그린의 정리

벡터 미적분학에서 그린의 정리는 단순한 폐곡선 $C$ 주위의 선적분과 $C$ 로 경계지어지는 평면 $영역$ D 위의 이중적분을 연관시킵니다. 그것은 스톡스 정리의 2차원 특수한 경우입니다.

정리

$C$ 를 양의 방향으로 향하고 조각마다 매끄럽고 단순한 평면 폐곡선이라 하고, $D$ 를 $C$ 로 경계지어지는 영역이라 합니다. $L$ 과 $M$ 이 $D$ 를 포함하는 열린 영역에 정의된 ( $x,$ $y)$ 의 함수이고 거기서 연속적인 편미분을 갖는 경우,

\point_{C}(L\,dx+M\,dy)=\int_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\partial L}{\partial}\right) dx\,dy

$여기$ 서 C를 따라 통합되는 경로는 시계 반대 방향입니다.^[1]^[2]

물리학에서 그린의 정리는 많은 응용을 발견합니다. 하나는 2차원 흐름 적분을 푸는 것으로, 부피에서 유출되는 유체의 합은 주변 영역에 대해 합산된 총 유출량과 동일하다고 말합니다. 평면기하학, 특히 면적측량에서 그린의 정리는 둘레를 적분하여 평면도형의 면적과 중심을 결정하는 데 사용될 수 있습니다.

D가 단순 영역일 때의 증명

D가 곡선 C₁, C₂, C₃, C로₄ 구성된 경계를 갖는 단순한 유형의 영역이라면 그린 정리의 절반을 증명할 수 있습니다.

다음은 C와₁ C가₃ 수직선으로 연결된 곡선인 I형 영역인 단순화된 영역 D에 대한 정리의 절반의 증명입니다(길이가 0일 가능성도 있음). D가 C와₂ C가₄ 수평선으로 연결된 곡선인 유형 II 영역인 경우, 이 정리의 나머지 절반에 대해서도 유사한 증명이 존재합니다(또, 길이가 0일 수도 있음). 따라서 이 두 부분을 종합하면 유형 III(유형 I과 유형 II인 영역으로 정의됨) 영역에 대해 정리가 입증됩니다. 그런 다음 D를 유형 III 영역의 집합으로 분해하여 이 특수한 경우로부터 일반적인 경우를 추론할 수 있습니다.

만약 그것이 보여질 수 있다면,

\point_{C}L\,dx=\int_{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial}\right)dA

(1)

그리고.

\point_{C}\M\,dy=\int_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}\right)dA

(2)

참입니다. 그렇다면 그린의 정리는 D 영역에 대해 바로 뒤따릅니다. 유형 I의 영역에 대해서는 (1)을 쉽게 증명할 수 있고, 유형 II의 영역에 대해서는 (2)를 증명할 수 있습니다. 그런 다음 유형 III의 영역에 대해 그린의 정리가 뒤따릅니다.

영역 D가 유형 I 영역이므로 오른쪽 그림과 같이 다음과 같이 특성화할 수 있다고 가정합니다.

D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}

여기서 g와₁ g는₂ [

a,

b

]

의 연속 함수입니다. (1)의 이중적분을 계산합니다.

{\begin{aligned}\iint _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dA&=\int _{a}^{b}\,\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{a}^{b}\left[L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x))\right]\,dx.\end{align}}

(3)

이제 (1)에 적분한 선을 계산합니다. C는 C₁, C₂, C₃, C의 네₄ 가지 곡선의 합으로 다시 쓸 수 있습니다.

C의 경우 모수 방정식인 x = x, y = g(x), a ≤ x ≤ b를 사용합니다. 그리고나서

\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.

C의 경우 모수 방정식인 x = x, y = g(x), a ≤ x ≤ b를 사용합니다. 그리고나서

\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.

C₃ 위의 적분은 C가 양(antic lockwise)으로 향하기 때문에 b에서 a로 음의 방향으로 가기 때문에 음이 됩니다. C와₂ C에서₄ x는 일정하게 유지되며, 이는 다음을 의미합니다.

\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.

그러므로,

{\begin{aligned}\oint _{C}L\,dx&=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx\\&=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.\end{aligned}}

(4)

(3)과 (4)를 합하면 유형 I의 영역에 대해 (1)을 얻게 됩니다. 유형 II의 영역에 대해 유사한 처리 수율 (2). 이 둘을 합하면 유형 III의 영역에 대한 결과를 얻을 수 있습니다.

