나눗셈 규칙

나눗셈 규칙은 일반적으로 나눗셈을 수행하지 않고 고정된 나눗셈으로 주어진 정수가 나눗셈을 수행하지 않고 나눗셈되는지 여부를 결정하는 데 사용되는 약어로 유용한 방법입니다.모든 기수 또는 기수에 있는 숫자에 대한 나눗셈 테스트가 있고 그것들은 모두 다르지만, 이 기사는 십진 또는 기수 10에 대해서만 규칙과 예를 제시합니다.마틴 가드너(Martin Gardner)는 1962년 9월 사이언티픽 아메리칸(Scientific American)지의 "수학 게임(Mathematical Games)" 칼럼에서 이 규칙들을 설명하고 대중화했습니다.^[1]

숫자 1~30에 대한 나눗셈

아래에 주어진 규칙들은 관심 있는 분할에 의한 구분을 유지하면서, 주어진 숫자를 일반적으로 더 작은 숫자로 변환합니다.따라서 별도의 언급이 없는 한 결과 수는 동일한 분할자에 의해 분할 가능성을 평가해야 합니다.어떤 경우에는 나눗셈이 분명해질 때까지 이 과정을 반복할 수 있습니다. 다른 경우(예: 마지막 n자리 검사)에는 다른 방법으로 결과를 검사해야 합니다.

규칙이 여러 개인 분할자의 경우, 규칙은 일반적으로 숫자가 많은 숫자에 적합한 규칙을 먼저 정렬한 다음 숫자가 적은 숫자에 유용한 규칙을 정렬합니다.

2의 거듭제곱 또는 5의 거듭제곱(n이 양의 정수인 2 또는ⁿ 5ⁿ)에 의한 숫자의 나눗셈을 검정하려면 해당 숫자의 마지막 n자리만 보면 됩니다.

소수 인자 $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$ 1 $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$ $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$ $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$ m $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$ $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$ $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$ ${\$ 의 곱으로 표현된 숫자에 의한 나눗셈을 검정하기 위해 각 소수가 적절한 검정력으로 나눗셈을 수행할 수 있습니다 $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$ 예를 들어, 24로 나눗셈을 테스트하는 것(24 = 8×3 = 2×3)은 8로 나눗셈을 테스트하는 것과 같으므로, 24로 나눗셈을 증명하려면 8로 나눗셈을 표시하고 3으로 나눗셈을 표시하기만 하면 됩니다.


