블록 설계

결합수학에서 블럭 설계는 요소들의 주파수가 특정 조건을 만족시켜 블록의 집합이 대칭(균형)을 나타내도록 선택된 블럭으로 알려진 하위 집합의 집합과 함께 집합으로 구성된 발생 구조다.그들은 실험 설계, 유한 기하학, 물리 화학, 소프트웨어 시험, 암호학, 대수 기하학을 포함한 많은 분야에서 응용 프로그램을 가지고 있다.null

더 이상의 규격이 없는 경우, 블록 설계라는 용어는 일반적으로 균형 잡힌 불완전한 블록 설계(BIBD), 특히 (그리고 동의어로도)를 가리키는데, 실험 설계에 적용되기 때문에 역사적으로 가장 강도 높게 연구된 유형이다.^[1][2]그것의 일반화는 t-design으로 알려져 있다.null

개요

원래 세트의 모든 t-subset이 동일한 수(즉, λ) 블록에서 발생하는 경우 설계는 균형(최대 t)이라고 한다.t가 지정되지 않은 경우 일반적으로 2로 가정할 수 있으며, 이는 각 요소 쌍이 동일한 수의 블럭에서 발견되고 설계가 쌍으로 균형잡힌다는 것을 의미한다.t=1의 경우 각 원소는 동일한 수의 블럭(복제 번호, r로 표시됨)에서 발생하며 설계는 규칙적이라고 한다.t까지 균형잡힌 설계는 t의 모든 하위 값에서도 균형이 잡히므로(다른 λ-값을 사용하더라도), 예를 들어 쌍으로 균형잡힌 설계(t=2)도 정규(t=1)이다.균형 조정 요건이 실패하더라도, t-subset을 각각 자체(다른) )-값을 갖는 n등급으로 나눌 수 있는 경우 설계는 여전히 부분적으로 균형을 유지할 수 있다.t=2의 경우 이러한 설계는 PBIBD(n) 설계로 알려져 있으며, 클래스는 연결 체계를 형성한다.null

설계는 보통 불완전하다고 말(또는 가정)하는데, 이는 블럭이 집합의 모든 요소를 포함하지 않는다는 것을 의미하므로 사소한 설계도 배제한다.null

모든 블록이 동일한 크기(보통 k로 표시됨)를 갖는 블록 설계를 균일 또는 적정하다고 한다.이 글에서 논의된 디자인은 모두 균일하다.반드시 균일하지 않은 블록 설계도 연구되었다. t=2의 경우, 일반 이름 쌍 균형 설계(PBD)로 문헌에 알려져 있다.null

블럭 설계는 반복된 블럭을 가질 수도 있고 아닐 수도 있다.반복 블록이 없는 설계를 단순이라고 하는데,^[3] 이 경우 블록의 "패밀리"는 다중 집합이 아니라 집합이다.null

통계에서 블록 설계의 개념은 블록이 요소의 여러 복사본을 포함할 수 있는 비이진 블록 설계로 확장될 수 있다(블록(통계) 참조).여기서 각 원소가 동일한 총 횟수를 발생하는 설계를 등간격이라고 하는데, 설계도 이항일 때만 규칙적인 설계를 의미한다.비이항 설계의 입사 행렬은 각 블럭에서 각 요소가 반복되는 횟수를 나열한다.null

일반 균일 설계(구성)

가장 단순한 형태의 "균형" 설계(t=1)는 전술적 구성 또는 1-설계로 알려져 있다.기하학의 해당 발생 구조는 단순히 구성으로 알려져 있다. 구성(지오메트리)을 참조하십시오.그러한 설계는 균일하고 규칙적이다. 각 블록은 k 요소를 포함하고 각 요소는 r 블록에 포함된다.세트 요소 v와 블록 수 b는 요소 발생의 총 수인 b ${\displaystyle k}$= ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle bk=vr}$에 의해 연관된다$.$null

일정한 행과 열 합계가 있는 모든 이항 행렬은 정규 균일 블럭 설계의 입사 행렬이다.또한 각 구성에는 그 발생률 또는 Levi 그래프라고 알려진 해당 2각형 초당적 그래프가 있다.null

쌍으로 균형 잡힌 균일 설계(2-설계 또는 BIBD)

