뫼비우스 함수

뫼비우스 함수
이름은 다음과 같습니다.	아우구스트 페르디난트 뫼비우스
발행년도	1832
출판물의 저자	아우구스트 페르디난트 뫼비우스
No. 이미 알려진 용어의	인피니트
제1항	1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1
OEIS 지수	A008683; 뫼비우스(또는 뫼비우스) 함수 mu(n). mu(1) = 1; n이 k개의 서로 다른 소수들의 곱일 경우 mu(n) = (-1)^k; 그렇지 않을 경우 mu(n) = 0.;

뫼비우스 함수 μ( $n)$ 는 1832년 독일의 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스(Meebius로 번역됨)가 도입한 정수론의 곱셈 함수입니다.^[i]^[ii]^[2] 그것은 기초 및 분석적 수론에서 어디에나 있으며 뫼비우스 반전 공식과 같은 이름의 일부로 가장 자주 나타납니다. 1960년대 Gian-Carlo Rota의 연구에 이어 뫼비우스 함수의 일반화가 조합론에 도입되었으며, $μ (x$ )로 표시됩니다 $.$

정의.

임의의 양의 정수 $n$ 에 대하여 $μ (n)$ 을 단위의 원시 n근의 합으로 정의합니다. n의 소인수분해에 따라 ${-1,$ 0, $1}$ 의 값을 $갖습니다$ .

$n$ 이 짝수 개의 소수 인자를 가진 제곱이 없는 양의 정수일 경우 μ $(n)$ $=$ +1.
$n$ 이 홀수 개의 소수 인자를 가진 제곱이 없는 양의 정수일 경우 μ $(n)$ $=$ -1입니다.
$n$ 이 제곱 소인수를 갖는 경우 $μ (n)$ $=$ -0.

뫼비우스 함수는 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.

\mu(n)=\delta _{\omega(n)\Omega(n)}\lambda(n),

$여기$ 서 δ는 크로네커 $델타$ , λ(n)은 $리우빌$ 함수, ω(n)은 n의 $고유$ 한소수의 개수, ω(n)은 n의 소수 인자의 개수로 다중으로 계산됩니다.

상수-1 함수의 디리클레 컨볼루션 역으로도 정의할 수 있습니다.

가치

처음 50개의 양수에 $대한$ μ $(n)$ 의 값은 다음과 같습니다.

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$μ (n)$	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1

$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$μ (n)$	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

$n$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
$μ (n)$	1	1	−1	0	0	1	0	0	−1	−1

$n$	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
$μ (n)$	−1	0	1	1	1	0	−1	1	1	0

$n$	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
$μ (n)$	−1	−1	−1	0	0	1	−1	0	0	0

함수의 처음 50개 값은 아래에 표시됩니다.

더 큰 값은 다음과 같이 확인할 수 있습니다.

적용들

수학적 급수

뫼비우스 함수를 생성하는 디리클레 급수는 리만 제타 함수의 (배수) 역수이며, 만약 $s$ 가 실수부가 1보다 큰 복소수이면 우리는

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.

이것은 오일러 곱을 통해 알 수 있습니다.

{\frac {1}{\zeta(s)}}=\prod _{p{\text{prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}\right)\cdots

또한:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty}{\frac {\mu(n)}{n^{s}}={\frac {\zeta(s)}{\zeta(2s)};$

$\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {\mu(n)}{n}}=0;$

$\sum \limits _{n=1}^{\infty}{\frac {\mu(n)\ln}{n}}=-1;$

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,$ = $1$ $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,$ ( n ) $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,$ n 2 $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,$ ⁡ n = $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,$ - 2 γ, {\displaystyle \ $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,$ imit $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,$ _{n=1}^{\infty}{\frac {\mu(n)\ln ^{2}n $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,$ {n} $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,$ gamma,} $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,$ 여기서 γ {\displayst $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,$ amma } - 오일러 상수.