정류 가능한 조던 곡선에 대한 증명

우리는 다음을 증명할 것입니다.

정리 — $\Gamma$ γ ${\displaystyle$ \Gamma}를 R $2 {\displaystyle \mathbb {$ R} ^{2}의 정류 가능한 양의 방향의 조던 $\mathbb {R} ^{2}$ 이라고 $하고$ R ${\displaystyle$ R}을 내부 영역으로 표시합니다. $A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R}$ $A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R}$ $R$ ¯ → R {\ $displaystyle$ A, B $:{\overline$ {R}}\to $\mathbb$ {R} }가 R {\displaystyle R}의 모든 점에서 A {\displaystyle A}가 두 번째 편미분을 갖는 성질을 갖는 연속 함수라고 가정합니다. $B {\displaystyle$ $B$ $}$ 는 $R$ ${\displaystyle$ R $}$ 의 모든 점에서 첫 번째 편미분을 가지며 함수 $D_{1}B,D_{2}A:R\to \mathbb {R}$ $D_{1}B,D_{2}A:R\to \mathbb {R}$ $D_{1}B,D_{2}A:R\to \mathbb {R}$ $D_{1}B,D_{2}A:R\to \mathbb {R}$ $:$ $D_{1}B,D_{2}A:R\to \mathbb {R}$ → $D_{1}B,D_{2}A:R\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle D_{1$ }B, $D_{2}A:$ $R\to \mathbb {R} }$ 은 $D_{1}B,D_{2}A:R\to \mathbb {R}$ $R$ {\ $displaystyle R}$ 위에서 리만 적분 가능합니다 $R$ 그렇다면

\int _{\Gamma }(A\,dx+B\,dy)=\int _{R}\left(D_{1}B(x,y)-D_{2}A(x,y)\right)\,d(x,y).

우리는 다음과 같은 증명이 필요합니다.^[3]

보조정리 1(분해 보조정리) — $\Gamma$ 에서 $\Gamma$ γ ${\displaystyle$ \Gamma}가 정류 가능하고 양의 방향을 가진 조던 $R$ 이며R ${\displaystyle$ R}을(를) 내부 영역으로 가정합니다. 모든 양의 실수 ${\mathcal {F}}(\delta )$ delta {\displaystyle \δ}에 대해 F $($ δ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}가 선 x = m δ, y = m δ {\displaystyle x = m\delta, y = m\delta }로 경계지어진 평면의 정사각형 모음을 $나타내며$ , 여기서 m {\displaystyle m}은 정수 집합을 통과합니다. 그런 다음 이 $\delta$ δ {\displaystyle $\delta$ \delta $\delta$ }에 대해 다음과 같은 방식으로 R ¯ {\ $displaystyle$ {\overline {R}}을 $($ 를) 유한 개의 중첩되지 않는 부분 영역으로 ${\overline {R}}$ 합니다.