유한 집합 X(점이라고 하는 원소의 X)와 정수 k, r, λ 1을 감안하여, 우리는 X의 X가 r 블록에 포함되고 X의 모든 구별되는 X와 y의 쌍이 λ 블록에 포함되도록 블록이라 불리는 X의 k-element 하위 집합의 계열로 2-design(또는 BBD, standing for blocks) B를 정의한다.여기서 X의 어떤 x가 r 블록에 포함되는 조건은 아래와 같이 중복된다.null

여기서 v(X의 원소 수, 소위 점), b(블록의 수), k, r, λ은 설계의 매개변수다.(위축적인 예시를 피하기 위해, v > k라고 가정하여, 어떤 블록도 집합의 모든 요소를 포함하지 않는다고 한다.이는 이러한 디자인의 이름으로 '불완전'이라는 뜻이다.)표에서:

v	점, X의 요소 수
b	블럭 수
r	지정된 점을 포함하는 블럭 수
k	블럭의 점 수
λ	2개(또는 더 일반적으로 t) 구별되는 점을 포함하는 블럭 수

설계는 (v, k, λ)-설계 또는 (v, b, r, k, λ)-설계라고 한다.매개변수가 모두 독립적인 것은 아니며, v, k, λ이 b와 r을 결정하고, v, k, λ의 모든 조합이 가능한 것은 아니다.이 매개변수를 연결하는 두 개의 기본 방정식은

${\displaystyle bk=vr,}$

쌍의 수(B, p)를 세어 얻었는데, 여기서 B는 블록이고 p는 해당 블록의 점이다.

${\displaystyle \lambda(v-1)=r(k-1),}$

고정된 x에 대한 계산에서 얻은 세 곱(x, y, B) 여기서 x와 y는 구별되는 점이고 B는 둘 다 포함하는 블럭이다.또한 모든 x에 대한 이 방정식은 명시적으로 가정하지 않아도 r이 일정(x와 독립)하다는 것을 증명하므로, X의 어떤 x가 r 블록에 포함되어 있는 조건이 중복되며 r은 다른 파라미터로부터 계산될 수 있다는 것을 증명한다.null

예를 들어 a (43,7,1)-설계가 존재하지 않기 때문에 이러한 조건은 충분하지 않다.^[4]null

2-디자인의 순서는 n = r - λ으로 정의된다.2-디자인의 보어는 각 블록을 포인트 세트 X에서 그것의 보어로 교체함으로써 얻어진다.또한 2-design이며 매개변수 v v = v, b′ = b, r′ = b - r, k′ = v - k, λ′ = λ + b - 2r가 있다.2-디자인과 그 보수는 같은 순서를 가지고 있다.null

통계학자 로널드 피셔의 이름을 딴 피셔의 불평등이라는 근본적인 정리로는 어떤 2개 디자인에서도 b ≥ v가 있다.null

예

고유(6,3,2)-설계(v = 6, k = 3, λ = 2)는 블록이 10개(b = 10)이고 각 원소는 5회(r = 5) 반복한다.^[5]기호 0 - 5를 사용하여 블럭은 다음과 같은 세 배가 된다.

012 013 024 035 045 125 134 145 234 235.

해당 발생 행렬(상수 행 합 r 및 상수 열 합 k를 갖는 v×b 이진 행렬)은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{pmatrix}1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 1&, 1&, 0&, 0\\1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 1&, 1\\0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 1&, 0&, 1&, 1\\0&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 1&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 1&, 1&, 1&/&0&, 1&, 0&, 1\\\end{pmatrix}}}$

비이성형(8,4,3) 설계 4개 중 1개는 14개의 블록을 가지며 각 원소를 7회 반복한다.기호 0 - 7을 사용하는 블럭은 다음과 같은 4-tuple이다.^[5]

0123 0124 0156 0257 0345 0367 0467 1267 1346 1357 1457 2347 2356 2456.

고유(7,3,1)-디자인은 대칭이며 7개의 블록을 가지며 각 원소를 3회 반복한다.기호 0 - 6을 사용하여 블럭은 다음과 같은 세 배가 된다.^[5]

013 026 045 124 156 235 346.

