딕슨 타원 함수

수학에서 딕슨 타원함수 sm과 cm는 육각형 타원형의 각 정규 육각형에서 전체 복합면까지의 지도를 이루는 두 개의 타원함수(복잡한 평면의 두 가지 주기적 공형함수)이다.Because these functions satisfy the identity ${\displaystyle \operatorname {cm} ^{3}z+\operatorname {sm} ^{3}z=1}$, as real functions they parametrize the cubic Fermat curve ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=1}$, just as the trigonometric functions sine and cosine parametrize the unit circlear ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$2 = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ x$^{2}+y^{2}=1$

그것들은 1890년에 알프레드 딕슨에 의해 sm과 cm로 명명되었는데, 사인 및 코사인 삼각함수와 자코비 타원함수의 sn과 cn을 유추했다. 괴란 딜너는 1873년에 이를 설명했다.^[1]

정의

sm과 cm 함수는 초기값 문제에 대한 해결책으로 정의할 수 있다.^[2]

${\displaystyle {\frac {d}{dz}\mcm}z=-\smname {sm}^{2}z}\\\frac {d}}\dmname {sm}\sm}^{2}z},\#name {cm}(0)=1, \jm}=0}$

또는 복잡한 단위 디스크에서 정삼각형으로 슈바르츠-크리스토펠 매핑의 역행으로서 아벨의 적분은 다음과 같다.^[3]

${\displaystyle z=\int _{0}^{0}^{\frac {sm}z}{{2/3}^{}}}}=\int _{\fracname {cm}z}^{1}{{\frac}{1-w^{3}}}}}}}:{2/3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

초기하 함수를 사용하여 표시할 수도 있다.^[4]

${\displaystyle \operatorname {sm}^{-1}(z)=z\,{}_{2}F_{1}({\frac {1}{3},{\frac {2}{3},{\frac {4}{3};z^{3}}}}}}}$

입방형 페르마 곡선의 파라메트리지화

Both sm and cm have a period along the real axis of ${\displaystyle \pi _{3}=\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}\approx 5.29991625}$ with ${\displaystyle \mathrm {B} }$ the beta function:^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1-x^{3})^{2/3}}}\\[8mu]&\approx 1.76663875\end{aligned}}}$

ID ${\displaystyle {\mathrm{cm}}^{}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {}^{}}$ z${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {\mathrm{sm}}^{}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {}^{}}$ z${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {cm} ^{3}z+\operatorname {sm} ^{3}z=1$}$$$.$The parametric function ${\displaystyle t\mapsto (\operatorname {cm} t,\,\operatorname {sm} t),}$ ${\displaystyle t\in {\bigl [}{-{\tfrac {1}{3}}}\pi _{3},{\tfrac {2}{3}}\pi _{3}{\bigr ]}}$ parametrizes the cubic Fermat curve ${\displaystyle x^3+y^3=1}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}=1,}$ with ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}t}$ representing the signed area lying between the segment from the origin to ${\displaystyle (1,\,0)}$, the segment from the origin to ${\displaystyle (\operatorname {cm} t,\,\operatorname {sm} t)}$, and the Fermat곡선,^[6] 삼각함수의 인수와 단위 원의 섹터 영역 사이의 관계와 유사하다.이유를 보려면 그린의 정리를 적용하십시오.

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}(x\mathop {dy} -y\mathop {dx} )={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}(\operatorname {cm} ^{3}t+\operatorname {sm} ^{3}t)\mathop {dt} ={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{t}dt={\tfrac {1}{2}}t.}$

$x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x+y=0}$과 x ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ x$^{3}+y^{3}=1}=$1} $사이$의 영역은 각각$$ 1 ${\displaystyle 6{}_{}}$ $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\displaystyle$ 3 {\$tfrac {1}{6}\pi _{3$으)로 분할할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl (}(1-x^{3})^{1/3}+x{\bigr )}\mathop {dx} \\[8mu]{\tfrac {1}{6}}\pi _{3}&=\int _{-\infty }^{0}{\bigl (}(1-x^{3})^{1/3}+x{\bigr )}\mathop {dx} =\int _{0}^{1}(1-x^{3})^{1/3}\mathop {dx} .\end{aligned}}}$