$R_{1},R_{2},\ldots ,R_{k}$ ${\displaystyle$ R $R$ 예를 들어 R 1 $R_{1},R_{2},\ldots ,R_{k}$ $R_{1},R_{2},\ldots ,R_{k}$ $R_{1},R_{2},\ldots ,R_{k}$ $R_{1},R_{2},\ldots ,R_{k}$ ${\displaystyle R_{1}, R_{2},\ldots, R_{k$ 에 포함된 각 하위 영역은 F $($ δ) ${\displaystyle {\mathcal$ {F ${\mathcal {F}}(\delta )$ delta )}의 제곱입니다.
$R_{k+1},\ldots ,R_{s}$ 각 하위 영역(예: R $R_{k+1},\ldots ,R_{s}$ + $R_{k+1},\ldots ,R_{s}$ …, $R_{k+1},\ldots ,R_{s}$ {\ $displaystyle R_{k+1},\ldots, R_{s$ 은 한정된 수의 δ $\Gamma$ γ {\displaystyle $\Gamma$ \Gamma}의 호와 F $($ δ $)$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal$ {F}(\delta )}의 ${\mathcal {F}}(\delta )$ 한 변의 일부에 의해 형성된 정류 가능한 조던 곡선을 경계로 합니다.
각 테두리 영역 $R_{k+1},\ldots ,R_{s}$ + $R_{k+1},\ldots ,R_{s}$ $R_{k+1},\ldots ,R_{s}$ $R_{k+1},\ldots, R_{s}$ 는 모서리 길이 $2\delta$ δ ${\displaystyle$ 2\delta}의 정사각형 안에 둘러싸일 수 있습니다.
γ $i$ ${\$ displaystyle \ $Gamma$ _{i}가 Ri {\ $displaystyle$ R_ $R_{i}$ i}의 $R_{i}$ 양 방향 경계 곡선인 $R_{i}$ γ $\Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}+\cdots +\Gamma _{s}.$ = $\Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}+\cdots +\Gamma _{s}.$ γ 1 + γ 2 + ⋯ + $\Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}+\cdots +\Gamma _{s}.$ γ $\Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}+\cdots +\Gamma _{s}.$ γ. ${\displaystyle$ \Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}+\cdots +\Gamma _{s}}
경계 영역의 $s-k$ - $s-k$ $s-k$ 는 ${\textstyle 4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)}$ λ ${\textstyle 4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)}$ δ + 1 $)$ {\textstyle 4\! $\left({\frac {\Lambda}{\delta }}+1\right)},$ 여기서 $\Lambda$ $λ$ ${\$ displaystyle $\Lambda$ \Lambda}는 $γ$ $\Gamma$ \Gamma}의 $\Gamma$ 길이입니다.

보조정리 2 — $\Delta _{\Gamma }(h)$ γ ${\displaystyle$ \Gamma }을 평면에서 정류 가능한 $\Delta _{\Gamma }(h)$ 으로 하고 δ $\Delta _{\Gamma }(h)$ γ ( $h) {\$ displaystyle \Delta _{\Gamma }(h)}을 평면에서 $\Gamma$ γ ${\displaystyle$ \Gamma $}$ 와의 $거리$ 가 최대 h $h$ {\displaystyle h}인 점의 집합으로 합니다 $\Delta _{\Gamma }(h)$ 이 세트의 외부 요르단 내용은 ${\overline {c}}\,\,\Delta _{\Gamma }(h)\leq 2h\Lambda +\pi h^{2}$ ¯ δ γ(h) ≤ 2시간 λ + π h 2 ${\displaystyle$ {\ $overline$ {c $}\,\,\Delta$ _ ${\overline {c}}\,\,\Delta _{\Gamma }(h)\leq 2h\Lambda +\pi h^{2}$ Gamma}(h)\leq 2h\Lambda +\pi h^{2}}를 만족합니다.

보조정리 3 — $\Gamma$ γ ${\displaystyle$ \Gamma }을 R $2 {\displaystyle \mathbb$ {R} ^{2}의 정류 $\mathbb {R} ^{2}$ 한 곡선이라고 $f:{\text{range of }}\Gamma \to \mathbb {R}$ f : $f:{\text{range of }}\Gamma \to \mathbb {R}$ γ → R ${\displaystyle f:{\text{range of }}\Gamma$ \to \mathbb {R} }의 $f:{\text{range of }}\Gamma \to \mathbb {R}$ 를 연속 함수라고 $f:{\text{range of }}\Gamma \to \mathbb {R}$ . 그리고나서

\left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f}

그리고.

\left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dx\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f}

여기서

\Omega _{f}

ω f

{\displaystyle \Omega

_{f}}는 γ

\Gamma

\Gamma}

\Gamma

에서 f

{\displaystyle

f}의

진동입니다.

이제 우리는 정리를 증명할 위치에 있습니다.

정리 증명. ε $\varepsilon$ {\displaystyle \ $varepsilon$ }을 $($ 를) 임의의 양수로 지정합니다. $A$ ${\displaystyle$ A $}$ 의 연속성 $A$ B ${\$ $displaystyle$ $B}$ 의 연속성 및 $R$ ¯ ${\$ overline { $\varepsilon >0$ }}의 컴팩트함에 의해, $\varepsilon >0$ ε > 0 {\ $displaystyle$ varepsilon > 0}, there exists $0<\delta <1$ such that whenever two points of ${\overline {R}}$ are less than $2{\sqrt {2}}\,\delta$ apart, their images under $A,B$ are less than $\varepsilon$ apart. 이 $\delta$ δ {\displaystyle $\delta$ \delta }에 대해 이전 보조정리에 의해 주어진 분해를 고려합니다. 우리는 가지고 있다.