이 설계는 Fano 평면과 연관되어 있으며, 평면의 점 및 선에 해당하는 설계의 요소와 블록이 있다.라벨 또는 블럭이 올바른 방법으로 정렬된 경우 해당 발생 행렬은 대칭일 수도 있다.

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&1\\0&1&0&1&0&1&0\\0&1&0&0&1&0&1\\0&0&1&1&0&0&1\\0&0&1&0&1&1&0\end{matrix}}\right)}$

대칭 2-설계(SBIBD)

피셔의 불평등에서 평등한 경우, 즉 점수와 블럭이 동일한 2-디자인을 대칭 설계라고 한다.^[6]대칭 설계는 점 수가 같은 모든 2-설계 중에서 블럭 수가 가장 적다.null

대칭 설계에서 r = k는 물론 b = v도 유지하며, 일반적으로 임의 2-설계에서는 사실이 아니지만, 대칭 설계에서는 두 개의 구별되는 블록이 모두 λ 점에서 만난다.^[7]라이저의 정리는 그 반전을 제공한다.X가 v-element 집합이고 B가 k-element 하위 집합("블록")의 v-element 집합인 경우, 두 개의 구별되는 블록이 정확히 λ 포인트를 공통으로 가질 수 있는 경우, (X, B)는 대칭 블록 설계다.^[8]null

대칭 설계의 모수가 충족됨

$\displaystyle \lambda(v-1)=k(k-1).}$

이는 v에 강력한 제한을 가하기 때문에 포인트 수가 임의적인 것과 거리가 멀다.브루크-라이저-초라 정리는 이러한 매개변수에 있어 대칭 설계의 존재에 필요하지만 충분하지는 않은 조건을 제공한다.null

대칭 2-디자인의 중요한 예는 다음과 같다.

투영 평면

유한 투영 평면은 λ = 1과 n 순서 n > 1의 대칭 2-설계다.이러한 설계의 경우 대칭 설계 방정식은 다음과 같이 된다.

$[\displaystyle v-1=k(k-1)]}$

k = r 우리는 투영 평면의 순서를 n = k - 1로 쓸 수 있고, 위에 표시된 방정식에서 순서 n의 투영 평면에서 v = (n + 1)n + 1 = n² + n + 1을 얻는다.

투영 평면은 대칭 설계이므로 b = v, 즉 b = n² + n + 1도 있다.숫자 b는 투영 평면의 선 수입니다.λ = 1 이후로는 반복된 선이 있을 수 없으므로 투영면은 선수와 점수가 항상 같은 단순한 2-설계다.투영 평면의 경우 k는 각 선에 있는 점의 수이며 n + 1과 같다. 마찬가지로 r = n + 1은 주어진 점이 인시던트인 선의 수입니다.null

n = 2의 경우, 우리는 순서 2의 투영 평면을 얻는데, Fano 평면이라고도 하며, v = 4 + 2 + 1 = 7 포인트와 7 라인이 있다.Fano 평면에서 각 선은 n + 1 = 3 점을 가지며 각 점은 n + 1 = 3 선에 속한다.null

투영 평면은 소수점 또는 소수점인 모든 주문에 대해 존재하는 것으로 알려져 있다.그들은 대칭 블록 설계의 알려진 유일한 무한 패밀리를 형성한다.^[9]null

양플레인

양면 또는 양면 지오메트리는 with = 2를 갖는 대칭 2-설계로서, 즉 두 점의 모든 집합은 두 블럭("선")에 포함되며, 두 선은 두 점으로 교차한다.^[9]이들은 한 선(그리고 한 점을 결정하는 두 선)을 결정하는 두 점보다는 두 점이 두 선(존중하게, 점)을 결정하는 것을 제외하고는 유한 투영 평면과 유사하다.순서 n의 양면(biplane)은 블록이 k = n + 2포인트를 갖는 평면이며, v = 1 + (n + 2)(n + 1)/2포인트(r = k 이후)가 있다.null