뫼비우스 함수의 램버트 급수는 다음과 같습니다.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,

$이것은 q$ < 1에 대하여 수렴합니다. 소수 $α$ ≥ 2의 경우, 우리는 또한

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}}, q <1.

대수적 수론

가우스는^[1] 소수 $p$ 에 대하여 원시근의 합이 $μ (p$ - $1)(modp$ )와 일치한다는 것을 증명했습니다 $.$

F가_q 유한한 차수 $q$ 의 장(여기서 $q$ 는 반드시 소수의 거듭제곱)을 나타낸다면, $F$ 에_q 대한 $n차$ 의 축소 불가능한 다항식의 수 $N$ 은 다음과 같이 주어집니다.^[3]

N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}.

물리학

뫼비우스 함수는 초대칭의 프리몬 가스 또는 자유 리만 가스 모델에서도 발생합니다. 이 이론에서 기본 입자 또는 "프라이몬"은 에너지 $log$ $p$ 를 가지고 있습니다. 두 번째 양자화에서는 다입자 여기가 고려됩니다. 이것들은 임의의 자연수 $n$ 에 대해 $log$ $n$ 에 의해 주어집니다. 이것은 자연수를 소수로 인수분해하는 것이 독특하다는 사실에서 비롯됩니다.

자유 리만 기체에서는 프리몬을 보손으로 삼으면 어떤 자연수라도 발생할 수 있습니다. 만약 그것들이 페르미온으로 간주된다면, 파울리 배제 원리는 제곱을 제외합니다. 페르미온과 보손을 구별하는 연산자 $(-1) F$ 는 다름 아닌 뫼비우스 함수 μ $(n$ )입니다 $.$

유리 리만 기체는 분할 함수가 리만 제타 함수라는 사실을 포함하여 수론에 대한 여러 가지 흥미로운 연관성을 가지고 있습니다. 이 개념은 알랭 코네스가 리만 가설을 증명하려고 시도한 근거입니다.^[4]

특성.

뫼비우스 함수는 a와 b가 코프라임일 때마다 곱셈(즉, $μ$ ( $ab)$ = μ( $a)$ $μ$ (b))입니다.

Proof: Given two coprime numbers $m\geq n$ , we induct on $mn$ . If $mn=1$ , then $\mu (mn)=1=\mu (m)\mu (n)$ . Otherwise, $m>n\geq 1$ , so
${\begin{aligned}0&=\sum _{dmn}\mu(d)\&=\mu(mn)+\sum _{dmn;d<mn}\mu(d)\&{\stackrel {\text{induction}}{=}\mu(m)\mu(n)+\sum _{dm;d'n}\mu(d')\&=\mu(m)\mu(n)+\sum _{d'n}\mu(d')\&=\mu(mn)-\mu(m)\n(n)+0\end{aligned}}\mu(d')\&=\mu(mn)\n(n)+0\end{aligned}$

$n$ ( $n$ 자신과 1 포함)의 모든 양의 약수에 대한 뫼비우스 함수의 합은 $n$ = $1$ 인 경우를 제외하고는 0입니다.

\sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{case}1&{\text{if}}n=1,\0&{\text{if}}n>1.\end{case}}

위의 등식은 중요한 뫼비우스 반전 공식으로 이어지고 $μ$ 가 곱셈 함수와 산술 함수 이론에서 관련성이 있는 주요 이유입니다.

조합론에서 $μ (n)$ 의 다른 응용은 조합 그룹 및 조합 계수에서 Polya 열거 정리의 사용과 관련이 있습니다.

뫼비우스 함수의 인수분해를 직접 알지 못한 채 계산하는 공식이^[5] 있습니다.

\mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},

$즉$ , μ $(n)$ 은 단일성의 원시 n번째 근의 합입니다. (그러나 이 정의의 계산 복잡도는 적어도 오일러 제품 정의의 계산 복잡도와 동일합니다.)