나눗셈기	가감조건	예
1	특별한 조건은 없습니다.임의의 정수는 1로 나뉠 수 있습니다.	2는 1로 나눕니다.
2	끝자리는 짝수(0, 2, 4, 6 또는 8)입니다.^[2]^[3]	1,294:4는 짝수입니다.
3	숫자의 합은 3으로 나누어져야 합니다.^[2]^[4]^[5]	405 → 4 + 0 + 5 = 9 및 636 → 6 + 3 + 6 = 15로 둘 다 3으로 명확하게 구분됩니다. 16,499,205,854,376 → 1 + 6 + 4 + 9 + 2 + 0 + 5 + 8 + 5 + 4 + 3 + 7 + 6의 합을 69 → 6 + 9 = 15로 나눈 값입니다.
3	숫자 1, 4, 7의 숫자에서 숫자 2, 5, 8의 숫자를 뺀다.결과를 3으로 나눌 수 있어야 합니다.	위의 예를 사용하면: 16,499,205,854,376은 1,4,7 중 4개의 숫자와 2,5,8 중 4개의 숫자를 갖습니다; 4 - 4 = 0은 3의 배수이므로, 숫자 16,499,205,854,376은 3으로 나뉠 수 있습니다.
4	마지막 두 자리는 4로 나눌 수 있는 숫자를 형성합니다.^[2]^[3]	40,832:32는 4로 나눌 수 있습니다.
	10자리가 짝수이면 1자리는 0, 4 또는 8이어야 합니다. 10자리가 홀수이면 1자리는 2 또는 6이어야 합니다.	40,832:3은 홀수이고, 끝자리는 2입니다.
	한 자리 숫자와 두 배 십 자리 숫자의 합은 4로 나눕니다.	40,832: 2 × 3 + 2 = 8로, 4로 나눌 수 있습니다.
5	끝자리는 0 또는 5입니다.^[2]^[3]	495: 끝자리는 5입니다.
6	2와 3으로 나눕니다.^[6]	1,458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18이므로 3으로 나눌 수 있고 끝자리가 짝수이므로 6으로 나눌 수 있습니다.
6	한 자리 수, 10자리 수의 4배, 100자리 수의 4배, 1000자리 수의 4배 등을 합산합니다.결과를 6으로 분할할 수 있는 경우, 원래 숫자도 마찬가지입니다. ( $n>1$ > $n>1$ {\ $displaystyle n$ > $1}$ 의 경우 $10^{n}=4{\pmod {6}}$ = $10^{n}=4{\pmod {6}}$ ( $10^{n}=4{\pmod {6}}$ 6 $10^{n}=4{\pmod {6}}$ ) $10^{n}=4{\pmod {6}}$ {\ $displaystyle 10^{n$ } = $4{\pmod {6}}$ 이므로 작동합니다.)	1,458: (4 × 1) + (4 × 4) + (4 × 5) + 8 = 4 + 16 + 20 + 8 = 48
7	오른쪽에서 왼쪽으로 3개의 블록의 교대 합을 형성하면 7의^[5]^[7] 배수가 됩니다.	1,369,851: 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	나머지에 끝자리의 5배를 더하면 7의 배수가 됩니다. (49는 7로 나눌 수 있으므로 가능합니다.)	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
	나머지에서 끝자리의 2배를 빼면 7의 배수가 됩니다. (21을 7로 나눌 수 있으므로 가능합니다.)	483: 48 − (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
	나머지에서 끝자리의 9배를 빼면 7의 배수가 됩니다. (91을 7로 나눌 수 있으므로 가능합니다.)	483: 48 − (3 × 9) = 21 = 7 × 3.
	다음 숫자에 첫 숫자의 3배를 더하고 나머지를 쓰면 7의 배수가 됩니다. (이것은 10a + b - 7a = 3a + b이기 때문에 작동합니다; 마지막 숫자는 10a + b와 나머지가 같습니다.)	483: 4 × 3 + 8 = 20, 203: 2 × 3 + 0 = 6, 63: 6 × 3 + 3 = 21.
	나머지 두 자리를 두 배로 더하면 7의 배수가 됩니다. (98을 7로 나눌 수 있으므로 가능합니다.)	483,595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63.
	각 자리(오른쪽에서 왼쪽으로)에 해당하는 위치의 자리(왼쪽에서 오른쪽으로)를 곱합니다: 1, 3, 2, -1, -3, -2(수십만 자리 이상의 자리를 반복함).결과를 더하면 7의 배수가 됩니다.	483,595: (4 × (−2)) + (8 × (−3)) + (3 × (−1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7.
	7로 나누었을 때 각 숫자 쌍의 나머지(오른쪽에서 왼쪽으로)를 계산합니다.맨 오른쪽 나머지에 1을 곱하고, 왼쪽 다음에 2를 곱하고, 다음에 4를 곱하여 수십만 자리를 넘어 숫자 쌍의 패턴을 반복합니다.결과를 더하면 7의 배수가 됩니다.	194,536 : 1945 36 ; (5x4) + (3x2) + (1x1) = 27이므로 7로 나눌 수 없습니다. 204,540: 2045 40; (6x4) + (3x2) + (5x1) = 35이므로 7로 나뉠 수 있습니다.
8	수백 자리가 짝수인 경우 마지막 두 자리로 이루어진 숫자는 8로 나누어져야 합니다.	624: 24.
	수백 자리가 홀수인 경우 마지막 두 자리에 4를 더한 숫자를 8로 나누어야 합니다.	352: 52 + 4 = 56.
	마지막 숫자를 나머지 두 배로 더합니다.결과를 8로 나누어야 합니다.	56: (5 × 2) + 6 = 16.
	마지막 세 자리는 8로 나눕니다.^[2]^[3]	34,152: 152: 19 x 8의 가분성을 검사합니다.
	한 자리 숫자의 합, 십 자리 숫자의 두 배, 백 자리 숫자의 네 배는 8로 나눕니다.	34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
9	숫자의 합은 9로 나뉠 수 있어야 합니다.^[2]^[4]^[5]	2,880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
10	한 자리 숫자는 0입니다.^[3]	130: 한 자리 숫자는 0입니다.
11	자릿수의 교대 합 또는 이와 동등하게 합(홀수) - 합(짝수)을 만듭니다.결과는 11로 나누어져야 합니다.^[2]^[5]	918,082: 9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22 = 2 × 11.
	오른쪽에서 왼쪽으로 두 개씩 블록으로 숫자를 더합니다.결과는 11로 나누어져야 합니다.^[2]	627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
	나머지에서 끝자리를 뺀다.결과는 11로 나누어져야 합니다.	627: 62 − 7 = 55 = 5 × 11.
	수백 자리에 끝자리를 더합니다(나머지 자리에 끝자리의 10배를 더합니다).결과는 11로 나누어져야 합니다.	627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
	자릿수가 짝수이면 첫 번째 숫자를 더하고 나머지 숫자에서 마지막 숫자를 뺀다.결과는 11로 나누어져야 합니다.	918,082: 자리수는 짝수(6) → 1808 + 9 - 2 = 1815: 81 + 1 - 5 = 77 = 7 × 11
	자릿수가 홀수이면 나머지에서 첫 번째와 끝자리를 뺀다.결과는 11로 나누어져야 합니다.	14,179: 자리수는 홀수(5) → 417 - 1 - 9 = 407 = 37 × 11
12	3과 4로 나눕니다.^[6]	324: 3과 4로 나눕니다.
12	나머지 두 배에서 끝자리를 뺀다.결과를 12로 나누어야 합니다.	324: 32 × 2 − 4 = 60 = 5 × 12.
13	오른쪽에서 왼쪽으로 3개씩 블록의 번갈아 가며 합을 만듭니다.결과를 13으로 나누어야 합니다.^[7]	2,911,272: 272 − 911 + 2 = −637
	나머지 숫자에 끝자리의 4배를 더합니다.결과를 13으로 나누어야 합니다.	637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13.
	나머지 네 배에서 마지막 두 자리를 뺀다.결과를 13으로 나누어야 합니다.	923: 9 × 4 − 23 = 13.
	나머지에서 끝자리의 9배를 뺀다.결과를 13으로 나누어야 합니다.	637: 63 - 7 × 9 = 0.
14	2와 7로 나눕니다.^[6]	224: 2와 7로 나눕니다.
14	마지막 두 자리를 나머지 두 자리의 두 배로 더합니다.결과를 14로 나누어야 합니다.	364: 3 × 2 + 64 = 70. 1,764: 17 × 2 + 64 = 98.
15	3과 5로 나눕니다.^[6]	390: 3과 5로 나눕니다.
16	수천 자리가 짝수인 경우 마지막 세 자리로 이루어진 숫자는 16으로 나누어져야 합니다.	254,176: 176.
	수천 자리가 홀수인 경우 마지막 세 자리에 8을 더한 숫자를 16으로 나누어야 합니다.	3408: 408 + 8 = 416.
	마지막 두 자리를 나머지 네 배로 더합니다.결과는 16으로 나뉠 수 있어야 합니다.	176: 1 × 4 + 76 = 80. 1,168: 11 × 4 + 68 = 112.
	마지막 네 자리는 16으로 나누어져야 합니다.^[2]^[3]	157,648: 7,648 = 478 × 16.
	한 자리 숫자의 합, 십 자리 숫자의 두 배, 백 자리 숫자의 네 배, 천 자리 숫자의 여덟 배는 16으로 나눕니다.	157,648: 7 × 8 + 6 × 4 + 4 × 2 + 8 = 96
17	나머지에서 끝자리의 5배를 뺀다. (51을 17로 나눌 수 있으므로 가능합니다.)	221: 22 − 1 × 5 = 17.
	나머지 두 배에서 마지막 두 자리를 뺀다. (102는 17로 나눌 수 있으므로 가능)	4,675: 46 × 2 − 75 = 17.
	끝자리의 2배를 나머지의 3배로 더합니다.후행 0을 떨어뜨립니다. ((10a + b) × 2 - 17a = 3a + 2b이므로 작동합니다; 17은 소수이고 2는 17과 동치이므로, 3a + 2b는 10a + b인 경우에만 17로 나눕니다.)	4,675: 467 × 3 + 5 × 2 = 1,411; 238: 23 × 3 + 8 × 2 = 85.
18	2와 9로 나눕니다.^[6]	342: 2와 9로 나눕니다.
19	나머지에 뒷자리의 두 배를 더합니다. (10a + b) × 2 - 19a = a + 2b이므로 작동합니다; 19는 소수이고 2는 19와 동치이므로, a + 2b는 10a + b인 경우에만 19로 나눕니다.)	437: 43 + 7 × 2 = 57.
19	나머지 두 자리에 마지막 두 자리의 4배를 더합니다. (399는 19로 나눌 수 있으므로 가능합니다.	6,935: 69 + 35 × 4 = 209.
20	10으로 나눌 수 있고, 십진자리는 짝수입니다.	360: 10으로 나뉠 수 있고, 6은 짝수입니다.
	마지막 두 자리로 이루어진 숫자는 20으로 나눕니다.^[3]	480:80은 20으로 나눕니다.
	4와 5로 나눕니다.	480: 4와 5로 나눌 수 있습니다.
21	나머지에서 끝자리의 두 배를 빼면 21의 배수가 됩니다. ((10a + b) × 2 - 21a = -a + 2b; 마지막 숫자의 나머지는 10a + b와 같습니다.)	168: 16 − 8 × 2 = 0.
21	3과 7로 나눕니다.^[6]	231: 3과 7로 나눕니다.
22	2와 11로 나눕니다.^[6]	352: 2와 11로 나뉠 수 있습니다.
23	나머지 숫자에 끝자리의 7배를 더합니다. (69를 23으로 나눌 수 있으므로 가능합니다.)	3,128: 312 + 8 × 7 = 368. 36 + 8 × 7 = 92.
	나머지 두 자리에 마지막 두 자리의 3배를 더합니다. (299는 23으로 나눌 수 있으므로 가능합니다.)	1,725: 17 + 25 × 3 = 92.
	나머지에서 마지막 세 자리의 두 배를 뺀다. (2,001을 23으로 나눌 수 있으므로 가능하다.	2,068,965: 2,068 − 965 × 2 = 138.
24	3과 8로 나눕니다.^[6]	552: 3과 8로 나눕니다.
25	마지막 두 자리는 00, 25, 50 또는 75입니다.	134,250:50은 25로 나뉠 수 있습니다.
26	2와 13으로 나눕니다.^[6]	156: 2와 13으로 나눕니다.
26	나머지 숫자의 2배에서 끝자리의 5배를 빼면 26의 배수가 됩니다. (52를 26으로 나눌 수 있으므로 가능합니다.)	1,248 : (124 ×2) - (8×5) = 208 = 26 × 8
27	오른쪽에서 왼쪽으로 세 개의 블록으로 숫자를 합합니다. (999는 27로 나뉠 수 있기 때문에 작동합니다.	2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918.
	나머지에서 끝자리의 8배를 뺀다. (81은 27로 나눌 수 있으므로 가능합니다.	621: 62 − 1 × 8 = 54.
	나머지의 8배에서 마지막 두 자리를 뺀다. (108는 27로 나눌 수 있기 때문에 가능합니다.	6,507: 65 × 8 − 7 = 520 − 7 = 513 = 27 × 19.
28	4와 7로 나눕니다.^[6]	140: 4와 7로 나눕니다.
29	나머지 숫자에 끝자리의 세 배를 더합니다. (10a + b) × 3 - 29a = a + 3b; 마지막 숫자의 나머지 값은 10a + b와 같습니다.)	348: 34 + 8 × 3 = 58.
	나머지 두 자리에 마지막 두 자리의 9배를 더하면 됩니다. (899는 29로 나눌 수 있으므로 가능합니다.)	5,510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
	나머지에서 마지막 세 자리의 두 배를 뺀다. (2,001을 29로 나눌 수 있으므로 가능하다.	2,086,956: 2,086 − 956 × 2 = 174.
30	3과 10으로 나눕니다.^[6]	270: 3과 10으로 나눕니다.