알려진 18가지 예는^[10] 아래에 열거되어 있다.null

• (삼각형)순서 0 양면에는 2개의 점(및 크기 2의 선, 2-(2,2,2) 설계)이 있으며, 두 개의 블록이 각각 두 개의 점으로 구성되어 있다.기하학적으로, 그것은 digon이다.
• 순서 1 양면에는 4개의 점(및 크기 3의 선, 2-(4,3,2) 설계)이 있다. v = 4와 k = 3. 기하학적으로 점은 사면체의 정점이고 블록은 면이다.
• 순서 2 양면(Order 2 biplane)은 Fano 평면의 보완점이다: 7포인트(및 크기 4의 선, 2-(7,4,2)가 있고, 여기서 선은 Fano 평면의 (3-점) 선의 보완점으로 주어진다.^[11]
• 주문은 3복엽기(5사이즈의 라인;2(11,5,2)cm이고, 또한 .mw-parser-output .vanchor&gt으로 알려져 있다;:레이몬드 페일리 후 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}Paley 복엽기;그것은 주문 11의 11와 요소 필드를 사용하고는 아다마르 2-design associa 생성되는 페일리 이중자 안에 관련된 11점이 있습니다.테드는 크기 12아다마르 매트릭스에, 페일리 건설 나 보

대수적으로 이것은 PSL(2,11)에서 투사적 특수 선형 그룹 PSL(2,5)의 예외적 내장 여부에 해당한다. 자세한 내용은 투사적 선형 그룹: p 지점에 대한 조치를 참조하십시오.^[12]

• 순서 4의 3개(및 16개 점, 크기 6의 선, 2-(16,6,2)가 있다.하나는 쿠머의 구성이다.이 세 가지 디자인도 메논 디자인이다.
• 순서 7의 4개(그리고 37점, 크기 9의 선; 2-(37,9,2))의 양기가 있다.^[13]
• 순서 9의 5개(및 56점, 크기 11의 선, 2-(56,11,2))의 양기가 있다.^[14]
• 2대의 양전기는 순서 11(그리고 79점, 크기 13의 선, 2-(79,13,2)으로 알려져 있다.^[15]

브룩-라이서-초라 정리에서 알 수 있듯이 주문 5, 6, 8, 10의 양플레인은 존재하지 않는다.null

하다마드 2-디자인

m 크기의 Hadamard 행렬은 m × m 행렬 H이며, 입력은^⊤ ±1이며, H = mI이며_m, 여기서 H는^⊤ H의 전치물이고 I는_m m × m ID 행렬이다.Hadamard 행렬은 첫 번째 행과 첫 번째 열 항목이 모두 +1인 표준화된 형태(즉, 동등한 Hadamard 행렬로 변환됨)로 넣을 수 있다.크기 m > 2인 경우 m은 4의 배수여야 한다.

표준화된 형태로 4a 크기의 Hadamard 행렬을 지정하면 첫 번째 행과 첫 번째 열을 제거하고 모든 -1을 0으로 변환한다.결과 0–1 행렬 M은 Hadamard 2-design이라고 하는 대칭 2-(4a - 1, 2a - 1, a - 1) 설계의 입사 행렬이다.^[16]여기에는 ${\displaystyle \mathrm{4개}}$의 a${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle 4a-1}$개의$$ 블록/포인트가 포함되며, 각각 2개의${\displaystyle \mathrm{a}}$ - 1 ${\displaystyle 2a-1}$개의$$ 블록/블록이 포함/포함되어 있다.각 점 쌍은 $정확히{\displaystyle }$ -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a-1}$개의$$ 블럭에 포함되어 있다.null

이 구조는 되돌릴 수 있으며, 이러한 매개변수를 가진 대칭 2-디자인의 발생 행렬을 사용해 4a 크기의 Hadamard 행렬을 구성할 수 있다.null

확인 가능한 2-설계

확인 가능한 2-디자인은 블록을 세트(병렬 클래스라고 함)로 분할할 수 있는 BIBD로, 각각은 BIBD 포인트 세트의 파티션을 형성한다.병렬 클래스의 집합을 설계의 분해능이라고 한다.null

2-(v,k,ii)^[17] 확인 가능한 설계에 c 병렬 클래스가 있는 경우 b ≥ v + c - 1

따라서 대칭 설계는 비교(둘 이상의 병렬 클래스) 분해능을 가질 수 없다.^[18]null

전형적으로 확인 가능한 2-디자인은 유한 아핀 평면이다.유명한 15명의 여학생 문제의 해결책은 2-(15,3,1) 디자인에 대한 해결책이다.^[19]null

일반 균형 설계(t-설계)

