디리클레 시리즈 반전

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분석적 숫자 이론에서, 시퀀스의 디리클레 시리즈 또는 디리클레 생성 함수(DGF)는 산술 함수를 의미 있는 방법으로 이해하고 요약하는 일반적인 방법이다.산술 함수와 그 요약 함수에 대한 공식의 표현 방법은 거의 알려져 있지 않거나 최소한 종종 잊어버리는 것은 시퀀스의 DGF 형성의 작동을 반전시키는 적분 변환을 수행하는 것이다.이 역방향은 주어진 일반 발생 함수의 직렬 계수에 대한 공식을 표현하기 위해 시퀀스의 생성 함수와 역 Z 변환을 수행하는 것과 유사하다.

현재로서는 이 페이지를 디리클레 시리즈, DGF를 변환 및 뒤집고 시퀀스의 DGF 역전을 시퀀스 요약 함수와 연관시키는 "이상성" 및 잊어버린 사실의 요약 자료로 사용할 것이다.또한 우리는 복잡한 변수의 ${\displaystyle {}_{}}$ 생성 기능에 적용되는 계수 추출에 대한 표기법을 사용하며$,{\displaystyle }$ [${\displaystyle n^{}}$- s${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle D}$ f${\displaystyle {}_{}}$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle =:}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle n}$ ) ${\displaystyle$[n^{-$s}]$을 나타낸다$.$임의의 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$에 대해$$ $D_{f}=:f($$n$ $언제든지$

${\displaystyle D_{f}s:=\sum _{n\geq 0}{\frac {f(n)}{n^{s}}},\quad \re(s)}\sigma _{0,f}}}$

\mathb {$}$에 있는 $\mathb {R}$의 \mathb {$R}$에서 s의 실제 부분이 절대 수렴보다 클 때마다 절대적으로 수렴되는 f의 DGF(또는 $Dirichlet 시리즈$)를 의미한다$.$

시퀀스의 DGF에 대한 시퀀스 종합함수의 멜린 변환의 관계는 산술함수 $f{\displaystyle }$ $){\displaystyle f(n)}$를 $f{\displaystyle (\mathrm{n}}$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(1)\neq$ 0$}$와 대응하는 디리클레 $역함수{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystystyle f^}$과 같은 표현 방법을 제공한다.${-1}(n$ 요약 함수를 포함하는 반전 공식에 의해 정의됨

${\displaystyle S_{f}(x):={\sum _{n\leq x}^{\premy }f(n),\premate \f(n),\flash \forall x\geq 1.}$

특히, 일부 산술 함수 f의 ${\displaystyle \mathrm{DGF}}$가 $s{\displaystyle }$↦${\displaystyle }$- s ${\displaystyle s\mapsto -s}$에 대한 분석적 연속성을 갖는다면$,$ 우리는 지속적인 DGF 공식에 의한 f의 합계함수의 멜린 변환을 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{M}[S_{f}](s)=-{\frac {D_{f}(-s)}{s}}.}$

멜린 반전형 문제의 이 구조를 사용하여 f의 디리클레 역함수보다 요약함수에 대한 공식을 표현하는 것도 종종 편리하다.

예선:DGF에 대한 표기법, 규칙 및 알려진 결과

Digiclet 역함수에 대한 DGF

Recall that an arithmetic function is Dirichlet invertible, or has an inverse ${\displaystyle f^{-1}(n)}$ with respect to Dirichlet convolution such that ${\displaystyle (f\ast f^{-1})(n)=\delta _{n,1}}$, or equivalently ${\displaystyle f\ast f^{-1}=\mu$\ast 1\equiv \varepsilon}, 만일 f≠(1)0{\displaystyle f(1)\neq 0}. 그것은 Df({\displaystyle D_{f}(s)}은 DGF의 입증하려면 절대적으로 복잡한 sℜ(s)을을 만족시키기 위해 수렴은 어려운 것은 아니다;σ 0, f{\displaystyle \Re(s)>, \sigma_{0,f}}, 다음 DGF은 Diri.chletInverseDf에 의해 − 1(s)=1/Df({\displaystyle D_{f^{)}}(s)=1(s)}과 또한 절대적으로 모든 ℜ에<(s), σ 0, f{\displaystyle \Re(s)>, \sigma_{0,f}}. 긍정적인 진짜 σ 0, f{\displaystyle \sigma_{0,f}}각 가역 산술 기능과 연관된 수렴은 주어진다. f은융합의 절체절체라고 불렸다.