단계별 예제

2로 나눗셈

먼저 임의의 숫자를 선택하고(이 예에서는 376이 됩니다), 숫자의 마지막 숫자를 기록하고 나머지 숫자는 버립니다.그런 다음 나머지 숫자를 무시한 채 그 숫자 (6)을 취해 2로 나눌 수 있는지 확인합니다.만약 2로 나눌 수 있다면 원래의 숫자는 2로 나눌 수 있습니다.

예

376 (원번호)
376(마지막 자리 차지)
6 ÷ 2 = 3 (끝자리가 2로 구분되는지 확인)
376 ÷ 2 = 188 (끝자리가 2로 나뉠 경우, 전체 숫자는 2로 나뉠 수 있음)

3 또는 9로 나눕니다.

먼저 임의의 숫자를 구하고(이 예에서는 492가 됩니다) 숫자의 각 숫자를 합합니다(4 + 9 + 2 = 15).그런 다음 그 합(15)을 구하고 3으로 나눌 수 있는지 확인합니다.원래 숫자는 숫자의 합이 3(또는 9)으로 나눌 수 있는 경우에만 3(또는 9)으로 나눌 수 있습니다.

숫자의 숫자를 위로 더한 다음 한 자리만 남을 때까지 결과와 함께 이 과정을 반복하면 원래 숫자를 9로 나눈 나머지가 됩니다(단, 숫자 자체가 9로 나뉘고 나머지가 0인 경우가 아니라면).

이것은 모든 표준 위치 체계에 일반화될 수 있는데, 이 체계에서 문제의 나눗셈이 기수보다 1이 적습니다. 따라서 기본 12에서 숫자는 11로 나누면 원래 숫자의 나머지까지 더해지며, 숫자 합이 11로 나눌 수 있는 경우에만 숫자는 11로 나눗셈됩니다.

예.

492(원번호)
4 + 9 + 2 = 15 (각 개별 숫자를 함께 추가)
15는 3으로 나눌 수 있고, 그 지점에서 멈출 수 있습니다.또는 숫자가 여전히 너무 클 경우 동일한 방법을 계속 사용할 수 있습니다.
1 + 5 = 6 (각 숫자를 함께 추가)
6 ÷ 3 = 2 (수신된 번호가 3으로 나뉠 수 있는지 확인)
492 ÷ 3 = 164 (규칙을 사용하여 얻은 수를 3으로 나눌 경우, 전체 수는 3으로 나눌 수 있음)

4로 나눗셈

4로 나뉠 수 있는 기본 규칙은 어떤 숫자의 마지막 두 자리로 이루어진 숫자가 4로 나뉠 때 원래의 숫자는 4로 나뉠 수 있다는 것입니다.^[2]^[3] 왜냐하면 100은 4로 나뉠 수 있기 때문에 수백, 수천 등을 더하면 단순히 4로 나뉠 수 있는 다른 숫자를 더하는 것이기 때문입니다.만약 당신이 알고 있는 두 자리 숫자로 끝나는 어떤 숫자가 4로 분할된다면(예: 24, 04, 08 등), 마지막 두 자리 숫자 앞에 무엇이 있는지에 관계없이 전체 숫자는 4로 분할됩니다.

또는 마지막 숫자의 절반을 두 번째 숫자(또는 나머지 숫자)에 추가할 수 있습니다.만약 그 숫자가 짝수 자연수라면, 원래의 숫자는 4로 나눌 수 있습니다.

또한, 단순히 숫자를 2로 나눈 다음 결과를 확인하여 2로 나눌 수 있는지 확인할 수 있습니다.그렇다면 원래의 숫자는 4로 나눌 수 있습니다.또한, 이 테스트의 결과는 원래의 숫자를 4로 나눈 것과 같습니다.

예.
일반규칙

2092(원번호)
2092 (숫자의 마지막 두 자리를 차지하고 다른 자리는 버립니다.)
92 ÷ 4 = 23 (숫자가 4로 나누어지는지 확인)
2092 ÷ 4 = 523 (획득한 숫자가 4로 나뉠 경우, 원래의 숫자는 4로 나뉠 수 있음)

세컨드 메소드

6174 (원번)
끝자리가 짝수인지 확인하고 그렇지 않으면 6174를 4로 나눌 수 없습니다.
617 4 (나머지 숫자에서 뒷자리 2자리 구분)
4 ÷ 2 = 2 (끝자리를 2로 나눈 값)
7 + 2 = 9 (끝자리의 절반을 두 끝자리에 추가)
9는 짝수가 아니기 때문에 6174는 4로 나눌 수 없습니다.

세번째 방법

1720 (원래 번호)
1720 ÷ 2 = 860 (원래 번호를 2로 나눕니다)
860 ÷ 2 = 430 (결과가 2로 나뉠 수 있는지 확인)
1720 ÷ 4 = 430 (결과가 2로 나뉠 경우, 원래 숫자는 4로 나뉠 수 있음)

5로 나눗셈

5로 나누는 것은 숫자의 끝자리를 확인하고(475), 0인지 5인지를 확인하면 쉽게 알 수 있습니다.마지막 숫자가 0 또는 5이면 전체 숫자는 5로 나눕니다.^[2]^[3]

숫자의 끝자리가 0이면 나머지 자리에 2를 곱한 결과가 됩니다.예를 들어, 숫자 40은 0으로 끝나므로 나머지 숫자 (4)를 구하고 2를 곱합니다 (4 × 2 = 8).결과는 40을 5(40/5 = 8)로 나눈 결과와 동일합니다.

숫자의 끝자리가 5이면 나머지 숫자에 2를 곱한 값에 1을 더한 값이 됩니다.예를 들어, 숫자 125는 a 5로 끝나므로 나머지 숫자 (12)를 구하고 2를 곱한 다음 (12 × 2 = 24), 1을 더합니다 (24 + 1 = 25).결과는 125를 5로 나눈 결과와 같습니다(125/5=25).

예.
끝자리가 0인 경우

110 (원래 번호)
110 (숫자 끝자리를 잡고 0인지 5인지 확인)
~~110~~ (0인 경우 마지막 숫자를 버리고 남은 숫자를 채웁니다.)
11 x 2 = 22 (결과에 2를 곱함)
110 ÷ 5 = 22 (결과는 원래 숫자를 5로 나눈 것과 같습니다)

끝자리가 5인 경우

85 (원번호)
85 (숫자 끝자리를 잡고 0인지 5인지 확인)
85 (5일 경우 마지막 숫자는 버리고 나머지 숫자를 채웁니다.)
8 x 2 = 16 (결과에 2를 곱함)
16 + 1 = 17 (결과에 1 더하기)
85 ÷ 5 = 17 (결과는 원래 숫자를 5로 나눈 것과 같습니다)

6으로 나눗셈

6으로 나눗셈은 원래 숫자를 확인하여 짝수(2로 나눗셈)와 3으로 나눗셈 할 수 있는지 여부를 확인합니다.^[6]이것은 사용하기에 가장 좋은 테스트입니다.

숫자가 6으로 나눌 수 있는 경우, 원래의 숫자(246)를 구하고 2로 나누면 됩니다(246 ÷ 2 = 123).그 다음 그 결과를 구하고 3으로 나눕니다(123 ÷ 3 = 41).이 결과는 원래 숫자를 6으로 나눈 것과 같습니다(246 ÷ 6 = 41).

예.

일반규칙

324 (원번호)
324 ÷ 3 = 108 (원래 숫자가 3으로 나뉠 수 있는지 확인)
324 ÷ 2 = 162 OR 108 ÷ 2 = 54 (앞 식의 원래 수 또는 결과가 2로 나뉠 수 있는지 확인)
324 ÷ 6 = 54 (마지막 단계의 두 검정 중 하나라도 참이면 원래 숫자를 6으로 나눌 수 있습니다.또한 2차 테스트 결과는 원래의 숫자를 6)으로 나눈 것과 동일한 결과를 반환합니다.