임의의 양의 정수 t를 주어진 t-design B는 X의 모든 점 x가 정확히 r 블록에 나타나고 모든 t-element 하위 집합 T가 정확히 blocks 블록에 나타나도록 블록이라고 불리는 X의 k-element 하위 집합의 한 종류다.숫자 v(X의 원소의 수), b(블록의 수), k, r, λ, t는 설계의 매개변수다.이 설계는 t-(v,k,k)-design이라고 할 수 있다.다시 이 네 개의 숫자가 b와 r을 결정하며, 네 개의 숫자 자체는 임의로 선택할 수 없다.방정식은

$\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \왼쪽.{\binom {v-i}{t-i}\오른쪽/{\binom {k-i}{t-i}}{\text{{}}}{}i=0,1,\ldots,t,}$

여기서 λ은_i 모든 i-migration 점 집합과 λ_t = λ을 포함하는 블럭 수입니다.

Note that ${\displaystyle b=\lambda _{0}=\lambda {v \choose t}/{k \choose t}}$ and ${\displaystyle r=\lambda _{1}=\lambda {v-1 \choose t-1}/{k-1 \choose t-1}}$.

정리:^[20]t-(v,k,cs)-설계도 s-(v,k,cs)-설계도 1 ³ t를 갖는 s에 대한 s-(v,k,cs_s) 설계다(참고: "람바 값"은 위와 같이 변경되며 s에 따라 달라진다).

이 정리의 결과는 t ≥ 2를 가진 모든 t-design도 2-design이라는 것이다.null

t-(v,k,1)-디자인을 슈타이너계라고 한다.null

블록 설계라는 용어 자체는 일반적으로 2-디자인을 의미한다.null

파생 및 확장 가능한 t-설계

D = (X, B)를 t-(v,k,k) 설계로 하고 p를 X의 점으로 한다.파생 설계 D는_p 점 집합 X - {p}을(를) 가지며, p를 제거한 상태에서 p를 포함하는 D의 모든 블록을 블록 집합으로 한다.(t - 1)-(v - 1, k - 1, λ) 설계다.서로 다른 점에 관한 파생 설계는 이형성이 아닐 수 있다는 점에 유의하십시오.설계 E는 E가_p D와 이형성인 점 p를 갖는 경우 D의 확장이라고 하며, 우리는 D가 확장성을 갖는 경우 확장성을 갖는다고 부른다.null

정리:^[21]t-(v,k,k) 설계에 확장자가 있으면 k + 1은 b(v + 1)를 나눈다.null

확장 가능한 유일한 투영 평면(대칭 2-(n² + n + 1, n + 1, n + 1, 1) 설계는 순서 2와 4의 평면이다.^[22]null

모든 Hadamard 2-design은 확장 가능하다(Hadamard 3-design까지).^[23]null

정리:.^[24]대칭 2-(v,k,sv) 설계인 D가 확장 가능한 경우 다음 중 하나가 유지된다.

1. D는 Hadamard 2-design이고
2. v = (λ + 2)(λ² + 4λ + 2), k = λ² + 3λ + 1,
3. v = 495, k = 39, λ = 3

순서 2의 투사 평면은 Hadamard 2 설계이고, 순서 4의 투사 평면은 사례 2에 해당하는 매개변수를 가지고 있으며, 사례 2의 매개변수를 가진 다른 알려진 유일한 대칭 2 설계는 순서 9의 바이플레이지만, 이들 중 어느 것도 확장할 수 없으며, 사례 3의 매개변수를 가진 알려진 대칭 2 설계는 없다.^[25]null

역행 평면

아핀 평면의 확장 매개변수를 갖는 설계, 즉 3-(n² + 1, n + 1, 1) 설계는 순서가 n인 유한 역행 평면 또는 뫼비우스 평면이라고 한다.