\int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad +\sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy.

φ := $\varphi :=D_{1}B-D_{2}A$ 1 B - D 2 A {\displaystyle \varphi := D_{1} B-D_{2} A}를 입력합니다.

각 $i\in \{1,\ldots ,k\}$ ∈ $i\in \{1,\ldots ,k\}$ { $i\in \{1,\ldots ,k\}$ , $…,$ k} ${\displaystyle i\in$ \{1 $ldots$ , k\}에 대해 $\Gamma _{i}$ γ ${\$ displaystyle $\$ Gamma _{i}}는 양의 방향을 가진 정사각형이며, 이에 대해 그린 공식이 성립합니다. 이런 이유로

\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{R_{i}}\varphi =\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\,\varphi .

경계 영역의 모든 점은 γ $displaystyle$ $2{\$ sqrt { $2}}\,\$ $K$ $2{\sqrt {2}}\,\delta$ δ $}$ 에서 $2{\sqrt {2}}\,\delta$ δ 이하의 거리에 있습니다. $따라서$ K{\displaystyle K}가 모든 $K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )$ 의 결합일 경우 $K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )$ ⊂ δ γ( $22$ δ) {\displaystyle K\subset \Delta _{\Gamma}(2{\sqrt {2}}\, $\delta$ $K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )$ 따라서 $c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}$ ( $c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}$ $c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}$ c $c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}$ $¯$ $δ$ $γ$ $δ$ ( $c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}$ $δ$ ) ≤ $42$ $π δ$ + 8 $π δ$ 2 ${\displaystyle$ c(K)\ $leq {\overline$ {c}}\,\delta _ ${\Gamma$ } (2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}} by Lemma 2. 주의할 점은

\int _{R}\varphi \,\,-\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\varphi =\int _{K}\varphi .

이것은 산출량입니다.

\left\vert \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert \leq M\delta (1+\pi {\sqrt {2}}\,\delta){\text{ for some}M>0.

마지막 $<\varepsilon .$ 의 RHS가 $<\varepsilon .$ ε $.{\$ displaystyle <\varepsilon.}이 되도록 $\delta$ δ {\displaystyle $\delta$ \delta }을(를) 선택할 수도 있습니다.

이 증명의 시작 부분에 있는 언급은 모든 경계 영역에서 $A$ ${\displaystyle$ A $}$ 와 $B$ $B$ 의 진동이 최대 $\varepsilon$ ε ${\$ displaystyle \varepsilon}임을 의미합니다. 우리는

\left\vert \sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\varepsilon \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}.

보조정리 1(iii)에 의해,

\sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}\leq \Lambda +(4\delta)\,4\!\left ({\frac {\Lambda }{\delta }+1\right)\leq 17\Lambda +16.

이것들을 합하면, 우리는 마침내

\left\vert \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert <C\varepsilon,

일부

C>0

>

C>0

{\displaystyle

C > 0

}

에 대하여

C>0

이것은 모든

\varepsilon >0

ε > 0

{\

displaystyle

\varepsilon

\varepsilon >0

0} 에 대하여 사실이므로, 우리는 끝입니다.

다른 가설 하에서의 유효성

마지막 정리의 가설만이 그린의 공식이 참인 것은 아닙니다. 또 다른 일반적인 조건 세트는 다음과 같습니다.

함수 $A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R}$ $A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R}$ : $A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R}$ ¯ → R {\ $displaystyle$ A, B : ${\overline$ {R}}\ to \mathbb {R}}은 여전히 연속적인 것으로 가정됩니다. 그러나 이제 $R$ ${\displaystyle$ R $}$ 의 모든 점에서 프레셰 미분이 가능하도록 요구합니다 $R$ 이는 모든 방향 도함수의 존재를 $D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2$ 합니다. 특히 $D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2$ =: $D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2$ = $D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2$ $D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2$ B =: $D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2$ , $D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2$ , 1, 2 {\ $displaystyle D_{e_$ {i}} $A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:$ $D_{i}B,\,i=1,2}$ , where, as usual, $(e_{1},e_{2})$ is the canonical ordered basis of $\mathbb {R} ^{2}$ . In addition, we require the function $D_{1}B-D_{2}A$ to be Riemann-integrable over $R$ .

