선형군

Linear group

수학에서 매트릭스 그룹은 매트릭스 곱셈의 연산을 가지고, 지정된 필드 K에 걸쳐서 불변성 매트릭스로 구성된 그룹 G이다. 선형 그룹은 행렬 그룹에 이형적인 그룹이다(즉, K보다 충실하고 유한한 차원 표현을 인정함).

케이리의 정리를 이용하여 순열 매트릭스에 의해 실현될 수 있기 때문에 어떤 유한 집단은 선형이다. 무한대 그룹들 중에서, 선형 그룹은 흥미롭고 다루기 쉬운 클래스를 형성한다. 선형이 아닌 그룹의 예로는 "너무 큰" 그룹(예: 무한 집합의 순열 그룹) 또는 일부 병리학적 동작을 보이는 그룹(예: 미세하게 생성된 무한 비틀림 그룹)이 포함된다.

정의 및 기본 예

G 그룹은 G에서 G까지의 필드 K, 정수 d 및 주입 동형성이 있는 경우 선형이라고 하며, G에서 일반 선형 그룹 GLd (K에 대한 차원 d의 충실한 선형 표현): 필요한 경우 G는 K에 대한 도 d의 선형이라고 말해 필드 및 차원을 언급할 수 있다. 기본 인스턴스(instance)는 다음과 같이 선형 그룹의 하위 그룹으로 정의되는 그룹이다.

  1. 그룹 GLn(K) 자체;
  2. 특수 선형 그룹 SLn(K) (결정 인자 1이 있는 행렬의 부분군);
  3. 변위할 수 없는 위쪽(또는 아래쪽) 삼각 행렬의 그룹
  4. g가i 집합 I에 의해 색인화된 GLn(K)의 원소 집합인 경우, g에i 의해 생성된 부분군은 선형 그룹이다.

리 그룹에 대한 연구에서는 복잡한 숫자의 분야에 걸쳐 충실하게 표현될 수 있는 리 그룹에 주의를 제한하는 것이 교육학적으로 편리한 경우도 있다.(일부 저자는 그룹을 GLn(C)의 폐쇄적인 하위 그룹으로 표현하도록 요구한다.) 이 접근법을 따르는 책에는 홀(2015년)[1]과 로스만(2002년)이 있다.[2]

선형 그룹 클래스

고전 그룹 및 관련 예

이른바 고전파 그룹들은 위의 예 1과 2를 일반화한다. 그것들은 선형 대수 그룹, 즉 유한한 수의 방정식에 의해 정의된n GL의 부분군으로 발생한다. 기본적인 예로는 직교, 단일 및 동시적 그룹이 있지만, 분할 알헤브라를 사용하여 더 많은 것을 구성할 수 있다(예를 들어, 쿼터니언 대수학의 단위 그룹은 고전적 그룹이다). 이러한 그룹과 연관된 투영 그룹도 선형이기는 하지만 분명하지는 않다는 점에 유의하십시오. 예를 들어, 그룹 PSL2(R)은 2×2 행렬의 집단이 아니라 3×3 행렬(부선 표현)으로 충실한 표현을 가지고 있어 일반적인 경우에 사용할 수 있다.

많은 거짓말 그룹들이 선형이지만, 그들 모두가 그런 것은 아니다. SL2(R)의 범용 커버는 많은 해결 가능한 그룹과 마찬가지로 선형이 아니며, 예를 들어 중심 주기 하위 그룹에 의한 하이젠베르크 그룹의 몫이다.

고전적인 Lie 그룹의 이산형 부분군(예: 격자 또는 얇은 그룹)도 흥미로운 선형 그룹의 예다.

유한군

순서 n의 유한군 G는 어떤 필드 K에 대해 최대 n 도 선이다. 이 진술은 때때로 케이리의 정리라고 불리며, 단순히 왼쪽(또는 오른쪽) 곱셈에 의한 그룹 링 K[G]에 대한 G의 작용이 선형적이고 충실하다는 사실에서 비롯된다. 유한한 Lie형(유한 분야에 걸친 고전적 집단)의 유한한 집단은 유한한 단순집단의 분류에서 대부분의 슬롯을 차지하기 때문에 유한한 단순집단의 중요한 집단이 된다.

