차이 집합

조합학에서 a${\displaystyle }$(${\displaystyle v}$, k ,${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle (v,k,\lambda$)의 차이$$ 세트는 $그룹{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle$$G$}의 $크기{\displaystyle }$ K ${\displaystyle k}$의 부분 집합 D ${\displaystytle$ $G}$이며, G$}$의 모든 비식 요소를 ${\displaystyle d_{}}$로 표현할 수 있다$$$$.${\displaystyle d_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$의 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$방법으로$$$$ D ${\$displaystyle $D}$ 요소.$차이{\displaystyle }$ 집합 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은(는)$$그룹 G {\$displaystyle G}$이(가) 해당 속성을 가질$$ 경우 순환, 아벨리안, 비아벨리안 등으로 알려져$$ 있다.$\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda =$1}을$($를) 사용하여 설정한 차이를 평면 또는 단순이라고 부르기도 한다$$.^[1]$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 가법 기호로 작성된 아벨 그룹인 경우, $정의{\displaystyle }$ 조건은$$G {\$displaystyle$ G$}$의 모든 0이 아닌 원소를 정확히 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 방법으로 D$${\$displaystystyle D$}의 원소의 차이로 기록할$$ 수 있다는 것이다."차이 세트"라는 용어는 이런 식으로 생겨난다.

기본 사실

• $간단한{\displaystyle {}^{}}$ 계산 인수를 ${\displaystyle {통해\mathrm{}}^{}}$ $D{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle k^{2}-$${\displaystyle k}$$}$ 쌍의$$ 비식별 요소를 생성하는$$ D {\$displaystyle$ D$}$의 $요소$가 정확히 2${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( v${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle$ k$^{2}-k=(v-1)\lambda$$}$ .
• If ${\displaystyle D}$ is a difference set, and ${\displaystyle g\in G}$, then ${\displaystyle gD=\{gd:d\in D\}}$ is also a difference set, and is called a translate of ${\displaystyle D}$ (${\displaystyle D+g}$ in additive notation).
• a${\displaystyle }$(${\displaystyle v}$, k ,${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle (v,k,\lambda )}$ -difference$$ set는 a${\displaystyle }$(${\displaystyle v,}$ v${\displaystyle }$- k${\displaystyle }$, ${\displaystyle v}$ - ${\displaystyle k}$ , v${\displaystyle }$- 2 ${\displaystyle k}$+ ${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle (v,v-k,v-2k+\lambda )}$ -difference$$ sets이다.^[2]
• 차이 집합 $D$의 모든$$변환 $집합$ D {\$displaystyle$ D}은(는$)$ ${\displaystyle D}$ {\$displaystyle$ D${\displaystyle \}}$의 개발이라고$$ 하며 d e${\displaystyle }$v$$(${\displaystyle D}$ ) {\$displaystyle$ dev$(D)}$으로 표시되며$,$ 이러한 설계에는 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ 요소$$(일반적으로 점)와 $v{\displaystyle }$ ${\displaystystylean v}$ 블록이 있다.ts). 설계의 각 $블록$은 k ${\displaystyle$ k$}개$의 점으로$$ 구성되며, $각{\displaystyle }$ 점은 k ${\displaystyle k}$개의$$ 블록에 포함된다.두 블록은 정확히 $exactly{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$개의 요소를$$ 공통으로 가지고 있으며, 두 점은 정확히 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$개의$$ 블록에 동시에 포함되어 있다.그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 설계의 자동화 그룹 역할을 한다$$.그것은 포인트와 블록 모두에서 급격하게 전이된다.^[3]
  • 특히$$$\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda =1}$인 경우 차이 집합은 투영 평면을 발생시킨다.그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle 7\mathbb{}}$ Z ${\$에서 설정된 (7,3,1) 차이의 예는$$ 하위${\displaystyle }$집합${\displaystyle }${${\displaystyle 1}$, 2,${\displaystyle 4\}}${\$displaystyle \{1,$2,4$\}$이다$.$이 차이 세트의 번역은 Fano 평면을 형성한다.
• 모든 차이 집합은 대칭적인 설계를 제공하므로 매개변수 집합은 Bruck-Ryser-Chowla 정리를 만족해야 한다.^[4]
• 모든 대칭 설계가 차이 집합을 제공하는 것은 아니다.^[5]