이것의 결과로서, 우리는 정류 가능한 조던 곡선에 대한 코시 적분 정리를 얻습니다.

정리(Cochy) - $\Gamma$ γ ${\displaystyle$ \Gamma}가 C ${\displaystyle \mathbb$ {C}에서 정류 가능한 $\mathbb {C}$ $f:{\text{closure of inner region of }}\Gamma \to \mathbb {C}$ 이고 $f:{\text{closure of inner region of }}\Gamma \to \mathbb {C}$ f: $f:{\text{closure of inner region of }}\Gamma \to \mathbb {C}$ γ → C ${\displaystyle$ f:{\text ${}의 내부 영역 폐쇄}\Gamma \$ to \mathbb {C} }는 γ 내부 영역 전체에 걸쳐 연속 매핑 홀로모픽입니다. $\Gamma$ 그러면

\int_{\Gamma}f=0,

적분은 복소 등고선 적분입니다.

증명

복소평면을 $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ 로 간주합니다 $\mathbb {R} ^{2}$ 이제 $u,v:{\overline {R}}\to \mathbb {R}$ $u,v:{\overline {R}}\to \mathbb {R}$ : R $u,v:{\overline {R}}\to \mathbb {R}$ ¯ $u,v:{\overline {R}}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle$ u,v $:{\overline$ {R $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).$ to \mathbb {R} } f ( $x$ + i y ) = $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).$ u ( $x,$ y ) $+ iv ($ $x,$ y )가 되도록 정의합니다. {\displaystyle f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y)가 됩니다. $}$ 이러한 $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).$ 기능은 분명히 연속적입니다. $u$ $u$ 와 v ${\displaystyle$ v $}$ 는 Fréchet 미분 가능하며 코시-리만 방정식을 만족한다는 것은 잘 알려져 있습니다: $D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}$ 1 $D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}$ + D $D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}$ $D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}$ = D $D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}$ $D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}$ - D $D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}$ v $D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}$ = $D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}$ ${\displaystyle D_$ {1} $v$ + $D_{2}u$ = $D_{1}u$ - D_ ${2}$ v = {\ $text{zero function$

이제 문제의 복소 등고선 적분을 정의하는 데 사용된 합을 분석하면 다음과 같은 사실을 쉽게 알 수 있습니다.

\int _{\Gamma }f=\int _{\Gamma }u\,dx-v\,dy\quad +i\int _{\Gamma }v\,dx+u\,dy,

RHS의 적분은 일반적인 선 적분입니다. 이러한 설명을 통해 이들 각 선분에 그린 정리를 적용하여 증명을 완료할 수 있습니다.

다중연결영역

정리. γ $\Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}$ 0 $\Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}$ γ $1$ , …, γ n ${\$ displaystyle \ $Gamma$ _{0},\Gamma _{1},\ldots,\Gamma _{n} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}에서 양의 방향의 정류 가능한 조던 곡선이 만족한다고 하자.

{\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{if }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{if }}1\leq i,j\leq n{\text{ and }}i\neqj,\end{aligned}}

R_{i}

서

R_{i}

R_{i

는

\Gamma _{i}

γ i

{\

displaystyle

\Gamma_

i}의 내부 영역입니다.

D=R_{0}\setminus({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}_{2}\cup \cup \\overline {R}_{n})

$p$ : $p:{\overline {D}}\to \mathbb {R}$ ¯ $q:{\overline {D}}\to \mathbb {R}$ → R $q:{\overline {D}}\to \mathbb {R}$ displaystyle $p:{\overline {D}}\to \mathbb$ {R}} 및 q : D ¯ q:{\overline {D}\to \mathbb {R}}가 D {\displaystyle D}에 대한 제한이 Fréchet 미분 가능한 연속 함수라고 가정합니다. 함수가

(x,y)\longmap to {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}(x,y)

는

D

D

위에 리만 적분 가능하며

D

그렇다면

{\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{align}}

스톡스 정리와의 관계

그린의 정리는 $xy$ $xy$ 평면의 $xy$ 한 영역에 적용될 때 켈빈-스토크스 정리의 특별한 경우입니다.