대칭

The function ${\displaystyle \operatorname {sm} z}$ has zeros at the complex-valued points ${\displaystyle z={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )}$ for any integers ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$, where ${\displaystyle \omega }$ is a cube root of unity, ${\displaystyle \omega =\exp {\tfrac {2}{3}}i\pi =-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$ (that is, ${\displaystyle a+b\omega }$ is an Eisenstein integer).The function ${\displaystyle \operatorname {cm} z}$ has zeros at the complex-valued points ${\displaystyle z={\tfrac {1}{3}}\pi _{3}+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\pi _{3}i(a+b\omega )}$. Both functions have poles at the complex-valued points ${\displaystyle z=-\frac{1}{3}{\pi }_3+\frac{1}{}}$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}(+b}$ ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle$ z$=-{\tfrac {1}{3}\pi _{3}+{$3}+{\$tfrac {1}{\sqrt{3}}\pi _{3}i(a+b\omega )}$.

기본 반사, 회전 및 변환

${\displaystyle \chostname {cm} {\bar {z}={\overline {\chostname {cm}z}}$

${\displaystyle \smname {\bar {z}={\overline {\cHBname {sm}z}}$

${\displaystyle \bigname {cm}(-z)={\frac {1}{\frac {1}z+{\tfrac {1}{3}\pi _{3}{\bigr )}}{\bigname {1}{\bigr}}}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sm} (-z)=-{\frac {\operatorname {sm} z}{\operatorname {cm} z}}={\frac {1}{\operatorname {sm} {\bigl (}z-{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )}}}=\operatorname {cm} {\bigl (}z+{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )}}$

${\displaystyle \chostname {cm} \omega z=\chostname {cm} \omega ^{2}z}$

${\displaystyle \sm} \omega z=\omega \mostname {sm} z=\omega ^{2}\mostname {sm} \omega ^{2}z}$

${\displaystyle \biglname {cm} {\bigl (}z+\pi _{3}(a+b\omega){\bigr )}=\bigname {cm}z}$

${\displaystyle \mathrm{sm}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle z}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle (+b}$$Ω$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{sm}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle \operatorname {sm} {sm$} ${\bigl$(}$z+\pi _{3$}(a+b\omega$){\$bigr )}=\$operatorname {sm},$ 여기서${\displaystyle }$+ $bΩ {\displaystega}$은 $모든{\displaystyle }$ 에이젠슈타인 정수다$.$

특정 값

${\displaystyle \biglname {cm} {\bigl (}{-{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}}}\bigl 이름 {sm} {\{{\tfrac {1}}}\pi _{3}{\bigr )=\flty}}}}}}$

${\displaystyle \chostname {cm}=\sm} {\bigl (}{\tfrac {1}{3}\pi _{3}{\bigr )}=1}$

${\displaystyle \sm} {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}\pi _{3}{\bigr )}=\bigname {sm}(0)=0}$

${\displaystyle \biglname {cm} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi _{3}{\bigr )}=\bigl 이름 {sm} {\bigl (}{{\tfrac {1}{6}}}}\pi _{3}{\bigr )=-1}=-1}$

${\displaystyle \biglname{{\tfrac {1}{6}\pi _{3}{\bigr )}=\bigl 이름 {sm} {\bigl(}{\tfrac {1}{6}}}\pi _{3}=2^{-1/3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \biglname{{-{\tfrac {1}{6}\pi _{3}{\bigr )}=\bigl 이름 {sm} {\bigl (}{{1}{{1}}}\bigr )=2^{1/3}}$

합계 및 차이 ID

딕슨 타원 함수는 다음과 같은 인수 합과 차이 ID를 만족한다.^[7]