우리는 또한 한 번에 사라지지 않는 일부 함수 g의 디리클레 역행과 관련된 다음과 같은 정체성을 본다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(g^{-1}\ast \mu )(n)&=[n^{-s}]\left({\frac {1}{\zeta (s)D_{g}(s)}}\right)\\(g^{-1}\ast 1)(n)&=[n^{-s}]\left({\frac {\zeta (s)}{D_{g}(s)}}\right).\end{정렬}}}$

요약함수

Perron 공식의 결과를 표현할 때 동일한 관례를 사용하여, 우리는 (Diriclet Invertible) $산술{\displaystyle }$ 함수 f ${\displaystyle$ $f$$}$의$$합계 함수가 공식에 따라$$ 모든 $실제{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty$ x$\geq 0}$에 대해 정의된다고 가정한다.

${\displaystyle S_{f}(x):={\sum _{n\leq x}}^{\prime }f(n)={\begin{cases}0,&0\leq x<1\\\sum \limits _{n<[x]}f(n),&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} ^{+}\wedge x\geq 1\\\sum \limits _{n\leq [x]}f(n)-{\frac {f(x)}{2}},&x\in \mathbb {Z} ^{+}.\end{case}}}$

는 () > , ${\$가 될 때마다 f의 Summary 함수의 Mellin 변환과 f의 DGF 사이에 다음과 같은 관계를 알고 있다

${\displaystyle D_{f}=s\cdot \int _{1}^{\\inflt }{\frac {S_{f}(x)}{x^{s+1}dx.}$

이러한 관계의 몇 가지 예로는 메르텐스 함수 또는 뫼비우스 함수의 요약 함수, 프라임 제타 함수 및 프라임 카운팅 함수, 리만 프라임 카운팅 함수와 관련된 다음과 같은 정체성을 들 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\zeta (s)}}&=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}dx\\P(s)&=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x^{s+1}}}dx\\\log \zeta (s)&=s\cdot \int _{0}^{\infty }{\frac {\Pi _{0}(x)}{x^{s+1}}}dx.\end{정렬}}}$

Dirichlet 역방향에 대한 통합 공식의 문장

고전적분식

()> 0, ${\$와 같은 어떤 경우에도 우리는 그것을 가지고 있다.

${\디스플레이 스타일 f(x)\f(x)\equiv [x^{-s}]D_{f}=\lim _{T\오른쪽 화살표 \inflt \}{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +\imath t}D_{f}(\sigma +\imath t)\,dt.}$

f의 DGF를 f의 Summary 함수의 Mellin 변환 공식에 따라 작성한다면, 명시된 적분 공식은 단순히 Perron 공식의 특별한 사례에 해당된다.Another variant of the previous formula stated in Apostol's book provides an integral formula for an alternate sum in the following form for ${\displaystyle c,x>0}$ and any real ${\displaystyle \sigma >\sigma _{0,f}-c}$ where we denote ${\displaystyle \Re (s):$$=\probma }$:

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}^{\prime }{\frac {f(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{c-\imath \infty }^{c+\imath \infty }D_{f}(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz.}$

직접 증명:아포톨의 책에서

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도움받을 수 있다(2020년 4월)

공식의 특별한 경우

If we are interested in expressing formulas for the Dirichlet inverse of f, denoted by ${\displaystyle f^{-1}(n)}$ whenever ${\displaystyle f(1)\neq 0}$, we write ${\displaystyle D_{f}(s)=1+s\cdot A_{f}(s)}$.그러면 우리는 어떤 ( s )> 0, f ${\$에 대한 DGF의 절대 수렴을 통해 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {x^{\imath t}}{D_{f}(\sigma +\imath t)}}\,dt&=\int \left(\sum _{j\geq 0}(\sigma +\imath t)^{j}\times \sum _{k=0}^{j}(-1)^{k}D_{f}(\sigma +\imath t)^{k}{\frac {\log ^{j-k}(x)}{(j-k)!}}\오른쪽)\,dt.\end{정렬}}}$

Now we can call on integration by parts to see that if we denote by ${\displaystyle F^{(-m)}(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {F^{(n)}(0)}{n!$$}}}x^{n+m}\frac {n!}{{(n+m)!$$}}}$은(는) F의 m $t{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle h^{}}$ ${\$ m$^{{th}$을(를) 나타내며$$, 고정된 비 음의 정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k\geq 0$에 대해서는 다음과 같이 정의되어 있다.