모든 알려진 역행면의 일부 역행면의 기하학적 묘사가 가능하다.PG(3,q)의 난형(ovoid)은 q² + 1 점으로 이루어진 집합으로, 세 개의 콜린어가 없다.PG(3,q)의 모든 평면(기하학적 치수가 3이므로 하이퍼 평면)이 1 또는 q + 1 포인트에서 난형 O를 충족한다는 것을 보여줄 수 있다.O의 크기 q + 1의 평면 섹션은 순서 q의 역행 면의 블록이다.이런 식으로 발생하는 어떤 역행 비행기라도 계란형이라고 불린다.알려진 모든 역행 비행기들은 달걀과 같다.null

난형의 예로는 2차 형태의 0 집합인 타원형 사분면이 있다.

x₁x₂ + f(x₃, x₄),

여기서 f는 GF(q)에 대한 두 변수에 있는 unreduccessible 이차형이다. [f(x,y²) = x + xy + y²:]null

q가 2의 홀수 힘인 경우, 다른 유형의 난형인 스즈키-가 알려져 있다.가슴의 난형.null

정리.Let q be a positive integer, at least 2. (a) If q is odd, then any ovoid is projectively equivalent to the elliptic quadric in a projective geometry PG(3,q); so q is a prime power and there is a unique egglike inversive plane of order q. (But it is unknown if non-egglike ones exist.) (b) if q is even, then q is a power of 2 and any inversive plq 순서의 ae는 달걀과 같다. (그러나 알 수 없는 오보이드도 있을 수 있다.)null

부분 균형 설계(PBIBD)

n-class 연결 체계는 크기 v의 집합 X와 X x의 파티션 S를 n + 1 이진 관계, R₀, R, ..., R으로_1n 구성한다. 관계 R에_i 있는 한 쌍의 요소는 ith-associates라고 한다.X의 각 요소에는 n개의_i 연관성이 있다.게다가:

• ${\displaystyle {}_{}}$R ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }${ (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle R_{0}=\{(x,x):x\$in X$\}}}.$
• $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle :=}${${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) (${\displaystyle }$y${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle R^{*}:=\{(x,y)$ ($y,x)\in R$ 만약 R이 S에 있으면 R*에 정의한다.
• If ${\displaystyle (x,y)\in R_{k}}$, the number of ${\displaystyle z\in X}$ such that ${\displaystyle (x,z)\in R_{i}}$ and ${\displaystyle (z,y)\in R_{j}}$ is a constant ${\displaystyle p_{ij}^{k}}$ depending on i, j, k but not on the partix와 y의 cular 선택.

연결 체계는 모든 i, j, ${\displaystyle k_{}^{}}$에 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}{}_{}^{}}$= p ji$$k {\$displaystyle p_{ij}^{k}=p_{ji$}^{k$}}}}}}$에 대해 합치된다.대부분의 저자들은 이 속성을 가정한다.null

n 연관 클래스(PBIBD(n))와 부분적으로 균형을 이룬 불완전한 블록 설계는 각 크기 k의 b 블록과 각 요소가 r 블록에 나타나는 v-set X에 기반한 블록 설계로, X에 정의된 n 클래스와의 연관 체계가 있고, 여기서 요소 x와 y가 연관되어 있는 경우 1 i i n n이 preci에 함께 있다.셀리 λ블록_inull

PBIBD(n)는 연결 체계를 결정하지만 그 반대는 거짓이다.^[26]null

예

A(3)가 설정된 X = {1,2,3,4,5,6}에 있는 세 개의 연관 클래스와 다음과 같은 연결 체계가 되도록 한다.(i,j) 항목은 요소 i와 j가 R 관계에_s 있는 경우 s이다.

	1	2	3	4	5	6
1	0	1	1	2	3	3
2	1	0	1	3	2	3
3	1	1	0	3	3	2
4	2	3	3	0	1	1
5	3	2	3	1	0	1
6	3	3	2	1	1	0

A(3)에 기초한 PBIBD(3)의 블록은 다음과 같다.

124	134	235	456
125	136	236	456

이 PBIBD(3)의 매개변수는 v = 6, b = 8, k = 3, r = 4, = = λ₁₂ = 2 및 λ₃₁ = 1이다. 또한 연결 체계의 경우 n₀ = n₂ = 1 및 n₃ = 2가 있다.^[27]발생 행렬 M은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&1\\0&1&0&0&1&0&1&1\\0&0&0&1&0&1&1&1\\\end{pmatrix}}}$

그리고 동시 행렬 MM은^T

${\displaystyle {\pmatrix}4&2&2&1&1\\2&2&1&1&1&1&1&1&2\\2&1&1&4\1&1&2&2\&1&2&2\&1&2&2\&1&2\&2\end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\nd}}}}}}}\2>$

여기서 λ과 r 값을 복구할 수 있다.null

특성.