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{)}(u+v)&, ={\frac{\operatorname{sm}u\,\operatorname{)}u-\operatorname{sm}v\,\operatorname{)}v}{\operatorname{sm}u\,\operatorname{)}^{2}v-\operatorname{)}^{2}u\,\operatorname{sm}v}}\\[8mu]\operatorname{)}(u-v)&, ={\frac{\operatorname{)}^{2}u\,\operatorname{)}v-\operat.orname{Sm}u\,\operatorname{sm}^{2}v}u\,\operatorname{)}^{2}v-\operatorname{sm}^{2}u\,\operatorname{sm}v}}\\[8mu]\operatorname{sm}(u+v)&, ={\frac{\operatorname{sm}^{2}u\,\operatorname{)}v-\operatorname{)}u\,\operatorname{sm}^{2}v}{\operatorname{sm}u\,\operatorname{)}^{2}v-\operatorname{)}^{2}u\,\operator{\operatorname{)}.이름{sm} v}}\\[8mu]\operatorname {sm} (u-v)&={\frac {\operatorname {sm} u\,\operatorname {cm} u-\operatorname {sm} v\,\operatorname {cm} v}{\operatorname {cm} u\,\operatorname {cm} ^{2}v-\operatorname {sm} ^{2}u\,\operatorname {sm} v}}\end{aligned}}}$

기타 표현식

파워 시리즈 확장

파워 시리즈 확장의 계수$$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$ 및$$ s ${\displaystyle n_{}}$ ${\$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} z&=c_{0}+c_{1}z^{3}+c_{2}z^{6}+c_{3}z^{9}+\cdots +c_{n}z^{3n}+\cdots \\[4mu]\operatorname {sm} z&=s_{0}z+s_{1}z^{4}+s_{2}z^{7}+s_{3}z^{10}+\cdots +s_{n}z^{3n+1}+\cdots \end{aligned}}}$

반복 c ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$= 1,${\displaystyle c_{0}=s_{0}=1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=-{\frac {1}{3n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}s_{n-1-k}\\[4mu]s_{n}&={\frac {1}{3n+1}}\sum _{k=0}^{n}c_{k}c_{n-k}\end{aligned}}}$

이러한 반복은 다음과 같은 결과를 낳는다.^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cm} z&=1-{\frac {1}{3}}z^{3}+{\frac {1}{18}}z^{6}-{\frac {23}{2268}}z^{9}+{\frac {25}{13608}}z^{12}-{\frac {619}{1857492}}z^{15}+\cdots \\[8mu]\operatorname {sm} z&=z-{\frac {1}{6}}z^{4}+{\frac {2}{63}}z^{7}-{\frac {13}{2268}}z^{10}+{\frac {23}{22113}}z^{13}-{\frac {2803}{14859936}}z^{16}+\cdots \end{al구릿빛}}$

바이에스트라스 타원함수

The equianharmonic Weierstrass elliptic function ${\displaystyle \wp (z)=\wp {\bigl (}z;0,{\tfrac {1}{27}}{\bigr )},}$ with lattice ${\displaystyle \Lambda =\pi _{3}\mathbb {Z} \oplus \pi _{3}\omega \mathbb {Z} }$ a scaling of the Eisenstein integers, can be de다음과 같이 벌금을 부과한다.^[10]

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}+\sum _{\lambda \in \lambda \in \setminus \{0\}}\!\leftda\frac {1}{{{{{{-}-{\frac {1}{\frac {1}{\fla ^{2}}}\오른쪽)}}$

$\wp {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \wp (z)}$ 함수는 다음과 같은 미분 방정식을 해결한다$$.

${\displaystyle \property '(z)^{2}=4\properties (z)^{3}-{\tfrac {1}{27}}}}}$

또한 적분(integrity)의 역(verse)으로 쓸 수도 있다.

${\displaystyle z=\int _{\inflt }{\inflt (z)}{\frac {sq^{4w^{3}-{\tfrac{1}:{27}}}}}}}}}}}}}}}}:{\preac {1}:{27}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$\wp {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \wp (z$의 관점에서 딕슨 타원 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[11]

${\displaystyle \propertiesname {cm}z={\frac {3\properties '(z)+1}{3\properties '(z)-1},\propertname {sm}z={\frac {-6\preced (z)-1}}}$

마찬가지로 Weierstrass 타원함수 ${\displaystyle \wp (z}$) = ${\displaystyle \wp (z}$ ; ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{27}{}}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle \wp(z)=\wp${\$bigl(}z;0,{\tfrac {1}{27}{\bigr )}}}}$은 딕슨 타원함수의 관점에서 작성할 수 있다$$.

