페예르 알맹이

수학에서 페예르 커널은 푸리에 급수에 대한 체사로 합의 효과를 표현하는 데 사용되는 합의 커널입니다.음이 아닌 커널로 대략적인 아이덴티티를 생성합니다.이 이름은 헝가리의 수학자 리포트 페예르 (1880–1959)의 이름을 따서 지어졌습니다.

정의.

페예르 커널은 많은 동등한 정의를 가지고 있습니다.아래에서는 세 가지 정의를 간략히 설명합니다.

1) 전통적인 정의는 페예르 $F_{n}(x)$ $F_{n}(x)$ {\ $displaystyle$ F_ ${n}(x)}$ 를 디리클레 커널로 $F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)$ 합니다: $F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)$ = $F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)$ n ∑ $F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)$ = $F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)$ n - $F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)$ D $F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)$ ( $F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)$ {\ $displaystyle$ F_ ${n}(x$ ) {\ $frac {1}{n}}\sum$ _ ${k$ = $0}^{n-1}^{k}(x)}$

어디에

D_{k}(x)=\sum _{s=-k}^{k}{\rm {e}}^{isx}

는 k번째 순서의 디리클레 커널입니다.

2) 페예르 $F_{n}(x)$ $F_{n}(x)$ {\ $displaystyle$ F_ ${n}(x)}$ 은 $F_n(x)$ (는) 다음과 같이^[1] 닫힌 형태 식으로 쓸 수도 있습니다.

$F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin({({\frac {nx}{2}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\left({\frac {1-\cos(nx)}{1-\right)$

이 닫힌 양식 표현식은 위에서 사용된 정의에서 파생된 것일 수 있습니다.이 결과의 증명은 다음과 같습니다.

먼저 디리클레 커널은 다음과 같이 ^[2]쓸 수 있습니다.

D_{k}(x)={\frac {\sin(k+{\frac {1}{2}})}{\sin {\frac {x}}}}

따라서 위의 페예르 커널의 정의를 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin((k+{\frac {1}{2})x){\sin}\frac {x}{2}})}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin({\frac {x}{2}}}}\sum _{k=0}^{n-1}\sin((k+{\frac {1}{2})x)={\frac {1}{n}}{\sin ^{2}}}}\sum _{k=0}^{n-1}[\sin(k+{\frac {1}{2}x)\cdot \sin\frac {x}{2}}}

삼각형 항등식 $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$ : sin ⁡ ( $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$ ) ⋅ $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$ ⁡ ( $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$ ) = $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$ ( $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$ ⁡ ( $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$ - $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$ ) - $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$ ⁡ ( $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$ + $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$ ) $\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$ {\ $displaystyle \sin (\alpha$ )\ $cdot \sin$ (\ $cdot$ \sin ( ) = {\ $frac {1}{2}}(\cos (\alpha -\coda )-\cos$ (\ $alpha$ +\ $coda )}}$

{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{{\frac {x}}}}\sum _{k=0}^{n-1}[\sin((k+{\frac {1}{2}})x)\cdot \sin((k+{\frac {1}{x}{2})]={\frac {1}{2}{{\frac {2}}}}\sum _{k=0}^{n-1}[\cos(kx)-\cos(k+1)x]

따라서 다음과 같습니다.

{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sin ^{2}}}}{\frac {1-\cos(nx)}{2}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{n}}{\sin ^2}({\frac {x}{2}}}\sin ^{2}}}={\frac {1}{n}}{{\frac {nx}}}{\frac {nx}}}{\sin\frac {x}{2}}}}^{\frac {2}}}}.

3) 페예르 커널은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$F_{n}(x)=\sum _{k \leq n-1}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)e^{ikx}$

특성.

페예르 커널은 긍정적인 요약성 커널입니다.페예르 커널의 중요한 속성은 평균값이1 {\ $displaystyle$ 1 $1$ 인 $($ $F_{n}(x)\geq 0$ $F_{n}(x)\geq 0$ {\ $displaystyle$ F_ ${n$ }( $x)\geq$ 0 $}$ 입니다 $F_{n}(x)\geq 0$ .