미세하게 생성된 행렬 그룹

위의 사례 4는 특유한 클래스(모든 선형 그룹 포함)를 정의하기에는 너무 일반적이지만, 유한 지수 집합 I, 즉, 정밀하게 생성된 그룹으로 제한하면 많은 흥미로운 예를 구성할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

  • The ping-pong lemma can be used to construct many examples of linear groups which are free groups (for instance the group generated by is free).
  • 산술 집단은 정밀하게 생성되는 것으로 알려져 있다. 반면 주어진 산술집단에 대한 명시적인 발전기 집합을 찾는 것은 어려운 문제다.
  • 브레이드 그룹(정밀하게 제시된 그룹으로 정의됨)은 생성자가 명시적 행렬에 의해 작용하는 유한 차원 복합 벡터 공간에 충실한 선형 표현을 가지고 있다.[3]

지오메트리 예제

어떤 경우에는 기하학적 구조에서 나온 표현을 사용하여 다지관의 기본 그룹이 선형임을 나타낼 수 있다. 예를 들어, 적어도 2개의 속은 쌍곡 리만 표면이다. 획일화 정리를 통해 이것은 PSL2(R)에 이형화된 쌍곡면의 등축계 그룹에서 그것의 기본 집단의 표현을 발생시키고 이것은 푸치안 집단으로서의 기본 집단을 실현한다. 이 구조의 일반화는 다지관의 (G,X) 구조 개념에 의해 주어진다.

또 다른 예는 세이퍼트 다지관의 기본 집단이다. 반면 3마니폴드의 모든 기본 집단이 선형인지는 알려져 있지 않다.[4]

특성.

선형 그룹은 방대한 종류의 예인 반면, 모든 무한 그룹들 중에서 그것들은 많은 주목할 만한 특성에 의해 구별된다. 정밀하게 생성된 선형 그룹에는 다음과 같은 속성이 있다.

Tits 대안은 선형 그룹이 비아벨리안 자유 그룹을 포함하거나 또는 그 밖의 것이 사실상 해결 가능하다고 명시한다(즉, 유한 지수의 해결 가능한 그룹을 포함). 이것은 많은 추가적인 결과를 낳는데, 예를 들면 다음과 같다.

비선형 그룹의 예

무한히 생성된 비선형 집단의 예를 들어 무한 아벨 그룹(Z/2Z)N x (Z/3Z)N[8]은 선형일 수 없다. 무한 집합의 대칭 그룹은 이 그룹을 포함하기 때문에 또한 선형이 아니다. 정밀하게 생성된 예시를 찾는 것은 더 미묘하며 일반적으로 위에 나열된 속성 중 하나를 사용해야 한다.

표현 이론

일단 그룹이 선형화되면, 가능한 가장 낮은 차원의 예를 들어 그룹에 대해 "최적" 충실한 선형 표현을 찾거나 심지어 모든 선형 표현(충실하지 않은 표현 포함)을 시도하고 분류하는 것이 흥미롭다. 이 질문들은 대표 이론의 대상이다. 그 이론의 중요한 부분은 다음과 같다.

무한정 미세하게 생성된 집단의 대표이론은 일반적으로 신비하다; 이 경우에 관심의 대상은 집단의 성격 다양성으로, 예를 들어 자유집단, 표면집단, 그리고 더 일반적으로 Lie 집단(예를 들어 마굴리스의 초강성 이론을 통해)에서만 잘 이해된다.전자 및 기타 경직성 결과).

메모들

  1. ^ 홀(2015년)
  2. ^ 로스만(2002)
  3. ^ Stephen J. Bigelow (December 13, 2000), "Braid groups are linear" (PDF), Journal of the American Mathematical Society, 14 (2): 471–486, doi:10.1090/S0894-0347-00-00361-1, S2CID 18936096
  4. ^ Aschenbrenner, Matthias; Friedl, Stefan; Wilton, Henry (2015). 3–manifolds groups. EMS Series of Lectures in Mathematics. European Math. Soc. Section 9.6.
  5. ^ 웨어프리츠 1973, 페이지 15.
  6. ^ Wehfritz 1973, 페이지 57.
  7. ^ Alperin, Roger C. (1987). "An Elementary Account Of Selberg's Lemma". L'Enseignement Mathématique. 33.
  8. ^ 이것은 베흐프리츠(1973년, 정리 2.2)에서 따온 것이다.
  9. ^ Bestvina, Mladen (2004). "Questions in Geometric Group Theory" (PDF). Question 1.15. Retrieved 17 August 2016.
  10. ^ Formanek, E.; Procesi, C. (1992). "The automorphism group of a free group is not linear". J. Algebra. 149 (2): 494–499. doi:10.1016/0021-8693(92)90029-l.

참조

  • Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
  • Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups: An Introduction through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 9780198596837.
  • Suprnenko, D.A. (1976). Matrix groups. Translations of mathematical monographs. 45. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1595-4.
  • Wehrfritz, B.A.F. (1973). Infinite linear groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 76. Springer-Verlag.