그룹의 예

수학에서 그룹의 몇 가지 기본적인 예는 그룹(수학)에 제시되어 있다. 여기에 더 많은 예가 열거되어 있다.

세 요소 집합의 순열

S에₃ 대한 주기 그래프. 루프는 ID 요소(e)에 연결된 모든 요소의 일련의 힘을 지정한다. 예를 들어, e-ba-ab 루프에는 ba² = ab 및 ba³ = e라는 사실과² ab = ba 및 ab³ = e라는 사실이 반영된다. 다른² "루프"는 예를 들어 a = e와 같은 통합의 뿌리다.

처음에 RGB 순서로 배치된 세 가지 색상 블록(빨간색, 녹색 및 파란색)을 고려하십시오. a는 "첫 번째 블록과 두 번째 블록을 스왑"하는 작업이 되고, b는 "두 번째 블록과 세 번째 블록을 스왑"하는 작업이 된다.

우리는 "첫 번째 두 블록을 y로, 그 다음 x로" 작전에 xy를 쓸 수 있다. 따라서 ab은 "첫 번째 두 블록을 오른쪽으로 한 위치 이동시키고 세 번째 블록을 첫 번째 위치로"라고 설명할 수 있는 RGB → RBG → BRG 작전이다. "블록은 그대로 두라"(ID 연산)는 e를 쓰면 다음과 같이 3블록의 6행렬을 쓸 수 있다.

e : RGB → RGB
a : RGB → GRB
b : RGB → RBG
ab : RGB → BRG
ba : RGB → GBR
aba : RGB → BGR

유의할 점은 aa는 RGB → GRB → RGB의 효과를 가지고 있기 때문에 우리는 aa = e를 쓸 수 있다는 것이다. 마찬가지로, bb = (aba)(aba) = e; (ab)(ba) = (ba)(ab) = e; 따라서 모든 원소는 역성을 가진다.

검사로 연관성과 폐쇄성을 판단할 수 있다. 특히 (ba)b = bab = b(ab)라는 점에 유의한다.

기본 연산 a와 b로 구축되기 때문에 {a, b} 세트가 이 그룹을 생성한다고 한다. 대칭군 S로₃ 불리는 그룹은 순서 6을 가지며, 비아벨리안(예를 들어, ab ≠ ba)이다.

평면의 번역 그룹

평면의 번역은 일정한 방향에서 일정한 거리를 두고 평면의 모든 점을 경직되게 움직이는 것이다. 예를 들어 "2마일을 북동쪽으로 이동"하는 것은 비행기를 번역한 것이다. a와 b와 같은 두 개의 번역을 구성하여 다음과 같이 새로운 번역 a form b를 구성할 수 있다: 먼저 b의 처방을 따르고, 그 다음에 a의 처방을 따른다. 예를 들어, 다음과 같다.

a = "북동쪽으로 3마일 이동"

그리고

b = "4마일 동안 남동쪽으로 이동"

그때

a ∘ b = "5마일 동안 8.13° 베어링으로 이동" (베어링은 시계 반대 방향과 동쪽에서 측정)

또는, 만약

a = "3마일 동안 36.87° 베어링으로 이동" (베어링은 시계 반대 방향과 동쪽에서 측정)

그리고

b = "4마일 동안 306.87° 베어링으로 이동" (베어링은 시계 반대 방향과 동쪽에서 측정됨)

그때

a ∘ b = "5마일 동쪽으로 이동"

(왜 이것이 기하학적으로 그렇게 되는지는 피타고라스의 정리를 참조하라.)

연산이 그룹을 형성할 때 구성으로 평면의 모든 변환 집합:

a와 b가 번역이라면 ∘ b도 번역이다.
번역의 구성은 연관성이 있다: (a ∘ b) ∘ c = ∘ (b ∘ c)
이 그룹의 정체성 요소는 "어떤 방향으로든 0마일을 이동하라"는 처방이 있는 번역이다.
번역의 역행은 같은 거리를 반대 방향으로 걸음으로써 주어진다.

이것은 아벨 그룹이며, 우리의 첫 번째 (논디케이트) 리 그룹의 예: 또한 다양체인 그룹이다.

정사각형의 대칭군: 순서의 분음군 8

Dih의₄ 사이클 그래프
a는 시계방향 회전이다.
그리고 b 수평 반사.