뫼비우스 함수에 의해 만족되는 다른 항등식은 다음과 같습니다.

\sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu(k)=1

그리고.

\sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1

\sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1

\sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1

\sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1

(

\sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1

j k 2 ) μ

k )

= 1 {\displaystyle \sum _{jk\leq n}\sin \

\sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1

ft ({\frac {\pijk}{2}}\right)\

\sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1

u(k)=1}.

이 중 첫 번째는 고전적인 결과이고 두 번째는 2020년에 출판되었습니다.^[6]^[7] Mertens 함수도 비슷한 ID를 갖습니다.

σμ(d)에 대한 공식 증명

사용.

\mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},

공식

\sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{case}1&{\text{if}}n=1,\0&{\text{if}n>1\end{case}

통일성의 n번째 루트는 $정확히$ $n$ 의 1등분에 대한 통일성의 원시적인 d번째 루트이기 때문에 통일성의 n번째 루트가 0으로 합해진 결과로 볼 수 있습니다.

그러나 첫 번째 원칙에서 이러한 동일성을 증명하는 것도 가능합니다. $먼저$ n = $1일$ 때는 소수점 이하로 참임을 유의하십시오. 그렇다면 n > 1이라고 가정합니다. $그러면$ μ $(d)가$ ≠ 0인 $n$ 의 인자 $d$ 와 n의 모든 $소인수$ 집합의 부분집합 사이에 사영이 존재합니다. 주장된 결과는 비어 있지 않은 모든 유한 집합이 홀수 및 짝수 카디널리티 부분 집합을 동일하게 가지고 있다는 사실에서 비롯됩니다.

이 마지막 사실은 비어 있지 않은 유한 집합 $S$ 의 카디널리티 $S$ 에 대한 귀납법으로 쉽게 알 수 있습니다. 먼저, $S$ = $1$ 인 경우, S의 홀수 카디널리티 부분 집합은 정확히 $하나$ , 즉 $S$ 자체이고, 짝수 카디널리티 부분 집합은 정확히 하나, 즉 ∅입니다. 다음으로 $S$ > $1$ 이면 $S$ 의 부분집합을 $S$ 의 어떤 고정요소 $x$ 를 포함하는지 여부에 따라 두 개의 부분집합으로 나눕니다. 이 두 하위 클래스 사이에는 명백한 바이젝션이 존재하며, 이는 하위 집합 { $x}$ 에 대해 동일한 보체를 갖는 하위 집합을 쌍으로 만듭니다. 또한, 이 두 하위 클래스 중 하나는 $집합$ S $\$ { $x}$ 의 모든 하위 집합으로 구성되므로, 귀납 가설에 의해 홀수 및 짝수 카디널리티 하위 집합이 동일합니다. 이 부분 집합들은 차례로 $S$ 의 짝수 및 홀수 카디널리티 { $x}-$ 포함 부분 집합에 주관적으로 대응합니다. 귀납적 단계는 이 두 개의 바이젝션으로부터 직접적으로 이어집니다.

이와 관련된 결과는 이항 계수가 대칭적으로 합하는 홀수 및 짝수 검정력의 입력을 번갈아 나타낸다는 것입니다.

평균순서

뫼비우스 함수의 평균값(평균 차수의 의미)은 0입니다. 이 문장은 사실 소수 정리와 동등합니다.^[8]

$μ (n)$ 절편

$μ$ $(n)$ $=$ n을 소수의 제곱으로 나눈 경우에만 0. 이 속성을 가진 첫 번째 숫자는

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ...(OEIS에서 시퀀스 A013929).

$n$ 이 소수이면 $μ (n)$ = $-1$ 이지만 그 반대는 참이 아닙니다. $μ (n)$ = $-1인$ 첫 번째 $비프라임$ 은 30 = 2 × 3 × 5입니다. 세 개의 구별되는 소인수(소인수)를 가진 첫 번째 그러한 숫자는

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 182, 186, 190, 195, 222, ...(OEIS에서 시퀀스 A007304).

