수학적 분석에서 독일 수학자 피터 구스타프 르주네 디리클레 의 이름을 딴 디리클레 커널 은 다음과 같이 정의된 함수의 집합이다.
D n ( x ) = 1 2 π ∑ k = − n n e i k x = 1 2 π ( 1 + 2 ∑ k = 1 n cas ( k x ) ) = 죄를 짓다 ( ( n + 1 / 2 ) x ) 2 π 죄를 짓다 ( x / 2 ) , {\displaystyle D_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\right)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{2\pi \sin(x/2)}},} 여기서 n 은 음 이 아닌 정수 다. 커널 함수는 주기 2 π {\displaystyle 2\pi } .
디라크 델타 분포에 대한 수렴을 보여주는 처음 몇 개의 디리클레 커널의 플롯.디리클레 커널의 중요성은 푸리에 시리즈 와의 관계에서 비롯된다. 기간 2π의 함수 f 를 가진 Dn (x )콘볼루션 은 f 에 대한 n번째 도 푸리에 시리즈 근사값이다. 즉, 우리는 다음과 같다.
( D n ∗ f ) ( x ) = ∫ − π π f ( y ) D n ( x − y ) d y = ∑ k = − n n f ^ ( k ) e i k x , {\displaystyle (D_{n}*f)(x)=\int _{-\pi }^{-f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\f}(k)e^{ikx}}}}}} , where f ^ ( k ) = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i k x d x {\displaystyle {\widehat{f}(k)={\frac {1}{2\pi }\int_{-\pi }^{-\f(x)e^{-ikx}\,dx} f 의 k번째 이것은 푸리에 시리즈의 정합화를 연구하기 위해서는 디리클레 커널의 속성을 연구하기에 충분하다는 것을 암시한다.
커널 함수의 L규범 1 특히 중요한 것은 0 , 2 π ] {\displaystyle [0,2\pi ]} D 의n L규범이 1 n ∞ 으로 무한대로 분산된다는 라고 추정할 수 있다.
‖ D n ‖ L 1 = Ω ( 통나무를 하다 n ) . {\displaystyle \ D_{n}\{L^{1}=\Oomega(\logn). }
리만섬의 주장을 이용하여 Dn {\ displaystyle D_{n}}
‖ D n ‖ L 1 ≥ 4 SI ( π ) + 8 π 통나무를 하다 n . {\displaystyle \ D_{n}\{L^{1}\geq 4\operatorname {Si}(\pi )+{\frac {8}{\pi }\log n.}
이러한 균일한 통합성의 결여는 푸리에 시리즈에 대한 많은 분기현상의 배후에 있다. 예를 들어, 균일한 경계성 원리와 함께 , 연속함수 의 푸리에 시리즈가 다소 극적인 방식으로 포인트로 수렴하지 못할 수 있다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다. 자세한 내용은 Fourier 시리즈 정합화 를 참조하십시오.
‖ D n ‖ L 0 , 2 π ] Ω ( 로그 {\displaystyle D_{n}\{L^{1}[0,2\pi ]}=\Oomega(\log n)}
∫ 0 2 π D n ( x ) d x ≥ ∫ 0 π 죄를 짓다 [ ( 2 n + 1 ) x ] x d x ≥ ∑ k = 0 2 n ∫ k π ( k + 1 ) π 죄를 짓다 ( s ) s d s ≥ ∑ k = 0 2 n ∫ 0 π 죄를 짓다 ( s ) ( k + 1 ) π d s = 2 π H 2 n + 1 ≥ 2 π 통나무를 하다 ( 2 n + 1 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi } D_{n}(x) \,dx&\geq \int _{0}^{\pi }{\frac { \sin[(2n+1)x] }{x}}\,dx\\[5pt]&\geq \sum _{k=0}^{2n}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac { \sin(s) }{s}}\,ds\\[5pt]&\geq \left \sum _{k=0}^{2n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(s)}{(k+1)\pi }}\,ds\right \\[5pt]&={\frac {2}{\pi }}H_{2n+1}\\[5pt]&\geq {\frac {2}{\pi }} \log(2n+1),\end{aigned}}
여기 x ≤ sin ( x 2 {\ displaystyle 2/x\leq / \sin(x/ 여기 n displaystyle {n}} 번호로 지정 되었다.
델타 함수에 대한 관계 실제 변수의 함수가 아니라 "분포"라고도 하는 "일반화된 함수 "인 [clarification needed 주기적 인 Dirac 델타 함수 를 취하여 2π을 곱한다. 우리는 2주기의 기능에 대한 콘볼루션의 정체성 요소 를 얻는다. 다시 말해, 우리는
f ∗ ( 2 π δ ) = f {\displaystyle f*(2\pi \pi )=f} 주기 2의 모든 함수 f 이 "기능"의 푸리에 시리즈 표현은 2 π δ ( x ) ∼ ∑ k = − ∞ ∞ e i k x = ( 1 + 2 ∑ k = 1 ∞ cas ( k x ) ) . {\displaystyle 2\pi \cos(x)\sim \sum _{k=-\infit }^{k=1}=\좌측(1+2\sum _{k=1}^{k=}\infty \cos(kx)\right). }
따라서 이 시리즈의 일부분 합계의 순서에 불과한 디리클레 커널은 대략적인 정체성 추상적으로 말하면 그것은 아무리 긍정적 인 요소의 근사적인 정체성이 아니다(위에서 언급한 실패를 강조한다).