$\displaystyle \int(ax+b)^{k}\cdot F(ax+b)\,dx=\sum _{j=0}^{k}{\frac {k!}}{a\cdot j!}(-1)^{k-j}t^{j}F^{(j+1-k)}}(ax+b).$

따라서 우리는 그것을 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-T}^{T}{\frac {x^{\imath t}}{D_{f}(\sigma +\imath t)}}\,dt&={\frac {1}{\imath }}\left(\sum _{j\geq 0}\sum _{k=0}^{j}\sum _{m=0}^{k}{\frac {k!}}{m!}(-1)^{m}(\sigma +\imath t)^{m}\왼쪽[D_{f}^{k}\오른쪽]^{(j+1-k)}(\sigma +\imath t){\frac {\log{j-k}(x){j-k!}}}\{\Biggr }_{t=-T}^{t=+T}.\end{정렬}}}$

$또한{\displaystyle {}^{}}$ 전력 스케일 버전의 단일 k 통합 유한 합계로 F의 k ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle h^{}}$ ${\$에 대한 반복된 통합도 연관시킬 수 있다.

${\displaystyle F^{(-k)}=\sum _{i=0}^{k-1}{\binom {k-1}{i}}{\frac {(-1)^{{i-1)}{(k-1)!}}}}\int {\frac {F(x)}{x^{i}}\,dx.}$

이 확장에 비추어 보면, 부분적으로 제한되는 T-trunculated Dirichlet 시리즈 반전 통합체를 바로 가까이에 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}{\frac {1}{2}T}}\int _{-T}^{{T}{\frac {x^{\imath t}{D_{f}(\sigma +\imath t)}}}}}\,dt&={\frac {1}{1}{1}{2}T\cdot \imath }}\left(\sum _{j\geq 0}\sum _{k=0}^{j}\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{j-k}{\binom {j-k}{n}}{\frac {(-1)^{k+n+m}\cdot k!}{(j-k)!\cdot m!}}(\cdma +\imath t)^{m}{\frac {\log ^{j-k}(x)}{(j-k)!}}}}\int _{0}^{\ma +\imath t}\왼쪽[]A_{f}^{k}\오른쪽](v){\frac {dv}{v^{n}}\오른쪽){\Biggr }_{t=-T}^{t=+T}\\&={\frac {1}{2}T\cdot \imath }}}\{j\geq 0}\sum _{k=0}^{j}\sum _{m=0}^{k}{\frac {(-1)^{j-k}\cdot(-s)^{m!}}{\frac {\log ^{k}(x)}{k!}}}\int _{0}^{1}s\cdot D_{f}^{j-k}(rs)\left(1-{\frac {1}{1}}\오른쪽)^{k}\,dv\오른쪽){\Biggr }_{s=\sigma -\imath T}^{s=\s=\s=\s=\s\s\s\\s\\frac {s\s\s}{-s}+O_{s(1)\rimath T}{s}}{2}}}}}}{2}T\cdot \imath }}\int _{0}^{1}{\frac {x^{1-{\frac {1}{rs}}}}{1+D_{f}(rs)}}dr{\Biggr }_{s=\sigma -\imath T}^{s=\sigma +\imath T}\\&={\frac {\left(e^{-s}+O_{s}(1)\right)}{2T\cdot \imath }}}}{{0}^{s}{\frac{1-{\frac{1}{1}:{1-{v}}}}}}{1+D_{f}(v)}}}\dv{\Biggr }}_{s=\imath T}^{s=\sigma +\imath T}.\end{정렬}}}$

멜린 변환 언어의 문장

공식 생성 기능 같은 콘볼루션 보조정리

Suppose that we wish to treat the integrand integral formula for Dirichlet coefficient inversion in powers of ${\displaystyle (\imath t)^{k}}$ where ${\displaystyle [(\imath t)^{k}]F(\sigma +\imath t)=$$F^{(k)}(\sigma )/k!}$ ,$$그리고 나서 우리가 실제 라인의 전통적인 적분을 평가하는 것처럼 진행한다.그럼 우리에겐 그런게 있지