PBIBD(m)의 매개변수는 다음을 만족한다.^[28]

1. $(\displaystyle vr=bk}$
2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}n_{i}=v-1}$
3. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}n_{i}\ioda _{i}=r(k-1)}$
4. ${\displaystyle \sum _{u=0}^{m}p_{ju}^{h}=n_{j}}}$
5. ${\displaystyle n_{i}p_{jh}^{i}=n_{j}p_{ih}^{j}}}}}}$

PBIBD(1)는 BBD와 PBIBD(2)이며, 여기서 λ₁ = λ은₂ BBD이다.^[29]null

보조 클래스 PBIBD 2개

PBIBD(2)는 PBIBD 중 가장 단순하고 유용하기 때문에 가장 많이 연구되었다.^[30]그들은 보세 & 시마모토(1952)가 당시 알려진 PBIBD(2)의 분류에 근거하여 6가지^[31] 유형으로 나뉜다.^[32]null

1. 그룹 분할.
2. 삼각형;
3. 라틴 사각형;
4. 주기적
5. 부분 지오메트리 유형.
6. 잡다한

적용들

블록 설계의 수학적 주제는 실험 설계의 통계적 틀에서 비롯되었다.이러한 설계는 분산 분석 기법의 적용에 특히 유용했다.이것은 블록 설계의 사용에 있어 중요한 영역으로 남아 있다.null

대상의 기원은 생물학적 응용(기존 용어 중 일부와 마찬가지로)에 근거하는 반면, 설계는 소프트웨어 시험과 같이 체계적인 비교가 이루어지고 있는 많은 응용 분야에 사용된다.null

블록 설계의 발생 매트릭스는 코드 수정 오류로 사용되는 흥미로운 블록 코드의 자연적인 원천을 제공한다.발생 행렬의 행은 펄스 위치 변조 형태의 기호로도 사용된다.^[33]null

통계적용

피부암 연구자들이 세 가지 다른 자외선 차단제를 테스트하고 싶다고 가정해보자.그들은 시험하는 사람의 손 윗면에 두 개의 다른 자외선 차단제를 칠한다.자외선을 쬐고 나면 햇볕에 그을린 피부 자극을 기록한다.시술 횟수는 3회(일광), 블록 크기는 2회(일인당 손)이다.null

해당 BIBD는 R-package agricolae의 R-function design.bib에 의해 생성될 수 있으며, 다음 표에 명시되어 있다.

플롯	블록	치료
101	1	3
102	1	2
201	2	1
202	2	3
301	3	2
302	3	1

조사자는 R-함수에 삽입되는 블록 설계에 대해 매개변수 v = 3, k = 2 및 λ = 1을 선택한다.이후 나머지 파라미터 b와 r이 자동으로 결정된다.null

우리는 기본적인 관계를 이용하여 균형 잡힌 불완전한 블록 설계를 얻기 위해서는 b = 3 블록, 즉 3명의 테스트 인력이 필요하다고 계산한다.블럭 A, B, C에 라벨을 붙여서 혼동을 방지하고 블록 설계를 한다.

A = {2, 3}, B = {1, 3}, C = {1, 2}.

해당 발생 행렬은 다음 표에 명시되어 있다.

치료	A블록	블락비	블록 C
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	0

각 치료는 2블록에서 발생하므로 r = 2

한 블럭(C)만 시술 1과 2를 동시에 포함하며 시술 쌍(1,3)과 (2,3)에도 동일하게 적용된다.따라서 λ = 1이다.

이 예에서는 시험할 선크림이 3개 있지만 한 사람당 두 손으로만 하기 때문에 완전한 설계(각 블록의 모든 치료법)를 사용할 수 없다.null

참고 항목

• 입사 기하학
• 스타이너 시스템

메모들

참조

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외부 링크

• 디자인이론.조직: 조합, 통계 및 실험 블록 설계 데이터베이스.런던 대학교 퀸 메리 칼리지의 수학 과학 학교가 주최하는 소프트웨어 및 기타 자원.
• 설계 이론 리소스:피터 카메론의 웹 기반 설계 이론 자료 페이지.
• Weisstein, Eric W. "Block Designs". MathWorld.