6으로 나누었을 때 숫자의 나머지 찾기: (1, -2, -2, -2, -2) 주기 없음 -- 최소 크기 수열; (나머지는 1, 4, 4, 4, 4, 4) -- 양의 수열; 순서대로 맨 오른쪽 끝자리에 왼쪽 끝자리를 곱하고 맨 오른쪽 두 번째 끝자리에 왼쪽 두 번째 끝자리를 곱합니다.; 다음으로 모든 값의 합을 계산하고 나머지를 6으로 나눗셈합니다.

예:1036125837을 6으로 나누었을 때 나머지는 얼마입니까?

맨 오른쪽 숫자의 곱하기 = 1 × 7 = 7

맨 오른쪽 두 번째 숫자의 곱하기 = 3 × -2 = -6

맨 오른쪽 세 번째 숫자 = -16

맨 오른쪽 네 번째 숫자 = -10

맨 오른쪽 다섯 번째 숫자 = -4

여섯 번째 맨 오른쪽 숫자 = -2

맨 오른쪽 일곱 번째 숫자 = -12

맨 오른쪽 여덟 번째 숫자 = -6

맨 오른쪽 아홉 번째 숫자 = 0

맨 오른쪽 열 번째 숫자 = -2

합계 = -51

−51 ≡ 3 (mod 6)

나머지 = 3

7로 나눗셈

재귀적 방법으로 7로 나뉠 수 있습니다.10x + y 형태의 수는 x - 2y가 7로 나뉠 경우에만 7로 나뉠 수 있습니다.즉, 나머지 숫자로 구성된 숫자에서 마지막 숫자의 두 배를 뺀 것입니다.7로 나눌 수 있는지 알 수 있는 숫자가 나올 때까지 이 작업을 계속합니다.이 절차를 통해 얻은 숫자가 7로 분할되는 경우에만 원래의 숫자를 7로 분할할 수 있습니다.예를 들어 숫자 371: 37 - (2 x 1) = 37 - 2 = 35; 3 - (2 x 5) = 3 - 10 = - 7로 나눌 수 있으므로 -7은 7로 나눌 수 있습니다.

마찬가지로 10x + y 형태의 수는 x + 5y가 7로 분할되는 경우에만 7로 분할됩니다.^[8]따라서 나머지 숫자들로 구성된 숫자에 마지막 숫자의 5배를 더하고, 7로 나뉠 수 있는 숫자가 나올 때까지 이 작업을 계속합니다.^[9]

또 다른 방법은 3을 곱하는 것입니다.10x + y 형태의 수는 7로 나눌 때 3x + y와 같은 나머지를 갖습니다.원래 숫자의 맨 왼쪽 숫자에 3을 곱하고, 다음 숫자를 더하고, 7로 나누었을 때 나머지를 취하고, 처음부터 계속해야 합니다: 3을 곱하고, 다음 숫자를 더하는 등.예를 들어, 숫자 371: 3×3 + 7 = 16 나머지 2, 2×3 + 1 = 7.이 방법은 나눗셈의 나머지를 7로 구하는 데 사용할 수 있습니다.

7에 의한 나눗셈을 테스트하는 더 복잡한 알고리즘은 10개의 ≡ 1, 10개의 ≡ 3, 10개의 ≡ 2, 10개의 ≡ 6, 10개의 ≡ 4, 10개의 ≡ 5, 10개의 ≡ 1, ...(mod 7)을 사용합니다.숫자 (371)의 각 자리를 역순(173)으로 잡고, 숫자 1, 3, 2, 6, 4, 5를 연속으로 곱하고, 필요한 만큼 길게 (1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...), 곱을 더합니다 (1×1 + 7×3 + 3×2 = 1 + 21 + 6 = 28).이 절차를 통해 얻은 숫자가 7로 분할되는 경우에만 원래의 숫자는 7로 분할됩니다(따라서 371은 28이므로 7로 분할됩니다).^[10]

이 방법은 곱셈의 필요성을 제거함으로써 단순화할 수 있습니다.이 단순화를 위해 필요한 것은 위의 순서(132645...)를 기억하고 덧셈과 뺄셈을 하지만 항상 한 자리 숫자로 작업하는 것입니다.

단순화는 다음과 같습니다.

371이라는 숫자를 예로 들어보겠습니다.
7, 8, 9의 모든 발생을 각각 0, 1, 2로 변경합니다.이 예제에서는 301을 얻습니다.이 두 번째 단계는 가장 왼쪽 숫자를 제외하고 건너뛸 수 있지만 나중에 계산이 용이해질 수 있습니다.
이제 첫 번째 숫자(3)를 순서 13264513의 다음 숫자로 변환합니다.우리 예에서 3은 2가 됩니다.
앞 단계 (2)의 결과를 숫자의 두 번째 자리에 더하고, 나머지 모든 자리를 수정하지 않은 채로 두 자리 모두에 대입합니다: 2 + 0 = 2. 그리하여 301은 21이 됩니다.
인식 가능한 7의 배수가 나오거나 0과 6 사이의 숫자가 나올 때까지 이 절차를 반복합니다.따라서 21(7의 인지할 수 있는 배수)부터 시작하여 앞의 숫자 (2)를 취하여 위의 순서대로 다음과 같이 변환합니다: 2는 6이 됩니다.그런 다음 이것을 두 번째 숫자인 6 + 1 = 7에 더합니다.
만약 어떤 점에서 첫 번째 숫자가 8 또는 9이면, 이것들은 각각 1 또는 2가 됩니다.그러나 7이면 0이 되어야 하며, 다른 숫자가 뒤따르지 않는 경우에만 0이 됩니다.그렇지 않으면 그냥 떨어뜨려야 합니다.그 7은 0이 되었을 것이고, 소수점 앞에 적어도 두 자리 수가 있는 숫자는 0으로 시작하지 않기 때문에 쓸모가 없습니다.이에 따르면 우리의 7은 0이 됩니다.

이 절차를 통해 0 또는 인식 가능한 7의 배수를 얻으면 원래 숫자는 7의 배수가 됩니다.만약 당신이 1에서 6 사이의 숫자를 얻는다면, 그것은 당신이 7의 배수를 얻기 위해 원래의 숫자에서 어느 정도를 빼야 하는지를 나타낼 것입니다.즉, 숫자를 7로 나눈 나머지를 찾을 수 있습니다.예를 들어, 186이라는 숫자를 예로 들 수 있습니다.

먼저 8을 1:116으로 바꿉니다.
이제 수열 (3)에서 1을 다음 숫자로 바꾸어 두 번째 숫자에 더하고 둘 다 대신 결과를 쓰시오: 3 + 1 = 4. 그래서 116은 이제 46이 됩니다.
숫자가 7보다 크므로 절차를 반복합니다.이제 4는 5가 되는데, 이는 6에 더해져야 합니다.11입니다.
절차를 한 번 더 반복합니다. 1은 3이 되고, 이는 두 번째 숫자(1)에 더해집니다. 3 + 1 = 4.

이제 우리는 7보다 작은 숫자를 가지게 되었고, 이 숫자 (4)는 186/7을 나누는 나머지입니다.따라서 186에서 4를 뺀 182는 7의 배수임에 틀림없습니다.

참고: 이것이 작동하는 이유는 만약 우리가 a+b=c이고 b가 주어진 수 n의 배수라면, a와 c는 n으로 나눌 때 반드시 같은 나머지를 만들어낼 것이기 때문입니다.즉, 2 + 7 = 9에서 7은 7로 나눕니다.따라서 2와 9를 7로 나누면 나머지가 같아야 합니다.나머지는 2입니다.

따라서 숫자 n이 7의 배수인 경우(즉, n/7의 나머지는 0), 7의 배수를 더하면(또는 뺄셈) 해당 속성을 변경할 수 없습니다.

