가우스 서클 문제

수학에서 가우스 원 문제는 원점 중심의 $원$과$$반지름 r {\$displaystyle r}$을 가진 원 안에 정수 격자점이 얼마나 있는지 결정하는 문제다$.$이 숫자는 원의 면적에 의해 근사치되므로, 실제 문제는 점의 수가 면적과 어떻게 다른지를 설명하는 오차항을 정확하게 결합하는 것이다.해결책에 대한 첫 진전은 칼 프리드리히 가우스에 의해 이루어졌고, 그래서 그 이름이 붙여졌다.

문제

$R{\displaystyle }$ 2 {\$displaystyle \mathb {R} ^{2}}$의 원과 반지름 r${\displaystyle 0}$ 0 ${\displaystyle r\geq$ 0$}$을(를$)$ 고려하십시오$.$ 가우스의 원 문제는 m ${\displaystyle m}$과 $n{\displaystyle }$ ${\displaystystyle n}$이 모두 i인$$ 이 원 안에 몇 개의 점이 있는지 묻는다$.{\displaystyle }$땡땡이 치다이 원의 방정식은 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}에 의해 데카르트 좌표에 주어지기 때문에$}}=r^{2$ 질문은 다음과 같은 정수 m과 n 쌍이 몇 개 있는지 동등하게 묻는 것이다.

${\displaystyle m^{2}+n^{2}}}\leq r^{2}.}$

주어진 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $r$$}$에 대한 대답이$$ $N{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle$ N$(r)}$으로 표시된 경우, 다음$$ $목록$에는 r$${\$displaystyle r$}에$$$$ 대한${\displaystyle }N{\displaystyle }$ ( $){\displaystyle$ N$(r)}$의 처음 몇 개 값이 표시되며, 그 다음은 ${\displaystyle {r2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ r$^{{{{{{{{{}$에 대한$$ 값 목록이다.에스트 정수:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441(OEIS에서 순차 A000328)

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452(OEIS의 후속 A075726)

해답과 추측에 대한 한계

${\displaystyle N}$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle N(r)}$은(는) 대략 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$\pi $r^{2}},$ 반지름 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ 원 안의 영역이다$.$평균적으로 단위 사각형마다 격자점이 하나씩 들어 있기 때문이다.따라서 원의 실제 격자점수는 그 면적 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ r$^{2$ 따라서 예상해야 한다.

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}$

상대적으로 작은 절대값의 일부$$ 오류 용어 $E{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle E(r)}$에 대해.따라서 $\mid {\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle \mid E(r)\mid }$에 대한 올바른 상한선을 찾는 것이 문제가$$ 된 형태다.$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은(는) 정수일 필요가 없다는$$ 점에 유의하십시오.After ${\displaystyle N(4)=49}$ one has${\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.}$ At these places ${\displaystyle E(r)}$ increases by ${\displaystyle 8,4,8,12}$ after which다음 번에 증가할 때까지 감소한다(2 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle r}$ $[\displaystyle 2\pi$ r$\}).$

가우스는 간신히 그 사실을 증명했다^[1].

${\displaystyle E(r) \leq 2{\sqrt{2}\pi r.}$

하디와^[2] 독립적으로 란다우는 그것을 보여줌으로써 하한선을 찾았다.

${\displaystyle E(r) \neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$

작은 O-ray를 사용해서.정확한^[3] 한계는 추측된다.

${\displaystyle E(r) =O\왼쪽(r^{1/2+\varepsilon }\오른쪽).}$

$E{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle \le }$ C ${\displaystyle r^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 대한 현재 범위는$$

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}: {t\leq {\frac {frac}{frac}}=0.6298\ldots,}$

1915년 하디와 란다우의 하한선, 그리고 2000년 마틴 헉슬리에 의해 상한이 증명되었다.^[4]

정확한 형태

$N{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle N(r)}$ 값은 여러 시리즈로 지정할 수 있다$$.바닥 기능을 포함하는 합계의 관점에서 그것은 다음과 같이 표현될 수 있다.^[5]