그리고 5개의 뚜렷한 소인수를 가진 첫 번째 숫자는

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... (sequence A046387 in the OEIS).

메르텐스 함수

수론에서 뫼비우스 함수와 밀접하게 관련된 또 다른 산술 함수는 다음과 같이 정의되는 메르텐스 함수입니다.

M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu(k)

모든 자연수 $n$ 에 대하여. 이 함수는 리만 제타 함수의 0의 위치와 밀접하게 연결되어 있습니다. $M (n)$ 과 리만 가설의 연관성에 대한 자세한 내용은 메르텐스 추측에 대한 기사를 참조하십시오.

공식으로부터

\mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},

Mertens 함수는 다음과 같이 주어집니다.

M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\piia}

여기서 F는_$n$ $n차$ 의 Farey sequence입니다.

이 공식은 프랑엘-란다우 정리의 증명에 사용됩니다.^[9]

일반화

발생대수

조합론에서 모든 국소적으로 유한한 부분 순서 집합(포셋)에는 발생 대수가 할당됩니다. 이 대수학의 한 저명한 구성원은 포셋의 "뫼비우스 함수"입니다. 이 글에서 다루는 고전적인 뫼비우스 함수는 분할에 의해 부분적으로 순서가 매겨진 모든 양의 정수 집합의 뫼비우스 함수와 본질적으로 같습니다. 정확한 정의와 이러한 일반적인 뫼비우스 함수의 몇 가지 예는 발생 대수에 대한 기사를 참조하십시오.

포포비치 함수

콘스탄틴 포포비치는 $일반화된$ 뫼비우스 함수 μ = μ ∗ ...를 정의했습니다. $* μ$ 는 뫼비우스 함수의 k-배 디리클레 컨볼루션 그 자체입니다. 따라서 이 함수는 다음과 같은 곱셈 함수입니다.

\mu_{k}\left(p^{a}\right)= (-1)^{a}{\binom {k}{a}}\

$여기$ 서 이항 계수는 > $k$ 인 경우 0으로 간주됩니다. 정의는 이항을 다항식 $잉크$ 로 읽음으로써 $복소$ k로 확장될 수 있습니다.^[11]

구현

마테마티카
막시마
geeksforgex C++, Python3, Java, C#, PHP, Javascript
로제타 코드
세이지

참고 항목

메모들

^ Hardy & Wright, ch. XVI: "... $μ (n)$ 은 일찍이 1748년에 오일러의 작품에서 은연중에 발생하지만, 1832년에 Möbius가 최초로 그 성질을 체계적으로 조사했습니다." (Hardy & Wright 1980, ch. XVI)
^ 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 원시근(mod $p$ )의 합이 μ $(p$ - $1)$ 임을 보여주었지만(#속성 및 응용 참조) 더 이상 함수를 사용하지는 않았습니다. 특히 디스퀴지션에서는 뫼비우스 반전을 사용하지 않았습니다.^[1] 산술의 발견은 라틴어에서 영어와 독일어로 번역되었습니다. 독일 판에는 수론에 관한 그의 모든 논문이 포함되어 있습니다: 이차 상호성의 모든 증명, 가우스 합의 부호의 결정, 이차 상호성에 대한 조사 및 미발표 노트.

인용

^ ^a ^b 가우스 1986, 아트 81.
^ 뫼비우스 1832, 페이지 105–123.
^ 제이콥슨 2009, § 4.13
^ Bost & Connes 1995, 411-457쪽.
^ Hardy & Wright 1980, (16.6.4), 239쪽.
^ 아포스톨 1976.
^ 클라인 2020.
^ 아포스톨 1976, § 3.9
^ 에드워즈 1974, Ch. 12.2
^ 포포비치 1963, 페이지 493–499.
^ Sandor & Crstici 2004, 페이지 107.