삼각측량정체성증명서 삼각측량정체성
∑ k = − n n e i k x = 죄를 짓다 ( ( n + 1 / 2 ) x ) 죄를 짓다 ( x / 2 ) {\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}} 이 글의 맨 위에 표시하면 다음과 같이 설정될 수 있다. 첫 번째 기억은 유한 기하계열 의 합이 ∑ k = 0 n a r k = a 1 − r n + 1 1 − r . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}:{1-r}}. }
특히, 우리는
∑ k = − n n r k = r − n ⋅ 1 − r 2 n + 1 1 − r . {\displaystyle \sum _{k=-n}^{n^{n}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}:{1-r}}. }
분자와 분모를 모두 r 1 {\ displaystyle ^{-1/2}} .
r − n − 1 / 2 r − 1 / 2 ⋅ 1 − r 2 n + 1 1 − r = r − n − 1 / 2 − r n + 1 / 2 r − 1 / 2 − r 1 / 2 . {\displaystyle{\r^{-n-1/2}}:{r^{-1/2}}:\cdot{\frac{1-r^{2n+1}:{1-r}}}={\r^{r^{r^{-n-1/2}}:{r^{r^{-1}/2}}. }
사례 r e x {\ displaystyle r=e^{ix}}
∑ k = − n n e i k x = e − ( n + 1 / 2 ) i x − e ( n + 1 / 2 ) i x e − i x / 2 − e i x / 2 = − 2 i 죄를 짓다 ( ( n + 1 / 2 ) x ) − 2 i 죄를 짓다 ( x / 2 ) = 죄를 짓다 ( ( n + 1 / 2 ) x ) 죄를 짓다 ( x / 2 ) {\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}} 필요에 따라
삼각측량정체성의 대체 시리즈로 시작
2 π f ( x ) = 1 + 2 ∑ k = 1 n cas ( k x ) . {\displaystyle 2\pi f(x)=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)}
양쪽 면에 sin ( x / 2 textstyle \sin(x/2)}
cas ( a ) 죄를 짓다 ( b ) = 죄를 짓다 ( a + b ) − 죄를 짓다 ( a − b ) 2 {\displaystyle \cos(a)\sin(b)={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}:} 합계의 조건을 줄이다
2 π 죄를 짓다 ( x / 2 ) f ( x ) = 죄를 짓다 ( x / 2 ) + ∑ k = 1 n 죄를 짓다 ( ( k + 1 2 ) x ) − 죄를 짓다 ( ( k − 1 2 ) x ) {\displaystyle 2\pi \sin(x/2)f=\sin(x)=\sin({k=1}^{n1}\sin(k+{\tfrac {1}{1}2}}x)-\sin(k-{\tfrac{1}{2}})x)} 그 결과까지 망원경이야
ID의 변종류 합계가 음이 아닌 정수(중심이 아닌 이산 푸리에 변환을 계산할 때 발생할 수 있음)를 초과하는 경우 유사한 기법을 사용하여 다음과 같은 정체성을 나타낼 수 있다.
∑ k = 0 N − 1 e i k x = e i ( N − 1 ) x / 2 죄를 짓다 ( N x / 2 ) 죄를 짓다 ( x / 2 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{i(N-1)x/2}{\frac {\sin(N\,x/2)}{\sin(x/2)}}}}}}
참고 항목 참조 앤드루 M. 브루크너, 주디스 B. 브루크너, 브라이언 S Thomson: 실제 분석 . ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN0-13-458886-X , S.620(구글 북스) 포드코리토프, A. N. (1988) "다각형에 관한 푸리에 합계의 디리클레 알맹이의 아셈토틱 행동" 소비에트 수학 저널 , 42(2): 1640–1646. 도이: 10.1007/BF01665052 레비, H. (1974년), "디리클레 커널의 기하학적 구조" 뉴욕 과학 아카데미의 거래 , 36: 640–643.doi: 10.111/j.2164-0947.1974.19tb03023.x "Dirichlet kernel" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press , 2001 [1994]플래닛매트릭스 의 디리클레-커널 [permanent dead link 
![[0,2\pi ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348d40bf3f8b7e1c00c4346440d7e2e4f0cc9b91)
양수인 0의 가장 큰 인접지에서의 기여와 나머지 부분에 대한 젠센의 불평등을 추정함으로써 다음과 같은 것을 나타낼 수도 있다. 
![{\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}[0,2\pi ]}=\Omega (\log n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7acb94498470c7756f499dbc2e6dff8a5b307f66)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }|D_{n}(x)|\,dx&\geq \int _{0}^{\pi }{\frac {|\sin[(2n+1)x]|}{x}}\,dx\\[5pt]&\geq \sum _{k=0}^{2n}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin(s)|}{s}}\,ds\\[5pt]&\geq \left|\sum _{k=0}^{2n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(s)}{(k+1)\pi }}\,ds\right|\\[5pt]&={\frac {2}{\pi }}H_{2n+1}\\[5pt]&\geq {\frac {2}{\pi }}\log(2n+1),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0249a3c8e24ce24ac59b1751d04e718cf4e3902)
1차 고조파 
(는) 
