부가함수

수 이론에서, 분점 함수는 분점 함수에 대한 합이다.리만 제타 함수의 점근거동에 대한 연구에서 자주 발생한다.분열함수의 행동에 대한 다양한 연구를 분열함수 문제라고도 한다.

정의

차등 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1}$

어디에

${\displaystyle d(n)=\filma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n1}$

분점 함수.divisor 함수는 정수 n을 두 정수의 곱으로 쓸 수 있는 방법의 수를 계산한다.보다 일반적으로는 정의한다.

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)}$

여기서 d_k(n)는 n이 k 숫자의 곱으로 기록될 수 있는 방법의 수를 계산한다.이 수량은 k 치수의 쌍곡선 표면에 의해 고정된 격자점 수의 카운트로 시각화할 수 있다.따라서 k=2의 경우, D(x) = D₂(x) = D(x)는 수직축으로 왼쪽, 수평축으로 경계된 정사각형 격자의 점 수를 계산하고, 하이퍼볼라 jk = x로 우측 상단의 점 수를 계산한다. 대략 이 모양은 쌍곡선 심플렉스라고 생각할 수 있다.이를 통해 D(x)에 대한 대체 식을 제공할 수 있으며${\displaystyle ,}$ $O{\displaystyle (x\sqrt{}}$) {\$displaystyle$O({\$sqrt{$x}}}시간 내에$$ 계산하는 간단한 방법을 제공할 수 있다.

${\displaystyle D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}}$, where ${\displaystyle u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor }$

이 맥락에서 하이퍼볼라를 원으로 대체하면 결과 함수의 값을 결정하는 것을 가우스 서클 문제라고 한다.

D(n)의 순서(OEIS에서 순서 A006218):
0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, ...

디리클레의 구분자 문제

이 요약된 표현에 대해 폐쇄적인 형식을 찾는 것은 이용 가능한 기법을 넘어선 것처럼 보이지만, 근사치를 제시할 수 있다.이 시리즈의 주요 행동은 다음과 같다.

${\displaystyle D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta(x)\ }$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) 오일러-마스케로니 상수이며, 오차항은

$[\displaystyle \Delta(x)=O\왼쪽({\sqrt {x}\오른쪽).}$

여기서 $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$는 Big-O 표기법을 의미한다$$.이 추정치는 디리클레 하이퍼볼라 방식으로 증명할 수 있으며, 1849년 디리클레에 의해 처음 확립되었다.^{[1]: 37–38, 69} 디리클레 디비저 문제는 정확하게 언급되어 있는 이 오류에 대한$$ 가장 작은 값인$\theta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \theta$}을(를) 찾음으로써 이 오류를 개선하는 것이다.

$[\displaystyle \Delta(x)=O\왼쪽(x^{\theta +\epsilon }\오른쪽)}$

> ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대해 모두 진실이다 현재 이 문제는 해결되지 않은 채 남아 있다.진보가 더디다.이 문제와 또 다른 격자점 계산 문제인 가우스의 원 문제에 대해서는 많은 동일한 방법이 효과가 있다.숫자 이론의 미해결 문제 F1절은 이러한 문제들에 대해 알려진 것과 알려지지 않은 것을 조사한다.

• 1904년, G. 보로노이 교수는 오류 용어를 $O{\displaystyle ({x\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$)로 개선할 수 있다는 것을 증명했다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle O(x^{1/3}\log$ x$).$$}$ ^{[3]: 381}
• 1916년에, 고드프리 해럴드 하디가 inf ≥ 1/4{\displaystyle\inf \theta \geq 1/4}θ. 특히, 그는 일부 정 K{K\displaystyle}에는 x의())을 Δ 가치 존재하고 Kx1/4{\displaystyle \Delta())> 보여 주고, 보여 주었다.Kx^{1/4}}과 x의 값에서;− Kx1/4{\displa())<>Δ.$ystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4$^{[1]: 69}
• 1922년 J. 반 데르 코퍼트는 디리클레를 개선하여 improved${\displaystyle 33}$/ ${\displaystyle 100}$=${\displaystyle 0.33}$ ${\displaystyle \inf \theta \leq 33/100=0.33}$을(를) ${\displaystyle 주입}$하게 되었다$.$^{[3]: 381}
• 1928년 J. 반 데르 코퍼트는 ${\displaystyle inf}$${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle 27}$/ ${\displaystyle 82}$= 0.3 ${\displaystyle \stackrel{}{29268}}$의${\$.$3{\overline{29268}}$^{[3]: 381} .
• 1950년, 치 첸타오 그리고 1953년 H. E. 리커트는 독립적으로 ${\displaystyle inf}$ ${\displaystyle 15}$15 /${\displaystyle 46}$= 0.${\displaystyle \mathrm{32608695652...}}$라는 것을 증명했다.$\displaystyle \inf \leq 15/46=0.32608695652...$$}$.^{[3]: 381}
• 1969년, 그리고리 콜레스니크는 inf$$${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle 12}$/ ${\displaystyle 37}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \stackrel{}{324}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\{}}$의 ${\$.${\overline{324$^{[3]: 381}
• 1973년, 그리고리 콜레스니크는 ${\displaystyle inf}$ ${\displaystyle \theta 346}$/ ${\displaystyle 1067}$=${\displaystyle \mathrm{0.32427366448...}}$을 증명했다.$\displaystyle \inf \leq 346/1067=0.32427366448...$$}$.^{[3]: 381}
• 1982년, 그리고리 콜레스니크는 ${\displaystyle inf35}$35 / ${\displaystyle 108}$= 0.${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle \stackrel{}{407}}$ $"{\$"이라는 것을 증명했다$.$$32{\overline{407}}$^{[3]: 381} .
• 1988년 H. Iwaniec과 C. J. Mozzzi는 ${\displaystyle inf}$${\displaystyle \theta 7}$/ ${\displaystyle 22}$=${\displaystyle 0}$.3 ${\displaystyle \stackrel{}{18}}${ ${\$.$3{\overline{18}}}$^[4].
• 2003년에 M.N. Huxley는 이것을 개선하여 ${\displaystyle inf}$ ${\displaystyle \inf 131}$/ ${\displaystyle 416}$=${\displaystyle \mathrm{0.31490384615...}}$$\displaystyle \inf \leq 131/416=0.31490384615...$$}$.^[5]