대부분의 나눗셈 규칙에서 위에서 설명한 것처럼 이 절차가 수행하는 일은 단순히 원래 숫자에서 7의 배수를 조금씩 빼서 우리가 7의 배수인지 기억할 수 있을 정도로 작은 수에 도달하는 것입니다. 만약 1이 다음 소수점 위치에서 3이 된다면 이는 10×10을ⁿ 3×10으로ⁿ 변환하는 것과 같습니다.그리고 이는 실제로 10×10에서ⁿ 7×10ⁿ(분명히 7의 배수)을 뺀 것과 같습니다.

마찬가지로 다음 소수점 위치에서 3을 2로 바꾸면 30×10을ⁿ 2×10으로ⁿ 바꾸는 것으로 30×10-28ⁿ×10을ⁿ 뺀 것과 같고, 이것은 다시 7의 배수를 뺀 것입니다.나머지 모든 변환에도 동일한 이유가 적용됩니다.

20x10 - 6x10=14x10
60*10 - 4*10=56*10
40x10 - 5x10=35x10
50x10 - 1x10=49x10

첫 번째 방법 예제
1050 → 105 - 0 = 105 → 10 - 10 = 0. 답변: 1050은 7로 나뉠 수 있습니다.

두번째 방법 예제
1050 → 0501 (reverse) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (multiply 및 추가).답변: 1050은 7로 나눕니다.

진동에 의한 베딕식 분할법
7로 나눗셈은 에하디카의 곱셈으로 테스트할 수 있습니다.7에 7을 곱하여 7을 9족으로 변환합니다.7×7=49.하나를 더하면, 단위 숫자를 떨어뜨리고, 5를 곱하기로 하면, Ekhadika를 받습니다.오른쪽부터.여기에 5를 곱하면 왼쪽 다음 자리에 제품이 추가됩니다.그 숫자 아래 줄에 그 결과를 적어 놓으십시오.단위 숫자에 5를 곱하고 그 곱을 수십 개로 더하는 방법을 반복합니다.결과를 왼쪽의 다음 자리에 추가합니다.그 결과를 숫자 아래에 적으세요.끝까지.결과가 0이거나 7의 배수이면, 예, 숫자는 7로 나뉠 수 있습니다.그렇지 않으면 그렇지 않습니다.이것은 베다의 이상적인 한 줄 표기법을 따릅니다.^[11]^{[unreliable source?]}

베딕 방법의 예:

438,722,025는 7로 나눌 수 있습니까?승수 = 5.4 3 8 7 2 2 5 42 37 46 37 6 40 37 27 YES

폴만-질량 7로 나누는 방법
Pohlman-Mass 방법은 대부분의 정수가 세 단계 이하로 7로 분할되는지 여부를 결정할 수 있는 빠른 해를 제공합니다.이 방법은 MATHCOUNTS와 같은 수학 경기에서 유용할 수 있습니다. 여기서 시간은 스프린트 라운드에서 계산기 없이 해를 결정하는 요소입니다.

A단계: 정수가 1000 이하이면 나머지 숫자에서 끝자리의 두 배를 뺀다.결과가 7의 배수이면 원래의 숫자도 마찬가지입니다.예를 들어,

112 -> 11 - (2x2) = 11 - 4 = 7 YES 98 -> 9 - (8x2) = 9 - 16 = - 7 YES 634 -> 63 - (4x2) = 63 - 8 = 55 NO

1001은 7로 나뉠 수 있기 때문에 6자리 숫자를 형성하는 1, 2, 3자리 반복 집합에 대해 흥미로운 패턴이 발생합니다(선행 0이 허용됨).예를 들어,

001 001 = 1,001 / 7 = 143 010 010 = 10,010 / 7 = 1,430 011 011 = 11,011 / 7 = 1,573 100 100 = 100,100 / 7 = 14,300 101 101 = 101,101 / 7 = 14,443 110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443 10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15,873 222,222 / 7 = 31,746 999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

위의 모든 예에서 마지막 세 자리에서 처음 세 자리를 빼면 7의 배수가 됩니다.선두의 0은 6자리 패턴을 형성할 수 있습니다.

이 현상은 B단계와 C단계의 기초를 형성합니다.

단계 B: 정수가 1001에서 100만 사이인 경우 정수에 가까운 6자리 숫자를 형성하는 1, 2, 3자리 반복 패턴을 찾습니다(선행 0이 허용되며 패턴을 시각화하는 데 도움이 됩니다).양의 차이가 1000 미만이면 A 단계를 적용합니다.마지막 세 자리에서 처음 세 자리를 빼면 됩니다.예를 들어,

341,355 - 341,341 = 14 -> 1 - (4x2) = 1 - 8 = - 7 YES 67,326 - 067,067 = 259 -> 25 - (9x2) = 25 - 18 = 7 YES

999,999가 7의 배수라는 것은 B 단계를 이용하여 정수를 6자리 숫자로 줄임으로써 100만보다 큰 정수의 나눗셈을 결정하는 데 사용될 수 있습니다.이 작업은 처음 6자리의 왼쪽 숫자를 마지막 6자리에 추가하고 A 단계를 따라가면 쉽게 수행할 수 있습니다.

C단계: 정수가 100만 이상일 경우 가장 가까운 배수인 999,999를 뺀 후 B단계를 적용합니다.숫자가 더 큰 경우에는 12자리(999,999,999,999)와 같은 큰 집합을 사용합니다.그런 다음 정수를 B 단계를 사용하여 풀 수 있는 더 작은 수로 나눕니다.예를 들어,

22,862,420 - (999,999 x 22) = 22,862,420 - 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442 (B단계) = 420 -> 42 - (0 x 2) (A단계) = 42 YES

이를 통해 세 자리 수의 교대 집합을 더하고 뺄 수 있어 7로 나눗셈 가능 여부를 결정할 수 있습니다.이러한 패턴을 이해하면 다음 예제에서 볼 수 있듯이 7의 나눗셈을 신속하게 계산할 수 있습니다.

폴만-질량 7로 나누는 방법은 다음과 같습니다.

98을 7로 나눌 수 있습니까? 98 -> 9 - (8x2) = 9 - 16 = - 7 YES (A단계)

634를 7로 나눌 수 있습니까? 634 -> 63 - (4x2) = 63 - 8 = 55 NO (A단계)

355,341은 7로 나눌 수 있습니까?355,341 - 341,341 = 14,000 (B단계) -> 014 - 000 (B단계) -> 14 = 1 - (4x2) (A단계) = 1 - 8 = - 7 YES

42,341,530을 7로 나눌 수 있습니까? 42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (C단계) 341,572 - 341,341 = 231 (B단계) 231 -> 23 - (1×2) = 23 - 2 = 21 YES (A단계)

빠른 덧셈과 뺄셈을 번갈아 사용: 42,341,530 -> 530 - 341 + 42 = 189 + 42 = 23 - (1x2) = 21 YES

3가지 방법에 7을 곱하면 다음과 같습니다.

98은 7로 나뉠 수 있습니까? 98 -> 9 나머지 2 -> 2x3 + 8 = 14 YES

634를 7로 나눌 수 있습니까? 634 -> 6x3 + 3 = 21 -> 나머지 0 -> 0x3 + 4 = 4 NO

355,341은 7로 나눌 수 있습니까?3 × 3 + 5 = 14 -> 나머지 0 -> 0 × 3 + 5 = 5 -> 5 × 3 + 3 = 18 -> 나머지 4 -> 4 × 3 + 4 = 16 -> 나머지 2 -> 2 × 3 + 1 = 7 YES

1036125837의 나머지를 7 1×3 + 0 = 3 3×3 + 3 = 12 나머지 5×3 + 6 = 21 나머지 0×3 + 1 = 1 1×3 + 2 = 55×3 + 5 = 20 나머지 6 6×3 + 8 = 26 나머지 5×3 + 3 = 18 나머지 4×3 + 7 = 19 나머지 5 정답은 5입니다.

