라인 번들

수학에서 선다발은 공간의 점마다 다른 선의 개념을 표현한다.예를 들어, 각 점에 접선 선이 있는 평면의 곡선은 다양한 선을 결정한다. 접선 번들은 이들을 조직하는 방법이다.보다 공식적으로 대수 위상과 차등 위상에서 선다발은 순위 1의 벡터 번들로 정의된다.^[1]

선다발은 연속적으로 공간의 각 점에 대해 1차원 벡터 공간을 선택하여 지정한다.위상학적 응용에서 이 벡터 공간은 대개 실제적이거나 복잡하다.두 경우는 실제 벡터 공간과 복잡한 벡터 공간의 위상학적 특성이 다르기 때문에 근본적으로 다른 행동을 나타낸다.원점을 실제 선에서 제거하면 결과는 1×1 반전성 실제 행렬의 집합으로, 이는 각각 양극과 음극 실물을 한 점에 수축시킴으로써 이산 2점 공간과 동일하다. 반면에 복잡한 평면에서 원점을 제거하면 1×1 반전성 복합 행렬이 생성되는데, 이 행렬은 호모토피 티가 있다.원의 꼭지null

그러므로 호모토피 이론의 관점에서 보면, 실제 선다발은 2점 섬유로 된 섬유다발, 즉 이중 커버와 같은 작용을 한다.이에 대한 특별한 경우는 서로 다른 다지관의 방향성 이중 커버로, 여기서 해당 라인 번들은 접선 번들의 결정성 번들(아래 참조)이다.뫼비우스 띠는 원의 이중 커버( ( → 2 2 mapping)에 해당하며, 광섬유를 변화시킴으로써 2점 섬유, 단위 간격을 섬유로, 또는 실선을 갖는 것으로도 볼 수 있다.null

복잡한 선다발은 원다발과 밀접한 관련이 있다.몇몇 유명한 것들도 있는데, 예를 들어 구와 구 사이의 호프 섬유화 같은 것들이다.null

대수 기하학에서, 변위할 수 없는 암표(즉, 1등급의 국소적으로 자유로운 암표)는 흔히 선다발이라고 불린다.null

모든 선다발은 다음과 같은 조건의 구분자에서 발생한다.

(나) X가 축소되고 돌이킬 수 없는 계략이 있다면, 모든 선다발은 디비저에서 나온다.null

(II) X가 투영적인 계획이라면, 동일한 진술이 유지된다.null

투영 공간의 tautological 번들

대수 기하학에서 가장 중요한 선다발 중 하나는 투영 공간의 tautological 선다발이다.필드 k에 대한 벡터 공간 V의 투영 P(V)는 승수 그룹 k의^× 작용에 의해$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle V\setminus \{0\}}$의 몫으로 정의된다.따라서 P(V)의 각 점은 k의^× 복사본에 해당하며, 이러한 k의^× 복사본은 P(V)를 통한 k-번들^×(k-bundle)로 조립될 수 있다. k는^× 단 하나의 포인트에 의해서만 k와 다르며, 그 포인트를 각 섬유에 붙임으로써 P(V)에 선다발을 붙인다.이 선다발을 tautological line bundle이라고 한다.이 선다발은 Serre twisting sheaf $O{\displaystyle \mathcal{}}$( $){\displaystyle$${O}(1$)의 이중에 해당하기 때문에$$ $O{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$ $){\mathcal{O}($1$)$로 표기되기도 한다$.$

투영 공간에 대한 지도

X가 공간이고 L이 X의 선다발이라고 가정하자.L의 글로벌 섹션은 함수 s : X → L이다. p : L → X가 자연 투영이라면 ps = id이다_X.L이 사소한 X의 작은 동네 U에서 선다발의 총 공간은 U와 밑의 필드 k의 산물이며, 섹션 s는 기능 U → k로 제한된다. 그러나 s의 값은 사소한 것의 선택에 따라 달라지기 때문에, 즉, 즉, 어디에도 없는 기능을 통해 곱셈까지만 결정된다.null

전역 섹션은 투영 공간에 대한 지도를 다음과 같은 방법으로 결정한다.L섬유의 모든 영점을 선택하는 것은 P에^r 있는 tautological line bundle의 섬유를 선택하는 것이므로, R + 1을 선택하는 것은 X에서 투영 공간 P로^r 지도를 결정한다.이 지도는 L의 섬유를 tautological bundle의 이중 섬유로 보낸다.구체적으로는 s, ...s가₀ L의 전역_r 부분이라고 가정한다.X의 작은 동네 U에서, 이 섹션들은 값이 사소한 것의 선택에 따라 달라지는 U의 k-값 함수를 결정한다.그러나 0이 아닌 함수에 의해 동시 곱셈까지 결정되므로 비율이 잘 정의되어 있다.즉, 점 x에 걸쳐 s₀(x), ..., s_r(x)의 값은 각각 0이 아닌 상수로 곱하기 때문에 잘 정의되지 않는다.그러나 그것은 그것들을 동일한 상수 multiply으로 곱할 것이기 때문에 동종₀ 좌표[s₀(x) : ... : s_r(x)]는 s, ...s가_r x에서 동시에 사라지지 않는 한 잘 정의된다.따라서 단면이 동시에 사라지지 않으면 X에서 P까지^r 지도를 주는 형식[s₀ : ... : s_r]을 결정하고, 이 지도에 따른 tautological bund의 이중의 풀백은 L이다.이렇게 해서 투사적인 공간은 보편적인 속성을 획득한다.null

