더빈 검정

설계된 실험의 분석에서 Friedman 테스트는 완전한 블럭 설계에 대한 가장 일반적인 비모수 검정이다.더빈 테스트는 전체 블록 설계의 경우 Friedman 테스트로 감소하는 균형 잡힌 불완전한 설계에 대한 비모수 테스트다.

배경

랜덤화 블럭 설계에서는 b 블럭에 k 처리를 적용한다.완전한 블록 설계에서는 모든 블록에 대해 모든 처리가 실행되며 데이터는 다음과 같이 배열된다.

	치료1길	치료2길	$\displaystyle \cdots }$	치료 k
블록 1	X11	X12	$\displaystyle \cdots }$	X1k
블록 2	X21	X22	$\displaystyle \cdots }$	X2k
블록3길	X31	X32	$\displaystyle \cdots }$	X3k
$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\ddots }$	$\displaystyle \vdots }$
블락 b	Xb1	Xb2	$\displaystyle \cdots }$	Xbk

일부 실험의 경우 모든 블럭에서 모든 처리를 실행하는 것이 현실적이지 않을 수 있으므로 불완전한 블럭 설계를 실행해야 할 수도 있다.이 경우 균형 잡힌 불완전 설계를 실시하는 것이 적극 권장된다.균형 잡힌 불완전한 블럭 설계에는 다음과 같은 특성이 있다.

1. 모든 블럭에는 k개의 실험 단위가 들어 있다.
2. 모든 치료법은 r블록으로 나타난다.
3. 모든 치료는 모든 다른 치료와 함께 동일한 횟수로 나타난다.

검정 가정

더빈 테스트는 다음과 같은 가정을 바탕으로 한다.

1. b블록은 상호 독립적이다.즉, 한 블록 내의 결과가 다른 블록 내의 결과에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다.
2. 데이터는 의미 있게 순위를 매길 수 있다(즉, 데이터는 최소한 서수 척도를 가진다).

테스트 정의

R(X_ij)을 블록 i(즉, 주어진 행 내의 순위) 내에서 X에_ij 할당된 순위가 되게 한다.동점의 경우 평균 순위가 사용된다.계급을 합산하여 얻는다.

${\displaystyle R_{j}=\sum _{i=1}^{b}R(X_{ij}})}$

더빈 테스트는 그 다음이다.

H₀: 치료 효과가 동일하다.

H_a: 하나 이상의 치료법이 하나 이상의 다른 치료법과 다르다.

검정 통계량은

${\displaystyle T_{2}={\frac {T_{1}/\좌측(t-1\우측)}{\좌측(bk-b-T_{1}\우측)/\좌측(bk-b-t+1\우측)}}}$

어디에

${\displaystyle T_{1}={\frac {t-1}{A-C}}\왼쪽(\sum _{j=1}^{t_{j}^{2}-rC\right)}}$

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{b}\sum _{j=1}{j=1}^{k(X_{ij})$

${\displaystyle C={\frac {1}{4}bk\왼쪽(k+1\오른쪽)^{2}}$

여기서 t는 처리 횟수, k는 블록당 처리 횟수, b는 블럭 수, r은 각 처리가 나타나는 횟수다.

유의 수준 α의 경우 임계 영역은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle T_{2}]F_{\alpha ,k-1,bk-b-t+1}:{\displaystyle T_{2}){\alpha ,k-1,bk-$

여기서 F는_{α, k − 1, bk − b − t + 1} 자유도가 k - 1이고 자유도가 bk - b - t + 1분모인 F 분포의 α-Qantile을 의미한다.검정 통계가 임계 영역에 있으면 귀무 가설이 기각된다.동일한 치료 효과에 대한 가설을 기각할 경우 어떤 치료법이 다른지(즉, 다중 비교)를 결정하는 것이 바람직할 경우가 많다.치료 i와 j는 다음과 같은 경우 다른 것으로 간주된다.

${\displaystyle R_{j}-R_{i} >t_{1-\alpha /2,bk-b-t+1}{\sqrt {{\frac {2\left(A-C\right)r}{bk-k-t+1}}\left(1-{\frac {T_{1}}{b\left(k-1\right)}}\right)}}}$

여기서 R과_j R은_i 블럭 내의 순위 총합이며, 자유도가_{1 − α/2, bk − b − t + 1} bk - b - t + 1인 t 분포의 1 - α/2 퀀텀을 나타낸다.

역사 노트

T는₁ 제임스 더빈이 제안한 원래 통계량이었는데, 대략 ${\displaystyle {null}_{}^{}}$ t -${\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$ ${\$$즉{\displaystyle }$, t${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty t-1}$자유도를$$ 가진 카이-제곱)의 분포를 가질 것이다.T₂ 통계량은 임계 영역이 약간 더 정확하기 때문에 현재 선호되는 통계량이다.T₂ 통계량은 R(X_ij) 등급에서 계산된 이원 분산 분석 통계량이다.

관련시험

이항 반응 변수의 특별한 경우(즉, 가능한 두 가지 결과 중 하나만 가질 수 있는 경우)에 대해 Cochran의 Q 시험이 적용된다.Cochran의 Q 테스트는 완전한 블록 설계에만 유효하다.

참고 항목

• 변량분석법
• 프리드먼 테스트
• Kruskal-Wallis 일원 분산 분석
• 밴더 바어든 테스트

참조

• Conover, W. J. (1999). Practical Nonparametric Statistics (Third ed.). Wiley. pp. 388–395. ISBN 0-471-16068-7.

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