따라서 ${\displaystyle inf}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \inf \theta }$은(는) 1/4 ~ 131/416 (약 0.3149) 사이에 놓여$$ 있다; 대략 1/4로 추측된다.$이론적{\displaystyle \mathrm{}}$ 증거는${\displaystyle \Delta }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ )$$/ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 1{}^{}}$/ 4 [\$displaystyle \Delta (x)/x^{$1/$4}}$이(가우스 이외의) 분포로 제한되기$$ 때문에 이러한 추측에 신빙성을 부여한다.^[6]1/4의 값도 지수 쌍에 대한 추측에서 따르게 될 것이다.^[7]

필츠 구분자 문제

일반화된 경우, 사람은

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,}$

여기서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$$displaystyle P_$${k$$}$는 도 $k{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$의 다항식이다$.$ 간단한 추정치를 사용하면 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\왼쪽(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\오른쪽)}$

정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle k\geq$ $}.$ $k{\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle k=2$}의$$ 경우와 마찬가지로 바운드의 최소치는 $k{\displaystyle }$ ${\displaysty k}$의 어떤 값에도 알려져 있지 않다$.$ 이러한 인피마를 계산하는 것은 독일 수학자 아돌프 필츠(Altz)의 이름 뒤에 Piltz divisor 문제로 알려져 있다(그의 독일 페이지도 참조).${\displaystyle {\alpha k}_{}}$ ${\$ 순서를 ${\displaystyle \mathrm{\Delta k}{}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle O}$( x ${\displaystyle {{\alpha k}_{}}^{}}$+ $){\$의 최소값으로 정의$$$\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\$$right$$)$ hold$$ ${\displaystyle \varepsilon$에 대해 다음 결과가 있다(${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle \alpha _{2}}$은 이전 섹션의$$ {$${\$displaystytype }).$

${\displaystyle \cHB_{2}\leq {\frac {frac}{416}}\,}$^[5]

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \frac{43}{}}$ ${\displaystyle \frac{96}{}}$^[8][9]${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}\}}$ 및

${\displaystyle{\begin{정렬}\alpha _{k}&, \leq{\frac{3k-4}{4k}}\quad(4\leq k\leq 8)[6pt]\alpha _{9}&, \leq{\frac{35}{54}}),\quad \alpha _{10}\leq{\frac{41}{60}}),\quad \alpha _{11}\leq{\frac{7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&, \leq{\frac{k-2}{k+2}}\quad(12\leq k\leq 25)[6pt]\alpha _{k}&, \leq{\frac{k-1}{k+4}}\quad(26\leq k\l.50cm\\[6pt]\al eqpha _{k}&\leq}\frac {31k-98}{32k}\part(51\leq k\leq 57)\\\\[6pt]\pt_{k}\fract {7k-34}{7k-58}\end{liged}}}}}}}}}}$

• E. C. Titchmarsh는 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= k${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}\frac{}{}}$. ${\displaystyle \alpha _{k}={\frac{k-1}}\$ .}라고 추측한다$.$

멜린 변환

두 부분 모두 Mellin 변환으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle D(x)={\frac {1}{2\pi i}\int _{c-i\infit }^{c+i\infit }\zeta ^{2}(w){\frac{x^{w}}}{w}},dw}$

> ${\displaystyle c>1$ 여기서 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle (s)}$ ${\displaystyle \zeta(s)}$은 리만 제타 함수다.비슷하게, 사람은 가지고 있다.

${\displaystyle \Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}\int _{c^{}-i\infit }^{c^{\prime }{{2}(w){\frac{x^{w}},dw}$

< <$<\displaystyle 0<c^{\premy }}<1$$D{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle D(x)}$의 선행 항은${\displaystyle }w{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ w$=$1}에서 이중 극을 지나 윤곽선을 이동하여 얻는다$$$.$ 선행 항은 Cauchy의 적분식에 의해 잔류물에 불과하다.일반적으로, 사람은 가지고 있는 것이 있다.

${\displaystyle D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}\int_{c-i\infit }^{c+i\infit }\jeta ^{k}{\frac{x^{w}}}},dw}$

그리고 마찬가지로 ${\displaystyle {\Delta }_{}k}$( x$$) {\$displaystyle \Delta _{k$}(x$)\},$ k${\displaystyle \mathrm{k}}$ 2 ${\displaystyle k\geq 2$

메모들

참조

• H.M. 에드워즈, 리만의 제타 기능, (1974) 도버 출판물, ISBN 0-486-41740-9
• E. C. Titchmarsh, Riemann Zeta-Function 이론, (1951) 옥스퍼드 클라렌던 프레스에서 옥스퍼드.(일반화된 구분자 문제에 대한 설명은 12장 참조)
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001 (Dirichlet divisor 문제에 대한 소개문을 제공하십시오.)
• H. E. 로즈.1988년 옥스포드 대학의 숫자 이론 과정
• M.N. Huxley(2003) 'Exponential Sums and Lattice Points III', Proc. 런던 수학. Soc. (3)87: 591–609