우리는 2차원 장을 항상 0인 z 성분을 가진 3차원 장으로 증강시킬 수 있습니다. 벡터 값 함수 $\mathbf {F} =(L,M,0)$ = $\mathbf {F} =(L,M,0)$ M $,$ 0) {\displaystyle \mathbf {F} = (L, M, 0)}에 F를 씁니다. 그린 정리의 왼쪽부터 시작합니다.

\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\point _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}.

켈빈-스토크스 정리:

\point_{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint_{S}\nbla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n} \,dS.

표면 $\mathbf {\hat {n}}$ ${\displaystyle$ S $}$ 는 평면 $S$ $D$ ${\displaystyle$ D $}$ 의 영역일 뿐이며 $D$ 단위 정상 n $^$ {\ $displaystyle \mathbf {\hat {n}}$ 이(관습에 따라) 양의 z 성분을 갖도록 정의되어 $\mathbf {\hat {n}}$ 두 정리의 "양의 방향" 정의가 일치합니다.

적분 안의 표현은

\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left ({\frac {\partial 0}{\partial y}-{\frac {\partial M}{\partial z}\right)\mathbf {i} +\left ({\frac {\partial L}{\partial z}-{\partial x}\right)\mathbf {j} +\left ({ {\partial M}{\frac {\partial L}{\partial y}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left ({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial}\right).

따라서 우리는 그린의 정리의 우변을 얻게 됩니다.

\int_{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\int_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\partial L}{\partial}\right)\,dA.

또한 그린의 정리는 미분 형식과 외부 도함수를 사용한 일반 스톡스의 정리의 간단한 결과입니다.

\point _{C}L\,dx+M\,dy=\point _{\partial D}\!\omega =\int _{D}d\omega =\int _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dy\dx \,partial+{\frac {\wedge M}{\partial x}\,dx\partial \,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}\right)\,dx\,dy

발산정리와의 관계

2차원 벡터장만을 고려할 때, 그린의 정리는 발산 정리의 2차원 버전과 동등합니다.

\int_{D}\left(\n)abla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\point _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n} \,ds,

$여기서$ ∇ ⋅ F {\ $displaystyle$ \n $abla \cdot \mathbf$ {F $}는$ $\mathbf {F}$ 벡터 필드 F ${\displaystyle$ \ $mathbf$ {F $}에서의$ 발산이고 $\mathbf {F}$ $\mathbf {\hat {n}}$ ^ ${\displaystyle$ \ $mathbf {\hat$ {n $}}은$ 경계의 $\mathbf {\hat {n}}$ 바깥쪽 점 단위 정규 벡터입니다.

이를 확인하려면 방정식의 오른쪽에 있는 $\mathbf {\hat {n}}$ 단위 정규 $\mathbf {\hat {n}}$ ${\$ 를) 생각합니다. 그린의 $d\mathbf {r} =(dx,dy)$ 에서 d $d\mathbf {r} =(dx,dy)$ = ( $d\mathbf {r} =(dx,dy)$ x $,$ dy) {\displaystyle d\mathbf {r} = (dx,dy)}는 곡선을 따라 접선을 가리키는 벡터이고, 곡선 C는 경계를 따라 양의 방향으로 향하는 (즉, 반시계 방향) 곡선이므로, 바깥쪽 법선은 이것의 오른쪽으로 90°를 가리키는 벡터일 것입니다. 하나의 선택은 (dy, $(dy,-dx)$ ${\displaystyle (dy$ )}. 이 벡터의 길이는 ${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$ ${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$ 2 ${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$ + ${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$ 2 = ${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$ 입니다 $.$ {\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}= ds 입니다. $}$ 그래서 $(dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.$ ( $(dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.$ - d $(dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.$ ) $=$ $(dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.$ $^$ $ds.$ {\displaystyle (dy, - $dx$ ) $=$ \mathbf {\hat {n}} \,ds. $}$

그린 정리의 왼쪽부터 시작합니다.

\point _{C}(L\,dx+M\,dy)=\point _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\point _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n} \,ds.

\mathbf {F} =(M,-L)

=

\mathbf {F} =(M,-L)

(

\mathbf {F} =(M,-L)

- L) {\displaystyle \mathbf {F} = (M, - L)}를 사용한 2차원 발산 정리를 적용하면 그린 정리의 오른쪽을 얻을 수 있습니다.