컨벌루션

컨볼루션 F는 양수입니다. $2\pi$ $2\pi$ 의 ≥ $f\geq 0$ {\ $displaystyle$ f $\geq$ 0 $}$ 에 $f\geq 0$ ${\displaystyle$ 2 $\pi}$ 을(를) 충족합니다.

0\leq (f*F_{n})(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)F_{n}(x-y)\,dy.

f ∗ $f*D_{n}=S_{n}(f)=\sum _{|j|\leq n}{\widehat {f}}_{j}e^{ijx}$ n = $f*D_{n}=S_{n}(f)=\sum _{|j|\leq n}{\widehat {f}}_{j}e^{ijx}$ ( $f*D_{n}=S_{n}(f)=\sum _{|j|\leq n}{\widehat {f}}_{j}e^{ijx}$ f ) = ∑ $f*D_{n}=S_{n}(f)=\sum _{|j|\leq n}{\widehat {f}}_{j}e^{ijx}$ ≤ $f*D_{n}=S_{n}(f)=\sum _{|j|\leq n}{\widehat {f}}_{j}e^{ijx}$ $f*D_{n}=S_{n}(f)=\sum _{|j|\leq n}{\widehat {f}}_{j}e^{ijx}$ $f*D_{n}=S_{n}(f)=\sum _{|j|\leq n}{\widehat {f}}_{j}e^{ijx}$ $f*D_{n}=S_{n}(f)=\sum _{|j|\leq n}{\widehat {f}}_{j}e^{ijx}$ $f*D_{n}=S_{n}(f)=\sum _{|j|\leq n}{\widehat {f}}_{j}e^{ijx}$ x {\ $displaystyle f*D_$ {n}= $S_{$ n}(f)=\ $sum _{j$ \ $leq$ n $}{\widehat {f}_{j}e^{ijx$ 이므로, $f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)$ ∗ $f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)$ $f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)$ = $f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)$ $f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)$ ∑ $f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)$ = $f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)$ $f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)$ - $f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)$ $f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)$ k $f*F_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}S_{k}(f)$ ) {\ $displaystyle f*F_{n}$ = ${\frac$ { $1}{$ n}}\ $sum _{k$ = $0}^S_{k}(f$ 입니다.

영의 컨볼루션 부등식에 의해

\ F_{n}*f\_{L^{p}([-\pi,\pi])}\leq \f\{L^{p}([-\pi,\pi])}{{{}}}{\leq \infty{{}}f\in L^{p}

또한 f $f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])$ ∈ $f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])$ 1 $f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])$ ( $f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])$ [ - $f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])$ π, $f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])$ π $f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])$ ] ) $f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])$ {\ $displaystyle$ f $\in$ L $^{1}$ ([-\ $pi,\pi$ $f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])$ 인 $f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])$

f*F_{n}\오른쪽 화살표 f

예를 들면

$[-\pi ,\pi ]$ - $[-\pi ,\pi ]$ π, $[-\pi ,\pi ]$ π ] $[-\pi ,\pi ]$ {\ $displaystyle [-\pi,\pi$ ]}는 $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ 하므로 $[-\pi ,\pi ]$ $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ 1 $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ ( $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ [ - $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ π, $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ π $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ ] ) ⊃ $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ 2 $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ ( $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ [ - $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ π, $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ π $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ ] ) $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ ⊃ $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ ∞ ( $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ [ - $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ π, $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ π ] $L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset L^{2}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])$ ) {\ $displaystyle$ L $^{1}([-\pi,\pi ])\supset$ L $^{2}([-\pi,\pi$ ])\ $supset \cdots \supset$ L $^{\infty}([-\pi,\pi$ $L^{p}$ 의 다른 $L^{p}$ {\ $displaystyle$ L $^{p}$ 개의 공백, $p\geq 1$ ≥ $p\geq 1$ {\ $displaystyle$ p $\geq$ 1 $}$ 개의 공백에도 적용됩니다.

$만약$ ${\displaystyle$ f $}$ 가 $f$ 연속이면 수렴이 균일하여 Weiersstrass 정리를 증명할 수 있습니다.