원천

Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York; Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
Bost, J.-B.; Connes, Alain (1995), "Hecke Algebras, Type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory", Selecta Mathematica, New Series, 1 (3): 411–457, doi:10.1007/BF01589495, S2CID 116418599
Deléglise, Marc; Rivat, Joël (1996), "Computing the summation of the Möbius function", Experimental Mathematics, 5 (4): 291–295, doi:10.1080/10586458.1996.10504594, S2CID 574146
Edwards, Harold (1974), Riemann's Zeta Function, Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory), H. Maser (German translator) (2nd ed.), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae, Arthur A. Clarke (English translator) (corrected 2nd ed.), New York: Springer, ISBN 0-387-96254-9
Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980) [First edition published 1938], An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5 – via Internet Archive
Kline, Jeffery (2020), "Unital Sums of the Möbius and Mertens Functions" (PDF), Journal of Integer Sequences, 23 (8): 1–17
Jacobson, Nathan (2009) [First published 1985], Basic algebra I (2nd ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
Klimov, N. I. (2001) [1994], "Möbius function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Möbius, A. F. (1832), "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 9: 105–123
Pegg, Ed, Jr (2003), "The Möbius function (and squarefree numbers)", Ed Pegg's Math Games{{cite web}}: CS1 maint: 다중 이름: 저자 목록 (링크)
Popovici, Constantin P. (1963), "A generalization of the Möbius function", Studii şi Cercetări Matematice, 14: 493–499, MR 0181602
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Handbook of number theory II, Dordrecht: Kluwer Academic, ISBN 1-4020-2546-7, Zbl 1079.11001
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag, pp. 187–226, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Möbius function". MathWorld.

[1] Hardy & Wright, ch. XVI: "... $μ (n)$ 은 일찍이 1748년에 오일러의 작품에서 은연중에 발생하지만, 1832년에 Möbius가 최초로 그 성질을 체계적으로 조사했습니다." (Hardy & Wright 1980, ch. XVI)

[3] 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 원시근(mod $p$ )의 합이 μ $(p$ - $1)$ 임을 보여주었지만(#속성 및 응용 참조) 더 이상 함수를 사용하지는 않았습니다. 특히 디스퀴지션에서는 뫼비우스 반전을 사용하지 않았습니다.^[1] 산술의 발견은 라틴어에서 영어와 독일어로 번역되었습니다. 독일 판에는 수론에 관한 그의 모든 논문이 포함되어 있습니다: 이차 상호성의 모든 증명, 가우스 합의 부호의 결정, 이차 상호성에 대한 조사 및 미발표 노트.

[FOOTNOTEGauss1986Art._81-2] 가우스 1986, 아트 81.

[FOOTNOTEMöbius1832105–123-4] 뫼비우스 1832, 페이지 105–123.

[FOOTNOTEJacobson2009§4.13-5] 제이콥슨 2009, § 4.13

[FOOTNOTEBostConnes1995411–457-6] Bost & Connes 1995, 411-457쪽.

[FOOTNOTEHardyWright1980(16.6.4),_p._239-7] Hardy & Wright 1980, (16.6.4), 239쪽.

[FOOTNOTEApostol1976-8] 아포스톨 1976.

[FOOTNOTEKline2020-9] 클라인 2020.

[FOOTNOTEApostol1976§3.9-10] 아포스톨 1976, § 3.9

[FOOTNOTEEdwards1974Ch._12.2-11] 에드워즈 1974, Ch. 12.2

[FOOTNOTEPopovici1963493–499-12] 포포비치 1963, 페이지 493–499.

[FOOTNOTESándorCrstici2004107-13] Sandor & Crstici 2004, 페이지 107.

[i]

[ii]

[2]

[1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[11]

Search

뫼비우스 함수

네임스페이스

더

목차

정의.

가치