\point_{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\iint_{D}\left(\nabla \cdot (M,-L)\right)\,dA=\int_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial}\right)\,dA.

면적계산

그린의 정리는 선적분으로 넓이를 계산하는 데 사용될 수 있습니다.^[4] 평면 영역 $D$ ${\displaystyle$ D $}$ 의 면적은 다음과 같습니다 $D$ .

A=\iint_{D}dA.

∂ ${\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1$ 이 x - ∂ L ∂ ${\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1$ = ${\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1$ 1 ${\displaystyle {\frac$ {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1 $}$ 를 선택하면 영역은 다음과 같습니다.

A=\point _{C}(L\,dx+M\,dy)

$D$ $D$ 영역에 대한 가능한 공식은 다음과 $D$ ^[4] 같습니다.

A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).

역사

이 이름은 1828년 '전기와 자기 이론에 대한 수학적 분석의 적용에 관한 에세이'라는 제목의 논문에서 비슷한 결과를 밝힌 조지 그린의 이름을 따서 지어졌습니다. 1846년 오귀스트 루이 코시는 그린의 정리를 마지막 문장으로 기술한 논문을 발표했습니다. 이것은 사실 현대 교과서에 등장하는 형태의 그린 정리의 첫 번째 인쇄본입니다. 베른하르트 리만은 복소변수의 함수론에 관한 박사학위 논문에서 그린의 정리를 최초로 증명했습니다.^[5]^[6]

참고 항목

평면계 – 면적을 측정하기 위한 도구입니다.
영상 전하의 방법 – 정전학에서 유일성 정리를 이용하는 방법(Green's theorem에서 파생됨)
신발끈 공식 – 단순 다각형에 대한 그린 정리의 특별한 경우

참고문헌

^ Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
^ Spiegel, M. R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
^ Apostol, Tom (1960). Mathematical Analysis (1 ed.). Reading, Massachusetts, U.S.A.: Addison-Wesley Publishing Company, INC.
^ ^a ^b Stewart, James (1999). Calculus (6th ed.). Thomson, Brooks/Cole. ISBN 9780534359492.
^ 전기와 자기 이론에 대한 수학적 분석의 적용에 관한 수필, 조지 그린 (Notingham, 영국: T. 휠하우스, 1828). 그린은 실제로 이 글에 등장하는 "그린의 정리"의 형태를 도출한 것이 아니라, 에세이의 10~12쪽에 등장하는 " 발산 정리"의 형태를 도출한 것입니다.
1846년, 이 글에 등장하는 "녹색의 정리"의 형태는 증명 없이 오거스틴 코시(Augustin Cauchy: A)의 글에서 처음 발표되었습니다. Cauchy (1846) "등식의 적분은 닫힌 곡선의 모든 점에 걸쳐 확장되는 적분에 대하여", Competes rendus, 23:251–255. (식은 254쪽 하단에 나타나는데, 여기서 (S는 영역 S를 둘러싸는 곡선을 따라 함수 k의 선적분을 나타냅니다.)
1851년 베른하르트 리만이 그의 첫 번째 논문에서 이 정리의 증명을 제공했습니다. 베른하르트 리만(Bernhard Riemann, 1851) 그룬들라겐 모든 게마인 이론의 함수 einer veränderlichen complexen Grössse(가변 복소수 함수의 일반 이론의 기초). Adalbert Rente, 1867); 8-9페이지 참조.
^ Katz, Victor (2009). "22.3.3: Complex Functions and Line Integrals". A History of Mathematics: An Introduction. Addison-Wesley. pp. 801–5. ISBN 978-0-321-38700-4.

외부 링크

수학 세계에 관한 그린의 정리

[1] Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2010). Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.

[2] Spiegel, M. R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

[3] Apostol, Tom (1960). Mathematical Analysis (1 ed.). Reading, Massachusetts, U.S.A.: Addison-Wesley Publishing Company, INC.

[stuart-4] Stewart, James (1999). Calculus (6th ed.). Thomson, Brooks/Cole. ISBN 9780534359492.