Dih를₄ 2D 포인트 그룹, D₄, [4], (*4•), 4배 회전 및 미러 발생기로 주문 4.	3D 다이헤드 그룹 D의₄ Dih₄, [4,2],⁺ (422), 순서 4, 수직 4배 회전 발전기 순서 4, 2배 수평 발전기

디아이의₄ 케이리 그래프

수평반사 b와 대각선반사 c에 의해 생성된 Dih의₄ 다른 Cayley 그래프

집단은 기하학적(사면체처럼)이나 대수학(정식의 집합처럼) 등 물체의 대칭을 설명하는 데 매우 중요하다. 예를 들면, 우리는 일정한 두께의 유리 정사각형(글자 "F"가 쓰여진, 단지 다른 위치를 구별할 수 있게 하기 위해서)을 고려한다.

그것의 대칭을 설명하기 위해서, 우리는 가시적인 차이를 만들지 않는 광장의 모든 경직된 움직임의 집합을 형성한다("F" 제외). 예를 들어 시계 방향으로 90° 회전한 물체가 여전히 동일하게 보이면 이동은 세트의 한 요소(예: a)가 된다. 우리는 또한 그것을 수평으로 뒤집어서 그것의 밑부분이 윗면이 되도록 할 수 있고, 반면에 왼쪽 가장자리는 오른쪽 가장자리가 될 수 있다. 다시 한번 이 동작을 하고 나면 유리 사각형이 똑같아 보이기 때문에 이것도 우리 세트의 한 요소고 우리는 b라고 부른다. 아무 일도 하지 않는 운동은 e로 나타낸다.

이러한 두 개의 움직임 x와 y를 고려할 때, 위와 같이 구성 x y y를 정의할 수 있다: 먼저 움직임 y를 수행한 다음 움직임 x를 수행한다. 그 결과 슬라브는 예전처럼 보이게 될 것이다.

요점은 그 모든 움직임의 집합이 작전으로써 하나의 그룹을 형성한다는 것이다. 이 집단은 광장의 대칭을 가장 간결하게 묘사하고 있다. 화학자들은 결정과 분자의 대칭을 설명하기 위해 이 유형의 대칭 그룹을 사용한다.

그룹 생성 중

우리 사각형의 대칭성을 좀 더 조사해 봅시다. 지금은 원소 a, b, e가 있지만 쉽게 더 형성할 수 있다. 예를 들어 a로 표기된 180² a는 180° 회전이다. a는³ 시계방향으로 270° 회전(또는 시계 반대방향으로 90° 또한²⁴ b = e 및 a = e도 볼 수 있다. 여기 흥미로운 것이 있다: ∘ b는 무엇을 하는가? 먼저 수평으로 뒤집은 다음 회전한다. ∘ b = b ∘ a를³ 시각적으로 생각해 보십시오. 또한² ∘ b는 수직 플립이며 b ∘ a와² 같다.

우리는 요소 a와 b가 그룹을 생성한다고 말한다.

8번 주문 그룹의 Cayley 표는 다음과 같다.

∘	e	b	a	a의²	a의³	AB	a²b	a³b
e	e	b	a	a의²	a의³	AB	a²b	a³b
b	b	e	a³b	a²b	AB	a의³	a의²	a
a	a	AB	a의²	a의³	e	a²b	a³b	b
a의²	a의²	a²b	a의³	e	a	a³b	b	AB
a의³	a의³	a³b	e	a	a의²	b	AB	a²b
AB	AB	a	b	a³b	a²b	e	a의³	a의²
a²b	a²b	a의²	AB	b	a³b	a	e	a의³
a³b	a³b	a의³	a²b	AB	b	a의²	a	e

그룹 내 어떤 두 요소에 대해 표는 그 구성 요소가 무엇인지 기록한다. 여기서 우리는 ∘ b의³ 속기로 "ab³"을 썼다.

수학에서 이 그룹은 순서 8의 다이헤드 그룹으로 알려져 있으며, 관례에 따라 Dih₄, D₄ 또는₈ D로 표기된다. 이것은 비-아벨라 그룹의 예였다: 여기의 ∘작전은 표에서 볼 수 있는 상호작용이 아니며, 표는 주 대각선을 중심으로 대칭적이지 않다.