7로 나누었을 때 나머지 숫자 찾기

7 - (1, 3, 2, -1, -3, -2, 다음 여섯 자리까지 순환 반복) 주기: 6자리반복 숫자: 1, 3, 2, -1, -3, -2
최소 규모 수열
(1, 3, 2, 6, 4, 5, 6, 5, 6자리는 순환 반복) 주기: 6자리반복 숫자: 1, 3, 2, 6, 4, 5
양순

맨 오른쪽 끝자리와 맨 왼쪽 끝자리를 곱하고 맨 오른쪽 두 번째 자리와 맨 왼쪽 두 번째 자리를 곱합니다.다음으로 모든 값의 합을 계산하고 모듈러스 7을 구합니다.
예:1036125837을 7로 나누었을 때 나머지는 얼마입니까?

맨 오른쪽 숫자의 곱하기 = 1 × 7 = 7

맨 오른쪽 두 번째 숫자의 곱하기 = 3 × 3 = 9

맨 오른쪽 세 번째 숫자 = 8 × 2 = 16

맨 오른쪽 네 번째 숫자 = 5 × -1 = -5

맨 오른쪽 다섯 번째 숫자 = 2 × -3 = -6

여섯 번째 맨 오른쪽 숫자 = 1 × -2 = -2

맨 오른쪽 일곱 번째 숫자 = 6 × 1 = 6

여덟 번째 맨 오른쪽 숫자 = 3 × 3 = 9

맨 오른쪽 아홉 번째 숫자 = 0

맨 오른쪽 열 번째 숫자 = 1 × -1 = -1

합 = 33

33 모듈러스 7 = 5

나머지 = 5

7로 나눗셈하는 숫자 쌍 방법

이 방법은 숫자 쌍에 1, -3, 2 패턴을 사용합니다.즉, 숫자를 먼저 숫자 쌍으로 분리한 다음 세 개의 숫자 쌍(6자리)에 알고리즘을 적용하여 임의의 숫자를 7로 나누는 것을 테스트할 수 있습니다.숫자가 6자리보다 작으면 6자리가 될 때까지 오른쪽에 0을 채웁니다.숫자가 6자리보다 크면 다음 6자리 그룹에서 사이클을 반복한 다음 결과를 추가합니다.결과가 작은 숫자가 될 때까지 알고리즘을 반복합니다.이 알고리즘을 사용하여 얻은 숫자가 7로 나뉠 경우에만 원래의 숫자는 7로 나뉠 수 있습니다.이 방법은 특히 큰 수에 적합합니다.

예 1:
테스트할 번호는 157514입니다.먼저 숫자를 15, 75, 14의 세 자리 쌍으로 나눕니다.
그런 다음 알고리즘을 적용합니다: 1 × 15 - 3 × 75 + 2 × 14 = 182
그 결과 182는 6자리 미만이기 때문에 6자리가 될 때까지 오른쪽에 0을 더합니다.
그런 다음 알고리즘을 다시 적용합니다: 1 × 18 - 3 × 20 + 2 × 0 = -42
결과 -42는 7로 나뉠 수 있으므로 원래의 숫자 157514는 7로 나뉠 수 있습니다.

예 2:
테스트할 번호는 15751537186입니다.
(1 × 15 - 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 - 3 × 18 + 2 × 60) = -180 + 103 = -77
-77은 7로 나뉠 수 있으므로, 원래의 숫자 15751537186은 7로 나뉠 수 있습니다.

7로 나누는 또 다른 숫자 쌍 방법

방법

이 방법은 7로 나눌 때 남은 수를 찾는 비재귀적 방법입니다.

숫자를 한 자리부터 시작하는 숫자 쌍으로 분리합니다.필요한 경우 숫자 앞에 0을 붙여 마지막 쌍을 완성합니다.
각 숫자 쌍이 7로 나눈 나머지 값을 계산합니다.
나머지에 수열 1, 2, 4, 1, 2, 4, ...의 적절한 승수를 곱합니다. 1자리와 10자리로 구성된 숫자 쌍의 나머지는 1, 수백, 수천, 2, 만년, 4,000, 천만, 다시 1을 곱해야 합니다.
제품별로 남은 잔량을 7로 나누어 계산합니다.
나머지 항목을 추가합니다.
7로 나누었을 때 합의 나머지는 7로 나누었을 때 주어진 숫자의 나머지입니다.

예를 들어,

194,536이라는 숫자는 6을 7로 나눈 나머지를 남습니다.

숫자 510,517,813은 나머지 1을 7로 나눈다.

방법의 정확성 증명

이 방법은 7로 나누면 100이 2의 나머지를 남긴다는 관측치를 기반으로 합니다.그리고 숫자를 숫자 쌍으로 나누기 때문에 우리는 기본적으로 100의 거듭제곱을 갖습니다.

1 mod 7 = 1

100 mod 7 = 2

10,000 mod 7 = 2^2 = 4

1,000,000 mod 7 = 2^3 = 8; 8 mod 7 = 1

100,000,000 mod 7 = 2^4 = 16; 16 mod 7 = 2

10,000,000,000 mod 7 = 2^5 = 32; 32 mod 7 = 4

뭐 이런 거.

방법의 정확성은 다음과 같은 균등 연쇄에 의해 결정됩니다.

N을 지정된 숫자 ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$ 2 ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$ ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$ ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$ ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$ - ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$ 1 이라고 하자 ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$ ... ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$ ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$ a ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$ 1 ¯ {\ $displaystyle {a_{2n}$ a_{ $2n-1}...$ $a_{2}a_{1$

${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}\mod 7$

$[\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1})\times 10^{2k-2}]{\bmod {7}$

$\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}$

$\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\time(10^{2k-2}{\bmod {7})$

13으로 나눗셈

나머지 테스트 13 (1, -3, -4, -1, 3, 4, 사이클 계속)음수가 마음에 들지 않으면 이 순서를 사용합니다. (1, 10, 9, 12, 3, 4)

위에 표시된 순서에서 가장 왼쪽 숫자와 숫자의 가장 오른쪽 숫자를 곱하고 두 번째로 가장 오른쪽 숫자를 순서에서 두 번째로 왼쪽 숫자에 곱합니다.순환은 계속됩니다.

예:321을 13으로 나누면 나머지는 얼마입니까?
첫번째 순서를 이용해서
Ans : 1 × 1 + 2 × -3 + 3 × -4 = -17
나머지 = -17 mod 13 = 9

예:1234567을 13으로 나누었을 때 나머지는 얼마입니까?
두번째 순서를 이용하면,
정답: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 mod 13 = 9
나머지 = 9

$10=-3{\bmod {1}}3$ = - $10=-3{\bmod {1}}3$ $10=-3{\bmod {1}}3$ 1 $10=-3{\bmod {1}}3$ ${\displaystyle 10$ =- $3{\bmod {1}}3$ 과 $10^{-1}=4{\bmod {1}}3$ - $10^{-1}=4{\bmod {1}}3$ = $10^{-1}=4{\bmod {1}}3$ $10^{-1}=4{\bmod {1}}3$ 1 $10^{-1}=4{\bmod {1}}3$ ${\displaystyle 10^{-1$ }= $4{\bmod {1}}3$ 을 사용하여 재귀적 방법을 도출할 수 있습니다 $10^{-1}=4{\bmod {1}}3$ 첫 번째 숫자를 제거하고 새 첫 번째 숫자에서 해당 숫자의 3배를 빼면 숫자가 13으로 분할된다는 의미입니다.f x + 4 y 가 13으로 나뉠 경우 10 x + y 가 나뉠 수 있다는 규칙도 있습니다.예를 들어, 1761의 나눗셈을 13까지 검정하기 위해 첫 번째 규칙에 의해 이것을 461의 나눗셈으로 줄일 수 있습니다.두 번째 규칙을 사용하면 분할 가능성이 50으로 줄어듭니다. 그러면 다시 5가 됩니다.따라서 1761은 13으로 나뉠 수 없습니다.

이런 식으로 871을 검사하면 두 번째 규칙을 사용하여 91의 나눗셈으로 감소하고, 그 다음에 다시 해당 규칙을 사용하면 871이 13으로 나눗셈됨을 알 수 있습니다.

30 이상

숫자의 나눗셈 속성은 나눗셈의 종류에 따라 두 가지 방법으로 결정할 수 있습니다.