[5] 전기와 자기 이론에 대한 수학적 분석의 적용에 관한 수필, 조지 그린 (Notingham, 영국: T. 휠하우스, 1828). 그린은 실제로 이 글에 등장하는 "그린의 정리"의 형태를 도출한 것이 아니라, 에세이의 10~12쪽에 등장하는 " 발산 정리"의 형태를 도출한 것입니다.
1846년, 이 글에 등장하는 "녹색의 정리"의 형태는 증명 없이 오거스틴 코시(Augustin Cauchy: A)의 글에서 처음 발표되었습니다. Cauchy (1846) "등식의 적분은 닫힌 곡선의 모든 점에 걸쳐 확장되는 적분에 대하여", Competes rendus, 23:251–255. (식은 254쪽 하단에 나타나는데, 여기서 (S는 영역 S를 둘러싸는 곡선을 따라 함수 k의 선적분을 나타냅니다.)
1851년 베른하르트 리만이 그의 첫 번째 논문에서 이 정리의 증명을 제공했습니다. 베른하르트 리만(Bernhard Riemann, 1851) 그룬들라겐 모든 게마인 이론의 함수 einer veränderlichen complexen Grössse(가변 복소수 함수의 일반 이론의 기초). Adalbert Rente, 1867); 8-9페이지 참조.

[6] Katz, Victor (2009). "22.3.3: Complex Functions and Line Integrals". A History of Mathematics: An Introduction. Addison-Wesley. pp. 801–5. ISBN 978-0-321-38700-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v t 미적분학.
프리칼큘러스	이항정리 오목함수 연속함수 요인 유한차 자유 변수 및 한계 변수 함수의 그래프 선형 함수 라디안 롤의 정리 챈트 슬로프 접선
한계	불확정형태 함수의 극한 일방한계 수열의 한계 근사순서 (ε, δ)-한계의 정의
미분적분학	도함수 이차 도함수 편미분 미분 미분 연산자 평균값정리 표기법 라이프니츠 표기법 뉴턴 표기법 미분의 법칙 직선성 힘 합 체인 호텔스 제품. 라이프니츠 장군의 법칙 몫 기타기법 암묵적 미분 역함수와 미분 로그 도함수 관련요금 정지점 1차 도함수 검정 이계도함수 판정법 극값 정리 최대값과 최소값 추가 응용프로그램 뉴턴의 방법 테일러 정리 미분방정식 상미분방정식 편미분방정식 확률미분방정식
적분학	원시함수 호 길이 리만 적분 기본속성 적분 상수 미적분학의 기본 정리 적분 기호에 따른 미분 부품별 통합 대체에 의한 적분 삼각법의 오일러 접선 반각 치환 적분에서 부분분수 이차 적분 사다리꼴 규칙 볼륨 워셔 방식 쉘법 적분방정식 적분차방정식
벡터 미적분학	도함수 컬 방향 도함수 발산 그라데이션 라플라시안 기본정리 선적분 그린즈 스톡스' 가우스의
다변수 미적분학	발산정리 기하학적 헤센 행렬 야코비안 행렬 및 행렬식 라그랑주 승수 선적분 매트릭스 다중적분 편미분 표면적분 부피적분 고급주제 미분형식 외도함수 일반화된 스톡스 정리 텐서 미적분학
수열과 급수	산술 기하학 수열 시리즈의 종류 교대 이항 푸리에 기하학적 고조파 인피니트 힘 매클로린 테일러 망원경 수렴성 검정 아벨스 교대급수 코시 응축 직접비교 디리클레츠 적분 한계비교 비율 뿌리 용어
특수함수 그리고 숫자들	베르누이 수 e(mathemat 상수) 지수함수 자연로그 스털링의 근사
미적분학의 역사	적정성 브룩 테일러 콜린 매클로린 대수학의 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 무한소 무한소 미적분학 아이작 뉴턴 플럭시온 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭스의 방법 기계적 정리의 방법
목록	미분규칙 지수함수의 적분 목록 쌍곡함수의 적분 목록 역쌍곡선함수의 적분 목록 역삼각함수의 적분 목록 무리함수의 적분 목록 로그 함수의 적분 목록 유리함수의 적분 목록 삼각함수의 적분 목록 챈트 큐빙된 암수 한계 목록 적분 목록
기타주제	복소 미적분학 등고선 적분 미분기하학 다양체 곡률 곡선의 표면의 텐서 오일러-매클로린 공식 가브리엘의 뿔 인테그레이션 비 22/7이 exceeds을 초과함을 증명합니다. 레지오몬타누스의 각도 극대화 문제 슈타인메츠 고체

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