순서 8의 이형 그룹은 (1234)와 (13)에 의해 생성된 순열 그룹에 이형성이다. 이 표의 숫자는 Dih가₄ 부분군인 S의₄ 4! = 24행의 숫자를 0(검은 원이라고 표시)에서 23까지 곱한 것에서 나온다.

정규 부분군

이 버전의 Cayley 표는 이 그룹이 빨간색 배경으로 표시된 하나의 정상적인 하위 그룹을 가지고 있음을 보여준다. 이 표에서 r은 회전을 의미하고 f는 플립을 의미한다. 부분군이 정상이기 때문에 왼쪽 코셋은 오른쪽 코셋과 동일하다.

D그룹표₄

	e	r₁	r₂	r₃	f_v	f_h	f_d	f_c
e	e	r₁	r₂	r₃	f_v	f_h	f_d	f_c
r₁	r₁	r₂	r₃	e	f_c	f_d	f_v	f_h
r₂	r₂	r₃	e	r₁	f_h	f_v	f_c	f_d
r₃	r₃	e	r₁	r₂	f_d	f_c	f_h	f_v
f_v	f_v	f_d	f_h	f_c	e	r₂	r₁	r₃
f_h	f_h	f_c	f_v	f_d	r₂	e	r₃	r₁
f_d	f_d	f_h	f_c	f_v	r₃	r₁	e	r₂
f_c	f_c	f_v	f_d	f_h	r₁	r₃	r₂	e
e, r₁, r₂ 및 r₃ 원소가 부분군을 형성하며, 다음에서 강조 표시됨 빨간색(왼쪽 부분) 이 부분군의 왼쪽 및 오른쪽 코세트는 각각 녹색(마지막 행)과 노란색(마지막 열)으로 강조 표시된다.

발전기 두 개에 대한 자유 그룹

두 개의 발전기 a와 b를 가진 자유 그룹은 a 바로⁻¹ 옆에 a가 나타나지 않고 b 바로⁻¹ 옆에 b가 나타나지 않도록 a, a⁻¹, b, b 4개의 기호에서⁻¹ 형성될 수 있는 모든 유한 문자열/단어로 구성된다. 그러한 두 개의 문자열은 "포기된" 서브 문자열을 빈 문자열로 반복적으로 교체하여 이러한 유형의 문자열로 결합하여 변환할 수 있다. 예를 들어, "아바바⁻¹"와 결합된 "아바바바⁻¹⁻¹"는 "아바바바바⁻¹⁻¹⁻¹"를 산출하고, "아바바바⁻¹"로 감소한다. 이 연산을 가진 문자열 집합이 빈 문자열 ε := ""를 ID 요소로 하는 그룹을 형성하는지 확인할 수 있다(보통 인용 부호는 생략한다, 이것이 기호 ε이 필요한 이유다).

이것은 또 다른 무한한 비아벨라 그룹이다.

자유 집단은 대수적 위상에서 중요하다; 두 개의 발전기의 자유 집단은 바나흐-타르스키 역설을 증명하는 데도 사용된다.

지도 세트

집합에서 그룹으로 지도 집합

G는 그룹이 되고 S는 한 세트로 하자. 지도 M(S, G)의 집합은 그 자체로 그룹이다. 즉, 두 지도 f의 경우, S의 모든 x에 대해 (fg)(x) = f(x) = f⁻¹(x)의 지도가⁻¹ 되는 fg를 지도로 정의한다.⁻¹

M(S, G)에서 지도 f, g, h를 취한다. S의 모든 x에 대해 f(x)와 g(x)는 모두 G에 있고, (fg)(x)도 마찬가지다. 따라서 fg는 M(S, G)에도 있다. 즉, M(S, G)은 닫힌다. M(S, G)은 (fg)h(x) = (fg)(x)h(x) = (fg)(x) = (f)g(x)h(x) = f(x)(x) = f(x) = (f(gh) = (x))이기 때문에 연관성이 있다. 그리고 i(x) = e가 G의 ID 요소인 지도 i가 있다. 지도 i는 M(S, G)의 모든 f에 대해 fi = if = f, 즉, i는 M(S, G)의 ID 요소인 것이다. 따라서 M(S, G)은 사실상 집단이다.