합성 나눗셈

어떤 수가 각 소인수의 가장 높은 거듭제곱으로 나뉠 경우 해당 소인수로 나뉠 수 있습니다.예를 들어, 36으로 나눗셈을 결정하려면 4로 나눗셈하고 9로 나눗셈을 선택합니다.^[6]3과 12, 또는 2와 18을 확인하는 것으로는 충분하지 않습니다.소수 요인 표가 유용할 수 있습니다.

복합 분할자는 또한 아래에 주어진 일차 분할자와 동일한 절차를 사용하여 규칙을 형성할 수 있으며, 관련된 조작이 분할자에 존재하는 인자를 도입하지 않을 수 있다는 점에 유의해야 합니다.예를 들어, 방정식에 7을 곱하는 14에 대한 규칙을 만들 수 없습니다.이것은 더 작은 요소가 없기 때문에 소수에게 문제가 되지 않습니다.

소수점

목표는 고려 중인 소수에서 10개의 모듈로의 역수를 찾는 것입니다(2개 또는 5개의 경우에는 작동하지 않음). 그리고 이를 곱셈기로 사용하여 소수에 의한 원래 숫자의 나눗셈이 같은 소수에 의한 새로운 숫자의 나눗셈에 따라 달라지도록 하는 것입니다.31을 예로 들어 10 × (-3) = -30 = 1 mod 31이므로 아래 표에서 y - 3x를 사용하는 규칙을 얻습니다.마찬가지로, 10 × (28) = 280 = 1 mod 31 이므로, 우리는 같은 종류의 상보적 규칙 y + 28x를 얻습니다 - 덧셈 또는 뺄셈의 선택은 더 작은 값의 산술적 편의에 의해 결정됩니다.사실, 2와 5 이외의 소수에 대한 이 규칙은 실제로 상대적으로 소수에서 10까지의 정수(33과 39 포함; 아래 표 참조)로 나뉠 수 있는 규칙입니다.이것이 상대적으로 소수에서 10까지의 숫자에 대한 위와 아래 표의 마지막 나눗셈 조건이 같은 종류의 형태를 갖는 이유입니다(나머지 숫자에서 마지막 숫자의 배수를 더하거나 더합니다.

일반화 나눗셈 규칙

D가 1, 3, 7 또는 9로 끝나는 경우, D에 의한 나눗셈을 검정하려면 다음 방법을 사용할 수 있습니다.^[12]9로 끝나는 D의 배수를 구합니다. (D가 각각 1, 3, 7, 9로 끝나는 경우 9, 3, 7, 1을 곱합니다.)그리고 1을 더하고 결과를 m으로 나타내면서 10으로 나눕니다.그러면 숫자 N = 10t + q는 D로 분할할 수 있고 mq + t가 D로 분할할 경우에만 분할할 수 있습니다.숫자가 너무 크면 각각 10개 = 1 또는 10개 = -1(mod D)을 만족하는 e자리를 가진 여러 문자열로 나눌 수도 있습니다.숫자의 합(또는 대체 합)은 원래의 것과 동일한 분할성을 갖습니다.

예를 들어, 913 = 10x91 + 3이 11로 나뉠지 여부를 결정하려면 m = (11x9+1) ÷10 = 10임을 구합니다.그러면 mq+t = 10x3+91 = 121이고, 이것은 11로 나뉠 수 있습니다(계수 11로). 따라서 913도 11로 나뉠 수 있습니다.다른 예로, 689 = 10x68 + 9가 53으로 나뉠 수 있는지 확인하려면 m = (53x3+1) ÷10 = 16을 구합니다.그 다음 mq+t = 16x9 + 68 = 212로 53으로 나뉠 수 있습니다. 따라서 689도 53으로 나뉠 수 있습니다.

또는, 임의의 숫자 Q = 10c + d는 gcd(n, 2, 5) = 1, 만약 c + D(n)d = 일부 정수 A에 대하여: $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ ( $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ ≡ $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ { $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ a $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ + $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ = $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ + $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ + $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ = $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ + $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ + 5 $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ = $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ + 7 $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ + $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ 1, $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ = $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ + $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ + 1 $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$ $만약$ n = $10a$ + 9 {\displaystyle D $(n)\equiv {\$ case} $9a$ + $1,&{\mbox{if}}}{\mbox{$ = $10a$ + $1}}\3a$ + $1,&{\mbox{if}}}{\$ mbox ${$ = 1}}{\ $mbox$ {{ $1$ }}. $0a+3}},\7a+5,&{\mbox{if}},n{\mbox{=10a+7}},\a+1,&{\mbox{if}},n{\mbox{=10a+9}},{케이스}를 종료합니다.$

D(n)에 의해 생성된 수열의 처음 몇 개의 항은 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2, ...(OEIS의 수열 A333448)입니다.

2020년 3월 불가리아의 수학자 이반 스토이코프(Ivan Stoykov)가 D(n)의 조각적 형태와 그에 의해 생성된 서열을 최초로 발표했습니다.^[13]

프루프

기초대수를 이용한 증명

많은 단순한 규칙들은 대수적 조작만으로 만들어질 수 있고, 이항식을 만들고 그것들을 재정렬합니다.숫자를 각 자릿수 곱하기 10의 합으로 쓰면 각 자릿수의 힘을 개별적으로 조작할 수 있습니다.

모든자리를 합산하는 경우

이 방법은 10 - 1 = 9의 요인인 나눗셈에 적용됩니다.

예를 들어 3을 사용하면 3은 9 = 10 - 1을 나눕니다.즉, $10\equiv 1{\pmod {3}}$ ≡ $10\equiv 1{\pmod {3}}$ ( $10\equiv 1{\pmod {3}}$ $10\equiv 1{\pmod {3}}$ ) ${\displaystyle 10\equiv 1{\pmod {3}}}($ 모듈러 산술 참조)입니다.10: $10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}$ $10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}$ ≡ 1 $10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}$ ≡ 1 ( $10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}$ $10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}$ ${\displaystyle 10^{n}\equiv$ 1 $^{n}\equiv 1{\pmod {3}}$ 의 모든 상위 검정력에서 동일합니다. 모두 1 modulo 3에 해당합니다.합동 모듈로 3인 두 가지는 모두 3으로 나누거나 둘 다 나누지 않기 때문에 합동 모듈로 3인 값을 교환할 수 있습니다.따라서 다음과 같은 수에서 10의 모든 거듭제곱을 1로 치환할 수 있습니다.

100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c\equiv (1)a+(1)b+(1)c{\pmod {3}

정확히 숫자의 합입니다.

자릿수의 교대합을 사용하는 경우

이 방법은 10 + 1 = 11의 요인인 나눗셈에 적용됩니다.

11을 예로 들면, 11은 11 = 10 + 1로 나눕니다.즉, $10\equiv -1{\pmod {11}}$ ≡ - $10\equiv -1{\pmod {11}}$ ( $10\equiv -1{\pmod {11}}$ $10\equiv -1{\pmod {11}}$ ) $10\equiv -1{\pmod {11}$ 입니다 $10\equiv -1{\pmod {11}}$ 10의 높은 거듭제곱의 경우 짝수 거듭제곱의 경우 1, 홀수 거듭제곱의 경우 -1과 일치합니다.

10^{n}\equiv (-1)^{n}\equiv {\begin{case}1,&{\mbox{if}}}\n{\mbox{if}}\-1,&{\mbox{if}}n{\mbox{ is odd}}\end{case}}{\pmod {11}}

앞의 경우와 마찬가지로 10의 거듭제곱을 합동값으로 치환할 수 있습니다.

1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+1\cdot d\equiv (-1)a+(1)b+(-1)c+(1)d{\pmod {11}

홀수 위치의 자릿수 합과 짝수 위치의 자릿수 합 사이의 차이이기도 합니다.

끝자리만 중요한 경우

이것은 10의 거듭제곱의 계수인 나눗셈에 적용됩니다.이는 충분히 높은 기저의 거듭제곱들이 나눗셈부의 배수이므로 제거될 수 있기 때문입니다.