${\displaystyle \frac '(z)={\frac {\cm}z+1}{3(\fracname {cm}z-1)},\3(\fractname {cm}z-1)}$

자코비 타원 함수

딕슨 타원함수는 또한 자코비 타원함수를 사용하여 표현할 수 있는데, 이것은 케이리가 처음 관찰한 것이다.^[12]Let ${\displaystyle k=e^{5i\pi /6}}$, ${\displaystyle \theta =3^{\frac {1}{4}}e^{5i\pi /12}}$, ${\displaystyle s=\operatorname {sn} (u,k)}$, ${\displaystyle c=\operatorname {cn} (u,k)}$, and ${\displaystyle$$d=\operatorname {dn}(u,k$ 그러면.

${\displaystyle \xi (u)={\frac {-1+\theta scd}{1+\theta scd}}}$, ${\displaystyle \eta (u)={\frac {2^{1/3}\left(1+\theta ^{2}s^{2}\right)^{2}}{1+\theta scd}}}$.

마지막으로 딕슨 타원 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {sm} (z)=\xi \left({\frac {z+\pi _{3}/6}{2^{1/3}\theta }}\right)}$, ${\displaystyle \operatorname {cm} (z)=\eta \left({\frac {z+\pi _{3}/6}{2^{1/3}\theta }}\right)}$.

일반 삼각법

일반화된 삼각함수의 몇 가지 정의에는${\displaystyle }n{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 2}${\$displaystyle n=2$} 대소문자처럼$$ 일반적인 삼각 사인 및 코사인,${\displaystyle }n{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 3}${\$displaystyle n=3$} 대소문자처럼$$ sm과 cm 함수가 포함된다.^[13]

For example, defining ${\displaystyle \pi _{n}=\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}}$ and ${\displaystyle \sin _{n}z,\,\cos _{n}z}$ the inverses of an integral:

${\displaystyle z=\int _{0}^{\sin _{n}z}{\frac { {}{{n-1)/n}={\cos _{n}z}^{1}{{n1}{{{{n-1}}}}}}}}}}}}{{{{{-w^(n-1)/n-n-}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$곡선{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$n +${\displaystyle {}^{}{y}^{}}$ = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ x$^{n}+y^{n}=1}$ 아래의 양의 사분면에 있는 영역은$$

${\displaystyle {\int }_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle x^{}}$ n${\displaystyle {}^{}{}^{}}$) 1${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \pi \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{2n}}{}}$ ${\$1}{$n}^{1/n}\mathop {dx} ={\frac {\pi _{n$

적용들

딕슨 타원함수는 정삼각형에서 원반형까지의 등각형 지도로서, 예를 들어 구를 삼각형, 육각형, 사면체, 팔면체 또는 이코사면체에 투영하는 등 정삼각형 삼각형을 포함하는 다면형 등각형 등각형 지도 투영을 구성하는데 유용하다.^[14]

참고 항목

• 아이젠슈타인 정수
• 타원함수
  • 아벨 타원 함수
  • 자코비 타원 함수
  • 림니스케이트 타원 함수
  • 바이에스트라스 타원함수
• 4면체에서의 리 컨포멀 월드
• 슈바르츠-크리스토펠 지도

외부 링크

• 데스모스 그림:
  • 실제 값 Dixon 타원 함수 https://www.desmos.com/calculator/5s4gdcnxh2.
  • 입방체 페르마트 곡선 파라메트리징 https://www.desmos.com/calculator/elqqf4nwas
• 온라인 정수 순서 백과사전 페이지:
  • "Dixon 타원함수 sm(x,0)의 Maclaurin 확장 시 x^(3n+1)/(3n+1)의 코효율!!"https://oeis.org/A104133
  • "Dixon 타원함수 cm(x,0)의 Maclaurin 확장 시 x^(3n)/(3n)의 코효율!."https://oeis.org/A104134
  • "Pi(3): 딕슨 타원함수 sm(z) 및 cm(z)의 기본 실기."https://oeis.org/A197374
• Mathical Stack Exchange 토론:
  • "$On{\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ x$^{3}+y^{3}=z^{3$ 딕슨 타원 함수, 보르웨이 큐빅 세타 함수", https://math.stackexchange.com/questions/2090523/
  • https://math.stackexchange.com/questions/35671/

메모들

참조