G가 아벨리안이라면 (fg)(x) = f(x)g(x) = g(x)f(x) = (gf)(x) = (gf)(x))이므로 M(S, G)도 마찬가지다.

자동형성군

순열 그룹

G를 자신에게 S 집합의 주관적 매핑의 집합이 되게 하라. 그 후 G는 일반적인 매핑 구성으로 그룹을 형성한다. 이 그룹을 대칭 그룹이라고 하며, 일반적으로 $\operatorname {Sym} (S)$ $\operatorname {Sym} (S)$ ( $\operatorname {Sym} (S)$ ) ${\displaystyle \operatorname {Sym} (S)},$ σ_S 또는 ${\mathfrak {S}}_{S}$ ${\$ 라고 표기한다 ${\mathfrak {S}}_{S}$ G의 ID 요소는 S의 ID 맵이다. 두 지도 f에 대해 G의 g는 비주사적이며, fg 또한 비주사적이다. 따라서 G는 닫혀 있다. 지도 구성은 연관성이 있다. 따라서 G는 집단이다. S는 유한하거나 무한할 수 있다.

행렬 그룹

n이 어떤 양의 정수라면, 실제 숫자 구성요소를 가진 n 행렬을 기준으로 모든 반전 가능한 n의 집합을 고려할 수 있다. 이것은 매트릭스 곱셈을 연산으로 하는 그룹이다. 일반 선형군이라고 하며, GL_n(R) 또는 GL(n, R)을 나타낸다(여기서 R은 실수의 집합이다). 기하학적으로 주어진 점(원점)을 고정하는 n차원 유클리드 공간의 회전, 반사, 팽창, 꼬치 변환의 모든 조합을 담고 있다.

만약 우리가 결정인자 1을 가진 행렬로 우리 자신을 제한한다면, 우리는 또 다른 그룹, 특별한 선형 그룹, SL_n(R) 또는 SL(n, R)을 얻게 된다. 기하학적으로 이것은 유클리드 공간에 있는 다양한 기하학적 고형물의 방향과 부피를 모두 보존하는 GL_n(R)의 모든 원소로 구성되어 있다.

대신 직교 행렬로 제한하면 직교 그룹 O_n(R) 또는 O(n, R)를 얻게 된다. 기하학적으로 이것은 원점을 고정하는 회전과 반사의 모든 조합으로 구성된다. 이것들이 바로 길이와 각도를 보존하는 변형이다.

마지막으로 두 가지 제약을 모두 부과하면 회전만으로 구성된 특수직교그룹 SO_n(R) 또는 SO(n, R)가 나온다.

이 그룹들은 우리의 무한한 비-아벨라 그룹들의 첫 번째 예들이다. 그들은 또한 Lie 그룹이다. 사실 중요한 거짓말 그룹(전부는 아니지만)의 대부분은 매트릭스 그룹으로 표현할 수 있다.

만약 이 아이디어가 복잡한 숫자들을 항목으로 하는 행렬에 일반화된다면, 우리는 유니터리 그룹 U(n)와 같은 더 유용한 Lie 그룹을 얻는다. 쿼터니온이 있는 행렬도 항목으로 고려할 수 있다. 이 경우 결정요인에 대한 명확한 개념은 없지만(따라서 쿼터니온 "볼륨"을 정의하는 좋은 방법은 없음) 직교 그룹인 Sp(n)와 유사한 그룹을 정의할 수 있다.

게다가, 그 생각은 어떤 분야에 걸쳐 행렬로 순수하게 대수학적으로 취급될 수 있지만, 그렇다면 그 집단은 거짓말 집단이 아니다.

예를 들어, 우리는 유한한 분야에 걸쳐 일반적인 선형 그룹을 가지고 있다. 집단 이론가 J. L. 알페린은 "유한 집단의 대표적인 예는 q 원소가 있는 필드 위에 n차원의 일반 선형 집단인 GL(n, q)이다. 다른 예시와 함께 주제를 소개받는 학생은 완전히 현혹되고 있다고 말했다.^[1]

참고 항목

참조

^ Alperin, Jonathan L. (1984). "Book Review: Finite groups". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 10: 121–124. doi:10.1090/S0273-0979-1984-15210-8.

[1] Alperin, Jonathan L. (1984). "Book Review: Finite groups". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 10: 121–124. doi:10.1090/S0273-0979-1984-15210-8.

[1]

Search