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {D}}_{f}(x;\sigma ,T)&:=\int _{-T}^{T}x^{\sigma +\imath t}D_{f}(\sigma +\imath t)\,dt\\&=\sum _{m\geq 0}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +\imath t}(\imath t)^{m}{\frac {D_{f}^{(m)}(\sigma )}{m!}}}\\&=\sum _{m\geq 0}\int_{-T}^{T}t^{2m}x^{\sigma +\imath t}{\frac {(1)^{m_{f}^{{f}^{(2m)}(\sigma )}{{(2m)!}}}\,dt+\imath \time \sum _{m\geq 0}\int _{-T}^{T}t^{2m+1}x^{\sigma +\imath t}{\frac {(-1)^{m^{{m+1){{{{m+1)}(\sigma )}{{(2m+1)!}}\,dt.\end{aigned}}$

우리는 다음 공식에 의해 $주어진{\displaystyle }$ 결과를 요구하는데, 이 공식은 부품에 의한 통합의 적용에 의해 엄격하게 증명된다. 비 음의 정수 m${\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle m\geq 0$

${\displaystyle {\begin{aigned}{\hat {I}_{m}(T)&:=\int_{-T}^{\frac {(\imath t)^{m}{m!}}x^{\imath t}\,dt\\&=\sum _{r=0}^{m}{\frac {\left(x^{\imath T}+(-1)^{r+1}x^{-\imath T}\right)(-\imath )^{r+1}}{\log ^{k+1-r}(x)}}\cdot {\frac {T^{r}}{r!}}\\&={\frac {\cos(T\log x)}{{T\log x}\time \sum \sum _{r=0}^{\lfloor k/2\rfloor }{\frac {(-1)^{r+1}T^{2r}{\log ^{k-2r(x)(2r)!}}}+{\frac {\sin(T\log x)}{T\log x}\time \sum \sum _{r=0}^{\lfloor k/2\rfloor }{\frac {(1-1)^{r+1}T^{2r+1}{\log ^{k-2r-1(x)(2r+1)!}}}.\end{aigned}}$

따라서 양수 정수 x에서 산술 함수 계수 f의 각각의 실제 부분과 가상 부분은 다음을 만족한다.

${\displaystyle {\begin}\operatorname {Re}(f(x))&=x^{\sigma }\time \lim _{T\오른쪽 화살표 \}\sum _{m\geq 0}D_{f}^{{f}(2m)(\sigma )\cdot {\frac {{\hat{I}_{2m}(T)}{2}{2}}{2}}}}}}}}}}}}{2}}}}}}}}}}}}}{2}}}}}{{2}}}}}}}}}}}}}}}{{T}\\\operatorname {Im}(f(x))&=x^{\sigma }\time \lim _{T\오른쪽 화살표 \}\sum _{m\geq 0}{f_{f}^{2m+1)(\sigma )}\cdot {\\frac {{\hat{I}_{2m+1}(T){2}{2}}{2}}}}}}}}}{{{{{{{{{2m+}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}T}.\end{aigned}}$

마지막 ID는 함수를 생성하기 위해 Hadamard 제품 공식의 적용을 암시한다.특히 기능 f의 실제와 가상의 부분을 x에서 다음과 같은 형태로 표현하는 다음과 같은 정체성을 알아낼 수 있다.^[1]

${\displaystyle {\begin}\operatorname {Re}(f(x))&=\lim _{T\rightarrow \inflt \}\왼쪽[{\frac {x^{\sigma }}}:{2T}}\time {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\좌측(D_{f})(\sigma +\imath T\cdot e^{\imath s})++D_{f}(\sigma -\imath Te^{\imath s}\오른쪽)\왼쪽(FUNC(e^{-\imath s}\오른쪽)\,ds\right]\\\operatorname {Im}(f(x))&=\lim _{T\rightarrow \inflt \}\왼쪽[{\frac {x^{\sigma }}}:{2T}}\times {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(D_{f}(\sigma +\imath T\cdot e^{\imath s})-D_{f}(\sigma -\imath Te^{\imath s}\right)()\,ds\right].\end{정렬}}}$

산술 함수 f가 엄격히 실제 값인 특수한 경우, 이전 한계 공식의 내부 항은 항상 0(즉, T의 경우)이 될 것으로 예상한다.

참고 항목

• 디리클레트 시리즈
• 디리클레 콘볼루션
• 디리클레 역행
• 산술 함수
• 승수함수
• 디리클레 생성 함수(DGF)

메모들

참조

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001