문자열 이론적 등가물인 B-모델 B)와 혼동된다(일반적으로 자기장 $강도$를 나타내는$$B {\$displaystyle$ B$\}$를 사용하라).^[11]Mathematically the B-field is a gerbe or bundle gerbe over spacetime, which means ${\displaystyle B}$ consists of a collection of two-forms ${\displaystyle B_{i}\in \Omega ^{2}(U_{i})}$ for an open cover ${\displaystyle U_{i}}$ of spacetime, but these forms may not agree on overlaps, where이들은 라인 번들(0-제르베)의 전환 기능과 유사하게 코키클 조건을 만족시켜야 한다.^[12]이 B 필드는 포함 $맵$을 따라 철회할 때${\displaystyle \mathrm{property}}$ : ${\displaystyle Y}$→ X ${\displaystyle \iota$:$Y\to X}$ the gerbe is trivial, which means the B-field may be identified with a globally defined two-form on ${\displaystyle Y}$, written ${\displaystyle \beta }$. The differential form ${\displaystyle \alpha }$ discussed above in this context is given by ${\displaystyle \alpha =F(h)+\beta }$, and studying the dHYM equations in the special case where ${\displaystyle \alpha =F(h)}$ or equivalently ${\displaystyle [\alpha ]=c_{1}(L)}$ should be seen as turning the B-field off or setting ${\displaystyle \beta =0}$, which in string theory corresponds to a spacetime with no background higher e강의 자기장

dHYM 방정식은 B-필드 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이$($가) 장착된 스페이스타임에$$ 이 D-brane${\displaystyle }$(${\displaystyle Y}$,${\displaystyle E}$ )$${\$displaystyle (Y,E)}$에 대한 운동 방정식을 설명하며, 거울 대칭을 통해 A-brane에 대한 해당 운동 방정식에서 도출된다.^[1][2]수학적으로 A-모델은 D-brane을$X$의 후카야$$범주의 요소로서 기술하고$,$ 그 위에 평평한 단일선 묶음이 $장착$된$X$의 특수 $라그랑지아$ 서브매니폴드로서, 이러한 A-brane에 대한 운동 방정식을 이해한다$.$위의 섹션에서 dHYM 방정식은 D6-brane${\displaystyle Y}$ = X ${\displaystyle Y=X}$에 대해 표현되었다$.$

참고 항목

• 에르미트 양-밀스 연결
• 양-밀스 연결

참조