등가 및 이형 차이 집합

Two difference sets ${\displaystyle D_{1}}$ in group ${\displaystyle G_{1}}$ and ${\displaystyle D_{2}}$ in group ${\displaystyle G_{2}}$ are equivalent if there is a group isomorphism ${\displaystyle \psi }$ between ${\displaystyle G_{1}}$ and ${\displaystyl$$e G_{2}}$ such that ${\displaystyle D_{1}^{\psi }=\{d^{\psi }\colon d\in D_{1}\}=gD_{2}}$ for some ${\displaystyle g\in G_{2}}$.설계 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle v}$( D ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle dev(D_{1})$ 및 $d$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle ({D\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle dev(D_{2})$가 블록$$ 설계와 같은 이형인 경우 두 차이 집합은 이형성이다.

등가차 집합은 이형이지만 등가차 집합이 아닌 이형차 집합의 예가 존재한다.주기적 차이 집합 사례에서 알려진 모든 이형성 차이 집합은 동등하다.^[6]

승수

A multiplier of a difference set ${\displaystyle D}$ in group ${\displaystyle G}$ is a group automorphism ${\displaystyle \phi }$ of ${\displaystyle G}$ such that ${\displaystyle D^{\phi }=gD}$ for some ${\displaystyle g\in G}$. If ${\displaystyle G}$ is abelian and ${\d$$isplaystyle \pi$}}은 h${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle h^{}}$ t$${\$displaystyle h^{t}}}$를 매핑하는 자동형이며$,$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyt t}$을(를) 숫자 또는 홀 승수라고 한다$$.^[7]

p가 $k{\displaystyle }$ -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k-\lambda}$을(를) 분할하지 않고 p를 분할하는 $프라임$이라면 g${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle g^{}}$ p$${\$displaysty g\mapsto$ g$^{p}}$에 의해 정의된 그룹 자동화가 D의 일부 번역(이것은 곱셈과 동일)을 고정하는$$ 것으로 추측되어 왔다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 아벨 그룹일 때 > ${\displaystyle p>\lambda }$에 대해 사실인 것으로 알려져 있으며, 이것을 제1승수 정리라고 한다.A more general known result, the Second Multiplier Theorem, says that if ${\displaystyle D}$ is a ${\displaystyle (v,k,\lambda )}$-difference set in an abelian group ${\displaystyle G}$ of exponent ${\displaystyle v^{*}}$ (the least common multiple of the orders of every element), let ${\dis$v{\displaystyle v}에Playstyle t} 정수 coprime 경우에는 법수 m을 존재하고, k− λ의 λ{\displaystyle m>, \lambda}{\displaystyle k-\lambda}가 모든 주요 와 나누는 동안, 나는 가진 정수 t≡ p나는(모드 v∗){\displaystylet\equiv p^{나는}\{\pmod{v^{*}}}존재하},.nt은숫자 구분 ^[8]기호

예를 들어, 2는 위에서 언급한 (7,3,1)-차이의 곱이다.

아벨 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 차이 $세트{\displaystyle }$ D ${\displaystyle D}$의 숫자 승수가 D ${\displaystyle D$$}$의 번역을 수정한다고$$ 언급되었지만$,$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyd$}의 모든 숫자 승수에 의해 $고정$된 D ${\displaystystyle$ $D$$}$의 번역도 있음을 알 수 있다.$$.^[9]

매개변수

알려진 차이 집합 또는 그 보완물은 다음 매개변수 집합 중 하나를 가진다.^[10]