예를 들어, 10의¹ 요인에는 2, 5 및 10이 포함됩니다.따라서 2, 5, 10으로 나뉠 수 있는 것은 마지막 1자리가 해당 나눗셈으로 나눗셈 가능한지 여부에 따라 달라집니다.10의² 요인에는 4와 25가 포함되며, 마지막 두 자리 숫자에만 따라 나뉠 수 있습니다.

끝자리만 제거하는 경우

대부분의 숫자는 9 또는 10을 균등하게 나누지 않고 10 또는ⁿ 10ⁿ - 1의 더 높은 검정력을 나눕니다.이 경우 숫자는 여전히 10의 거듭제곱으로 쓰여 있지만 완전히 확장되지는 않습니다.

예를 들어, 7은 9나 10을 나누는 것이 아니라 100에 가까운 98을 나눕니다.따라서 에서 진행합니다.

100\cdot a+b

여기서 a는 임의의 정수이고, b는 0에서 99의 범위를 가질 수 있습니다.다음 분.

(98+2)\cdot a+b

그리고 다시 확장하는 것.

98\cdot a+2\cdot a+b,

그리고 알려진 7의 배수를 제거한 후 결과는

2\cdot a+b,

이것은 "마지막 두 자리 숫자를 제외한 모든 숫자를 두 배로 나눈 다음 마지막 두 자리 숫자를 더하라"는 규칙입니다.

끝자리에 인자를 곱한 경우

숫자의 표현은 또한 나눗셈을 변경하지 않고 나눗셈에 비교적 소수를 곱할 수 있습니다.7 나누기 21을 관찰한 후 다음을 수행할 수 있습니다.

10\cdot a+b,

2를 곱하면 이것은

20\cdot a+2\cdot b,

그리고 나서.

(21-1)\cdot a+2\cdot b.

21개의 기회를 없앤다

-1\cdot a+2\cdot b,

그리고 여기에 -1을 곱하면 됩니다.

a-2\cdot b.

수행하기 쉬운 규칙에 따라 마지막 두 규칙 중 하나를 사용할 수 있습니다.이들은 "나머지에서 끝자리의 두 배를 뺀다"는 규칙에 해당합니다.

모듈러 산술을 이용한 증명

이 섹션에서는 기본 방법에 대해 설명합니다. 모든 규칙은 동일한 절차에 따라 도출할 수 있습니다.다음은 모듈러 산술의 기본적인 기초가 필요합니다. 2와 5의 가분성 이외의 경우, 증명은 10과 m이 상대적으로 소수인 경우 10 mod m이 가역적이라는 기본적인 사실에 근거합니다.

2 또는ⁿ 5의 경우ⁿ:

마지막 n자리만 확인하면 됩니다.

10^{n}=2^{n}\cdot 5^{n}\equiv 0{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\} 5^{n}}

x를 $10^{n}\cdot y+z,$ ⋅ $10^{n}\cdot y+z,$ + $10^{n}\cdot y+z,$ 로 표현 $10^{n}\cdot y+z,$ $10^{n}\cdoty+z,$

x=10^{n}\cdoty+z\equiv z{\pmod {2^{n}\mathrm {\ 또는\} 5^{n}}}

그리고 x의 가분성은 z의 가분성과 같습니다.

7의 경우:

10 × 5 ≡ 10 × (-2) ≡ 1 (mod 7)이므로 다음을 수행할 수 있습니다.

x를 $10\cdot y+z,$ ⋅ $10\cdot y+z,$ + $10\cdot y+z,$ 로 표현 $10\cdot y+z,$ $10\cdoty+z,$

-2x\equiv-2z{\pmod {7}},

sox는 y - 2z가 7로 나뉠 경우에만 7로 나뉠 수 있습니다.

참고 항목

참고문헌

^ Gardner, Martin (September 1962). "Mathematical Games: Tests that show whether a large number can be divided by a number from 2 to 12". Scientific American. 207 (3): 232–246. doi:10.1038/scientificamerican0962-232. JSTOR 24936675.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k 이는 파스칼의 기준에서 따온 것입니다.키사차닌 (1998) 참조, 페이지 100–101
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ 숫자는 마지막 m자리로 이루어진 숫자가 그 숫자로 나뉠 경우에만 2, 5 또는^m^m 10으로^m 나뉠 수 있습니다.Richmond & Richmond (2009) 참조, 페이지 105
^ ^a ^b Apostol (1976), 페이지 108
^ ^a ^b ^c ^d Richmond & Richmond (2009), 섹션 3.4 (분할성 검정), 페이지 102–108
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m Richmond & Richmond(2009), 섹션 3.4(분할성 테스트), 정리 3.4.3, 페이지 107
^ ^a ^b 키사차닌 (1998), 페이지 101
^ Loy, Jim (1999), Divisibility Tests, archived from the original on 2007-10-10, Multiply the right-most digit by 5 and add to the rest of the numbers. If this sum is divisible by 7, then the original number is divisible by 7.
^ Wells, David (1997), The Penguin dictionary of curious and interesting numbers, p. 51, ISBN 9780140261493
^ Su, Francis E. ""Divisibility by Seven" Mudd Math Fun Facts". Archived from the original on 2019-06-13. Retrieved 2006-12-12.
^ 274페이지, 베딕수학: 16가지 간단한 수학 공식, 스와미 산카라카리아 지음, 모틸랄 바나시다스 지음, 인도 바라나시, 1965, 델리, 1978367쪽.
^ Dunkels, Andrejs, "주석 82.53 - 분할에 대한 일반화된 테스트", Mathematical Gazette 84, 2000년 3월, 79-81.
^ Stoykov, Ivan (March 2020). "OEIS A333448". Oeis A333448.

원천

Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Vol. 1. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3.
Kisačanin, Branislav (1998). Mathematical problems and proofs: combinatorics, number theory, and geometry. Plenum Press. ISBN 978-0-306-45967-2.
Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. Pure and Applied Undergraduate Texts. Vol. 3. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4789-3.

외부 링크

절단시 분할기준
바보 같은 분할 속임수 분할 규칙은 2 대 100입니다.

[1] Gardner, Martin (September 1962). "Mathematical Games: Tests that show whether a large number can be divided by a number from 2 to 12". Scientific American. 207 (3): 232–246. doi:10.1038/scientificamerican0962-232. JSTOR 24936675.

[Pascal's-criterion-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k 이는 파스칼의 기준에서 따온 것입니다.키사차닌 (1998) 참조, 페이지 100–101

[last-m-digits-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ 숫자는 마지막 m자리로 이루어진 숫자가 그 숫자로 나뉠 경우에만 2, 5 또는^m^m 10으로^m 나뉠 수 있습니다.Richmond & Richmond (2009) 참조, 페이지 105

[apostol-1976-4] Apostol (1976), 페이지 108

[Richmond-Richmond-2009-5] Richmond & Richmond (2009), 섹션 3.4 (분할성 검정), 페이지 102–108

[product-of-coprimes-6] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m Richmond & Richmond(2009), 섹션 3.4(분할성 테스트), 정리 3.4.3, 페이지 107

[alternating-sum-of-blocks-of-three-7] 키사차닌 (1998), 페이지 101

[8] Loy, Jim (1999), Divisibility Tests, archived from the original on 2007-10-10, Multiply the right-most digit by 5 and add to the rest of the numbers. If this sum is divisible by 7, then the original number is divisible by 7.

[9] Wells, David (1997), The Penguin dictionary of curious and interesting numbers, p. 51, ISBN 9780140261493

[7Divis1-10] Su, Francis E. ""Divisibility by Seven" Mudd Math Fun Facts". Archived from the original on 2019-06-13. Retrieved 2006-12-12.

[11] 274페이지, 베딕수학: 16가지 간단한 수학 공식, 스와미 산카라카리아 지음, 모틸랄 바나시다스 지음, 인도 바라나시, 1965, 델리, 1978367쪽.

[12] Dunkels, Andrejs, "주석 82.53 - 분할에 대한 일반화된 테스트", Mathematical Gazette 84, 2000년 3월, 79-81.

[auto-13] Stoykov, Ivan (March 2020). "OEIS A333448". Oeis A333448.

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[3]

[4]

[5]

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[7]

[8]

[9]

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