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\nothy}\lfloor {\frac{r^{2}}\lfloor -\lfloor{\floor{4i+3}{4i+}}}}\right\rfloor \right.}$

자코비 트리플 제품에서 거의 바로 이어지는 자코비의 2제곱 정리 결과물이다.^[6]

제곱 함수 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle r_{2}(n)}$의 합을 두 제곱의 합으로$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 쓰는 방법의 수로 정의하면$$ 훨씬 간단한 합이 나타난다.그러면^[1]

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).}$

가장 최근의 진전은 하디가 처음 발견한 다음과 같은 아이덴티티에 있다.^[7]

${\displaystyle N(x)-{r_{2}(x^{2})}{2}}:\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{n=1}{n1}{n}{\frac {r_{2}(n){\sqrt{n}J_{1}(2pi x{sqrt{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는 순서 1과 함께 첫 번째 종류의 베셀 함수를 나타낸다$$.

일반화

비록 원래 문제가 원의 정수 격자점을 요구하지만, 다른 모양, 예를 들어 원뿔을 고려하지 않을 이유가 없다; 실제로 디리클레의 구분자 문제는 원이 직사각형 하이퍼볼라로 대체되는 동등한 문제다.^[3]이와 유사하게 한 사람은 질문을 2차원에서 더 높은 차원으로 확장시킬 수 있고, 구체나 다른 물체 내의 정수점을 요구할 수 있다.이 문제들에 대한 광범위한 문헌이 있다.만약 어떤 사람이 기하학을 무시하고 단지 그 문제를 디오판타인 불평등의 하나의 대수학적 것으로 간주한다면, 그 문제에 나타나는 지수를 제곱에서 정사각형 또는 그 이상으로 증가시킬 수 있다.

도트 평면계는 동일한 원리에 근거하여 도형의 면적을 추정하기 위한 물리적 장치다.그것은 투명한 시트에 인쇄된 사각형의 점 격자로 구성되어 있다. 형상의 면적은 격자 사각형의 면적에 형상의 점 수의 산물로 추정할 수 있다.^[8]

원초원 문제

또 다른 일반화는 불평등에 대한$$ coprime 정수 솔루션 $m{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m,n}$의 수를 계산하는 것이다.

${\displaystyle m^{2}+n^{2}}\leq r^{2}.\,}$

이 문제는 원래의 원 문제에 대한 원시적인 해결책을 찾는 것을 포함하기 때문에 원시 원 문제로 알려져 있다.^[9]유클리드 과수원에서 얼마나 많은 r의 거리 내에 있는 나무들이 그 기원에 서 있는가를 직관적으로 알 수 있다.$이러한{\displaystyle }$ 솔루션의 수가 ${\displaystyle V}$( r${\displaystyle }$) ${\displaystyle V(r)}$으로 표시된 경우, 작은$$ 정수 값을 사용하는$$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$에 $대한{\displaystyle }$ V${\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle V(r)}$의 값은

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … (OEIS에서 순차 A175341).

통상적인 가우스 서클 문제와 동일한 사상을 사용하며, 두 정수가 동일할 확률은 $6{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle \pi {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$라고 하는 것을 비교적 쉽게 보여줄 수 있다$.$

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon })).}$

일반적인 원 문제와 마찬가지로 원시 원 문제의 문제는 오차항의 지수를 줄이는 것이다.현재 가장 잘 알려진 지수는 ${\displaystyle 221}$/ ${\displaystyle 304}$+ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle 221/304+\varepsilon }$이다.^[9]리만 가설을 가정하지 않고 가장 잘 알려진 상한은

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }{2}}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2}^{-1/5)}}}}$

양수 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에 대해 특히$,$^[9] >> ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 대한$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ -${\displaystyle }$ ${\displaystyle$\varepsilon $}$ 형식의 오차항에 대한 구속은 현재 리만 가설을 가정하지 않는 것으로 알려져 있다.

메모들

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Gauss's circle problem". MathWorld.
• Grant Sanderson, "Pi hiding in prime regularities", 3Blue1Brown