투사적 공간에 대한 지도를 결정하는 보편적인 방법은 L의 모든 섹션의 벡터 공간의 투사화에 대한 매핑이다.위상학적 경우, 지점의 작은 근처 밖으로 사라지는 범프 기능을 사용하여 모든 지점에 비반사 섹션이 있다.이 때문에, 결과 지도가 어디에서나 정의된다.그러나 코도메인은 보통 너무 멀고, 너무 커서 쓸모가 없다.대수적 설정과 홀로모픽 설정에서는 정반대다.여기서 글로벌 섹션의 공간은 종종 유한한 치수지만 주어진 지점에 비탄력 글로벌 섹션은 없을 수 있다.(이 절차가 렙체츠 연필을 구성하는 경우처럼)사실, 묶음에는 0이 아닌 글로벌 섹션이 전혀 없는 것이 가능하다; 이것은 tautological line bundle의 경우다.선다발이 충분할 때 이 구조는 고다이라 임베딩 정리를 검증한다.null

결정 번들

일반적으로 V가 일정한 파이버 치수 n을 가진 공간 X의 벡터 번들이라면, 파이버 바이 파이버를 이용한 V의 n번째 외부 전력은 결정체 선 번들이라고 하는 라인 번들이다.이 구조는 특히 매끄러운 다지관의 코탄젠트 다발에 적용된다.결과 결정인자 번들은 텐서 밀도의 현상에 책임이 있다. 즉, 방향성 다지기의 경우 비바니싱 글로벌 섹션을 가지고 있고, 실제 지수를 가진 텐서 파워를 정의하여 텐서 제품에 의한 벡터 번들을 '트위팅'할 수 있다.null

노메트리안 도메인을 통해 미세하게 생성된 투영 모듈 M에도 동일한 구조(최상위 외부 전력을 이용함)가 적용되며, 그 결과 인버터블 모듈은 M의 결정요인 모듈이라고 불린다.

특성 클래스, 범용 번들 및 공간 분류

제1회 스티펠-휘트니는 부드러운 실선다발을 분류한다. 특히 실선다발의 (동등 등급)은 Z/2Z 계수를 가진 첫 번째 코호몰로지 요소와 일치한다. 이 대응은 사실 아벨 그룹들의 이소모형이다(집단 운영은 선다발의 텐서형 제품이며 일반적인 a).코호몰로지(cohomology)에 대한 설명.제1차 체르누스는 공간상의 매끄러운 복합선다발을 분류하며, 라인다발 그룹은 정수 계수를 갖는 제2차 코호몰로지 등급에 이형화된다.그러나, 묶음은 동등한 평활 구조(따라서 동일한 최초의 체르누스 등급)를 가질 수 있지만 다른 홀로모르픽 구조물을 가질 수 있다.체르누스 계급 진술은 다지관의 기하급수적인 피복 순서를 사용하여 쉽게 증명된다.null

분류 문제를 호모토피-이론적 관점에서 보다 일반적으로 볼 수 있다.실선다발에는 범용다발이, 복합선다발에는 범용다발이 있다.공간 분류에 관한 일반적인 이론에 따르면, 경험론은 각각의 그룹 C와₂ S의¹ 그룹 작용이 있는 자유 작용인 수축 가능한 공간을 찾는 것이다.이러한 공간은 보편적 주성분 묶음 역할을 할 수 있으며, 작용에 대한 인용구는 공간 BG로 분류할 수 있다.이러한 경우 우리는 실제적이고 복잡한 투영 공간의 무한 차원 유사성에서 그러한 것들을 분명히 찾을 수 있다.null

따라서 분류 공간 BC는₂ 동질 좌표의 무한 시퀀스에 의해 주어지는 실제 투사 공간인 호모토피 형태의 RP이다^∞.그것은 범용 실선다발을 운반한다; CW 복합체 X의 어떤 실선다발 L이 X에서 RP까지의^∞ 분류 지도를 결정하여 L이 범용다발의 풀백에 이형화됨을 의미하는 호모토피 이론의 관점에서 볼 때.이 분류 맵은 RP에^∞ 대한 표준 등급에서 Z/2Z 계수를 가진 X의 첫 번째 동일학에서 L의 스티펠-휘트니 등급을 정의하는 데 사용될 수 있다.null

이와 유사하게 복잡한 투영 공간 CP는^∞ 범용 복합 선다발을 운반한다.이 경우, 지도 분류는 H²(X) (통합 코호몰로지)에서 X의 첫 번째 체르누스 등급이 된다.null

쿼터니오닉(실제 차원 4) 선다발을 가진 더 나아가 유사 이론이 있다.이것은 실제 4차원 코호몰리학에서 폰트랴긴 계급을 만들어낸다.null

이와 같이 특성계급 이론에 대한 기초적인 사례는 선다발에만 의존한다.일반적인 분열 원리에 따라 이것은 이론의 나머지 부분을 결정할 수 있다(명시하지 않은 경우).null

복잡한 다지관에는 홀로모르픽 선다발 이론이 있고, 대수 기하학에는 변절성 선다발 이론이 있다.null

참고 항목

• 아이번들
• 넉넉한 라인 번들

메모들

참조

• Michael Murray, Line Bundles, 2002(PDF 웹 링크)
• 로빈 하트숀.대수 기하학.1975년 AMS 서점ISBN 978-0-8218-1429-1