• ${\displaystyle ((q^{n+2}-1)/(q-1),(q^{n+1}-1)/(q-1),(q^{n}-1)/(q-1))}$-difference set for some prime power ${\displaystyle q}$ and some positive integer ${\displaystyle n}$.이것들은 고전적인 매개변수라고 알려져 있고 이러한 매개변수를 가진 많은 차이점 집합의 구성들이 있다.
• ${\displaystyle (\mathrm{4n}}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \mathrm{2n}}$- ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ - ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$n${\displaystyle }$- 1${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$$(4n-1,2n-1$$,$n-1)$$- 일부 양의 정수 $n$에 대해 설정된 차이$$$.$ v = 4n - 1의 차이 세트를 Paley-type 차이 집합이라고 한다.
• ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}\mathrm{2n}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- n${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle (4n^{2},2n^{2}-n,n^{2}-n)}$ -차이가$$ 일부 양의 정수 $n{\displaystyle }${\$displaystyle n}$에 대해 설정됨$.$ 이러한 파라미터로 설정된 차이는 Hadamard 차이 집합이다.
• ${\displaystyle (q^{n+1}(1+(q^{n+1}-1)/(q-1)),q^{n}(q^{n+1}-1)/(q-1),q^{n}(q^{n}-1)/(q-1))}$-difference set for some prime power ${\displaystyle q}$ and some positive integer ${\displayst$$yle$ n$}$ . McFarland 매개 변수로 알려져 있다$.$
• ${\displaystyle (3^{n+1}(3^{n+1}-1)/2,3^{n}(3^{n+1}+1)/2,3^{n}(3^{n}+1)/2)}$-difference set for some positive integer ${\displaystyle n}$. Known as the Spence parameters.
• ${\displaystyle (4q^{2n}(q^{2n}-1)/(q-1),q^{2n-1}(1+2(q^{2n}-1)/(q+1)),q^{2n-1}(q^{2n-1}+1)(q-1)/(q+1))}$-difference set for some prime power ${\displaystyle q}$ and some 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$ 이러한 매개 변수를 가진 차이 집합을 Davis-Jedwab-Chen 차이 집합이라고 한다.

알려진 차이 집합

차이 집합의 많은 구성에서 사용되는 그룹은 유한 장의 첨가물 및 승법 그룹과 관련이 있다.이러한 분야를 나타내는 데 사용되는 표기법은 규율에 따라 다르다.이 절에서 $G{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{F}}$ (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle {\rm {GF}(q)$는 순서 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 갈루아 필드이며$,$ 여기서 $q{\displaystyle }${\$displaysty q}$은 prime 또는 prime power이다.추가 대상 그룹은 $G{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle G\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{F}}$ (${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$,${\displaystyle }$+${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ G$=({\rm {GF}(q$로 표시되며, $G{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{F}}$ (${\displaystyle q{}^{}}$는$q ){\$가 0이 아닌 원소의 승수 그룹이다$$.

• Paley${\displaystyle (\mathrm{4n}}$- ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \mathrm{2n}}$- 1,${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1 ) ${\displaystyle(4n-1,2n-1,n-1)}$ -차이$$ 집합:

$q{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{4n}}$- 1 ${\displaystyle q=4n-1$}을$($를) 주요 강국이 되도록$$ 한다.$그룹{\displaystyle }$G${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle \mathrm{G}}$F (${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$+ ) ${\displaystyle$ G$=({\rm {GF}(q),+)}$에서$$$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$을(를) 0이 아닌 모든 정사각형의 집합으로$$ 한다.

• Singer ${\displaystyle ((q^{n+2}-1)/(q-1),(q^{n+1}-1)/(q-1),(q^{n}-1)/(q-1))}$-difference set:

Let ${\displaystyle G={\rm {GF}}(q^{n+2})^{*}/{\rm {GF}}(q)^{*}}$. Then the set ${\displaystyle D=\{x\in G~ ~{\rm {Tr}}_{q^{n+2}/q}(x)=0\}}$ is a ${\displaystyle ((q^{n+2}-1)/(q-1),(q^{n+1}-1)/(q-}$${\displaystyle ((q^{n+2}-1)/(q-1),(q^{n+1}-1)/(q-1),(q^{n}-1)/(q-1))}$-difference set, where ${\displaystyle {\rm {Tr}}_{q^{n+2}/q}:{\rm {GF}}(q^{n+2})\rightarrow {\rm {GF}}(q)}$ is the trace function ${\displaystyle {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{q^{n+2}/}}$${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle q^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle {{\mathrm{x}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {q^{}}^{}}$+ 1 ${\$

• Twin prime power ${\displaystyle \left(q^{2}+2q,{\frac {q^{2}+2q-1}{2}},{\frac {q^{2}+2q-3}{4}}\right)}$-difference set when ${\displaystyle q}$ and ${\displaystyle q+2}$ are both prime powers:

In the group ${\displaystyle G=({\rm {GF}}(q),+)\oplus ({\rm {GF}}(q+2),+)}$, let ${\displaystyle D=\{(x,y)\colon y=0{\text{ or }}x{\text{ and }}y{\text{ are non-zero and both a$$리 스퀘어 또는 둘 다 비침습}\}.$$}$^[11]

역사

대칭 블록 설계의 구축을 위한 주기적 차이 집합과 방법의 체계적 사용은 1939년 R. C. Bose와 그의 정석 논문으로 거슬러 올라간다.^[12]그러나 1933년으로 거슬러 올라가는 '팔레차이 세트'와 같은 다양한 예가 이보다 앞서 등장했다.^[13]순환차이 집합개념을 보다 일반적인 집단으로 일반화한 것은 1955년 R.H. Bruck^[14] 때문이다.^[15]승수는 1947년 마셜 홀 주니어에 의해 소개되었다.^[16][17]

적용

Xia, Jou, Giannakis에 의해 차이 세트가 최대 교차 상관 진폭에서 어려운 Welch 바인딩을 달성하는 복잡한 벡터 코드북을 구성하는 데 사용될 수 있다는 것을 발견하였다.이렇게 만들어진 코드북은 이른바 그라스만 다지관을 형성하기도 한다.

일반화

A ${\displaystyle (v,k,\lambda ,s)}$ difference family is a set of subsets ${\displaystyle B=\{B_{1},\ldots ,B_{s}\}}$ of a group ${\displaystyle G}$ such that the order of ${\displaystyle G}$ is ${\displaystyle v}$, the size of ${\displaystyle B_{i}}$is ${\displaystyle k}$ for all ${\displaystyle i}$, and every nonidentity element of ${\displaystyle G}$ can be expressed as a product ${\displaystyle d_{1}d_{2}^{-1}}$ of elements of ${\displaystyle B_{i}}$ for some ${\displaystyle i}$ (i.e. both ${\d$$isplaystyle d_{1},d_{2}}:$ 동일한 ${\displaystyle {Bi}_{}}$ ${\$에서 정확히 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 방법으로 온다$$.

차이 집합은 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s=1$}을$($를) 갖는 차이 집합이다$.$The parameter equation above generalises to ${\displaystyle s(k^{2}-k)=(v-1)\lambda }$.^[18] The development ${\displaystyle dev(B)=\{B_{i}+g:i=1,\ldots ,s,g\in G\}}$ of a difference family is a 2-design.일반 자동형성 그룹이 있는 모든 2-디자인은 어떤 차이점 패밀리 $B{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle dev(B)}$에 대해$$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle v}$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle )}$ ${\$$displaystyle B}$이다$.$

참고 항목

• 조합 설계

메모들

참조

• Beth, Thomas; Jungnickel, Dieter; Lenz, Hanfried (1986), Design Theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-33334-2, Zbl 0602.05001
• Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Handbook of Combinatorial Designs, Discrete Mathematics and its Applications (2nd ed.), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, ISBN 1-58488-506-8, Zbl 1101.05001
• van Lint, J.H.; Wilson, R.M. (1992), A Course in Combinatorics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42260-4, Zbl 0769.05001
• Wallis, W.D. (1988). Combinatorial Designs. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7942-8. Zbl 0637.05004.

추가 읽기

• Moore, EH; Pollastek, HSK (2013). Difference Sets: Connecting Algebra, Combinatorics, and Geometry. AMS. ISBN 978-0-8218-9176-6.
• Storer, Thomas (1967). Cyclotomy and difference sets. Chicago: Markham Publishing Company. Zbl 0157.03301.
• Xia, Pengfei; Zhou, Shengli; Giannakis, Georgios B. (2005). "Achieving the Welch Bound with Difference Sets" (PDF). IEEE Transactions on Information Theory. 51 (5): 1900–1907. doi:10.1109/TIT.2005.846411. ISSN 0018-9448. Zbl 1237.94007..

Xia, Pengfei; Zhou, Shengli; Giannakis, Georgios B. (2006). "Correction to ``Achieving the Welch bound with difference sets". IEEE Trans. Inf. Theory. 52 (7): 3359. doi:10.1109/tit.2006.876214. Zbl 1237.94008.

• Zwillinger, Daniel (2003). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. CRC Press. p. 246. ISBN 1-58488-291-3.