이중 매트로이드

매트로이드 이론에서 매트로이드 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$$}$의 이중은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과 동일한 요소를 가지며$$$,$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과(와) 기본 집합이 분리되어 있는$$ 경우에만 세트가 독립적인 또 다른 $매트로이드{\displaystyle {}^{}}$ M$∗{\$}이다$$.^[1][2][3]

매트로이드 듀얼은 하슬러 휘트니가 매트로이드를 정의한 원본 논문으로 되돌아간다.^[4]그들은 평면 그래프 이중성의 개념을 일반화한다.

기본 속성

이중성은 비자발적이다: 모든 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$,${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$∗${\displaystyle {}^{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$∗${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M^{\ast }}^{\ast$ }}}^{\ast $}=M$^[1][3][4]

이중 매트로이드의 다른 정의는 그 기본 집합이 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 기본 집합의 보완물이라는 것이다$.$ 기본 교환 공리는 그 기저로부터 매트로드를 정의하는데 사용되며, 따라서 매트로이드의 이중은 반드시 매트로이드다.^[3]

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 플랫은 $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ $\}$의 주기 집합(회로 유니언)과 보완되며$$, 그 반대의 경우도 마찬가지다.^[3]

If ${\displaystyle r}$ is the rank function of a matroid ${\displaystyle M}$ on ground set ${\displaystyle E}$, then the rank function of the dual matroid is ${\displaystyle r^{\ast }(S)=r(E\setminus S)+ S -r(E)}$.^[1][3][4]

미성년자

매트로이드 부차는 두 $가지{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{연산}}$에 의해$$ 더 큰 $매트로이드{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$ $M$$}$에서 형성된다. 제한 M ${\displaystyle \setminus }$ x ${\displaystyle$ M$\setminus$ x$}$은(는) 나머지 세트의 독립성이나 ${\displaystyle 순위}$를 변경하지 않고$$ $M{\displaystyle }$ ${\$$displaystyty$ $M$$}$에서 $요소{\displaystyle }$ x ${\\displaysty x$$}$을 삭제한다$.$$$ 소속된 모든 집합의 순위에서 $x$를 뺀$$ $M${\$displaystyle$ m}에서$$ x {\$displaystyle x}$을(를) 삭제하십시오.These two operations are dual: ${\displaystyle M\setminus x=(M^{\ast }/x)^{\ast }}$ and ${\displaystyle M/x=(M^{\ast }\setminus x)^{\ast }}$. Thus, a minor of a dual is the same thing as a dual of a minor.^[5]

자가이중매트로이드

개별적인 매트로이드(matroids)는 자신의 이중에 대해 이형인 경우 자기 이중(예: 그래픽 매트로이드에 대한 자기 이중 다면체)이다.이형성(異形性)은 매트로이드의 요소를 고정시킬 수 있지만, 반드시 그렇지는 않다.독립적 오라클을 통해 매트로이드에 액세스할 수 있는 주어진 특정 매트로이드의 자가 이중화 여부를 테스트하는 알고리즘은 기하급수적인 수의 오라클 쿼리를 수행해야 하므로 다항식 시간을 사용할 수 없다.^[6]

마트로이드 가문

많은 중요한 매트로이드 가문은 자가이중인데, 이는 매트로이드 가문이 이중으로 되어 있는 경우 그리고 이중으로 되어 있는 경우에만 그 가문에 속한다는 것을 의미한다.많은 다른 종족들은 이중으로 짝을 지어 온다.이러한 현상의 예는 다음과 같다.

• 2진성 매트로이드(GF(2)보다 표현 가능한 매트로이드)와 다른 모든 분야에 걸쳐 표현 가능한 매트로이드, 일반 매트로이드는 모두 자기 이중 가족이다.^[7]
• 그 가모이드는 자기 이중적인 가족을 형성한다.그 엄격한 가모이드는 횡단성 매트로이드에 이중적이다.^[8]
• 균일한 매트로이드와 칸막이 매트로이드는 자가이중이다.균일한 매트로이드 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ U${}_{n}^{r}}$에 대한 듀얼은 균일한 매트로이드 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}}$r ${\$n}^{$n-r}}}}$이다$.$^[9]
• 그래픽 매트로이드의 이중은 기본 그래프가 평면인 경우에만 그래픽이다. 평면 그래프의 이중 매트로드는 그래프의 매트로이드의 이중과 동일하다.따라서 평면 그래프의 그래픽 매트로이드 계열은 자가 이중이다.^[10]
• 그래픽 매트로이드 중에서, 그리고 보다 일반적으로 2진 매트로이드 중에서, 초당적 매트로이드(모든 회로가 짝수인 매트로이드)는 오일러 매트로이드(분리 회로로 분할할 수 있는 매트로이드)에 이중적이다.^[11][12]

대수학 매트로이드 가문이 자기이중인지 아닌지는 공공연한 문제다.

V가 벡터 공간이고 V*가 직교 보완물이라면 V의 선형 매트로이드와 V*의 선형 매트로드는 이중이다.각막으로서, 선형 매트로이드의 이중은 선형 매트로이드다.^[13]

참조