점적 수렴의 한 가지 결과는 푸리에 계수의 고유성입니다. $f,g\in L^{1}$ f $f,g\in L^{1}$ $f,g\in L^{1}$ ∈ $f,g\in L^{1}$ $f,g\in L^{1}$ {\ $displaystyle$ f $,g\in$ L $^{1}$ 이고 f ${\hat {f}}={\hat {g}}$ = ${\hat {f}}={\hat {g}}$ $^$ ${\hat {$ f} = {\ $hat {g$ 이면 f = $f=g$ {\ $displaystyle$ f= $g}$ a.e.f ∗ $f*F_{n}=\sum _{|j|\leq n}\left(1-{\frac {|j|}{n}}\right){\hat {f}}_{j}e^{ijt}$ n = ∑ $f*F_{n}=\sum _{|j|\leq n}\left(1-{\frac {|j|}{n}}\right){\hat {f}}_{j}e^{ijt}$ $f*F_{n}=\sum _{|j|\leq n}\left(1-{\frac {|j|}{n}}\right){\hat {f}}_{j}e^{ijt}$ ( $f*F_{n}=\sum _{|j|\leq n}\left(1-{\frac {|j|}{n}}\right){\hat {f}}_{j}e^{ijt}$ - $f*F_{n}=\sum _{|j|\leq n}\left(1-{\frac {|j|}{n}}\right){\hat {f}}_{j}e^{ijt}$ n ) $f*F_{n}=\sum _{|j|\leq n}\left(1-{\frac {|j|}{n}}\right){\hat {f}}_{j}e^{ijt}$ $f*F_{n}=\sum _{|j|\leq n}\left(1-{\frac {|j|}{n}}\right){\hat {f}}_{j}e^{ijt}$ $f*F_{n}=\sum _{|j|\leq n}\left(1-{\frac {|j|}{n}}\right){\hat {f}}_{j}e^{ijt}$ {\ $displaystyle$ f $*F_{n$ }=\ $sum$ _ ${j \leq$ n $}\left(1-{\frac$ { j $}{n}}\right)$ 를 $f*F_{n}=\sum _{|j|\leq n}\left(1-{\frac {|j|}{n}}\right){\hat {f}}_{j}e^{ijt}$ 것에서 따옵니다.푸리에 계수에만 의존하는 ${\hat {f}_{j}e^{ijt$
두 번째 결과는 만약 $\lim _{n\to \infty }S_{n}(f)$ n → ∞ $\lim _{n\to \infty }S_{n}(f)$ n $\lim _{n\to \infty }S_{n}(f)$ ( $\lim _{n\to \infty }S_{n}(f)$ ) $\lim _{n\to \infty }S_{n}(f)$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${n\to$ \ $infty }S_{n}(f)$ 가 $\lim _{n\to \infty }F_{n}(f)=f$ 한다면, $\lim _{n\to \infty }F_{n}(f)=f$ n → ∞ $\lim _{n\to \infty }F_{n}(f)=f$ $\lim _{n\to \infty }F_{n}(f)=f$ ( $\lim _{n\to \infty }F_{n}(f)=f$ ) = $\lim _{n\to \infty }F_{n}(f)=f$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${n\to \infty }F_{n}(f$ ) = $f}$ 즉, Cesaro는 $F_{n}*f$ n ∗ $F_{n}*f$ {\ $displaystyle$ F_ ${n}*f}$ 가 존재하는 경우 원래 시퀀스 제한으로 수렴한다는 것을 $F_{n}*f$ 합니다.

참고 항목

참고문헌

^ Hoffman, Kenneth (1988). Banach Spaces of Analytic Functions. Dover. p. 17. ISBN 0-486-45874-1.
^ Konigsberger, Konrad. Analysis 1 (in German) (6th ed.). Springer. p. 322.

[1] Hoffman, Kenneth (1988). Banach Spaces of Analytic Functions. Dover. p. 17. ISBN 0-486-45874-1.

[2] Konigsberger, Konrad. Analysis 1 (in German) (6th ed.). Springer. p. 322.

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