동적 위험 측정

금융 수학에서 조건부 위험 측정은 마치 미래의 어느 시점에서 측정되는 것처럼 금융 위험(특히 하방 위험)의 랜덤 변수다. 위험 측정은 사소한 시그마 대수학에 대한 조건부 위험 측정으로 생각할 수 있다.

동적 리스크 대책은 서로 다른 시기에 리스크 평가가 어떻게 연관되어 있는지에 대한 문제를 다루는 리스크 대책이다. 조건부 리스크 대책의 연속이라고 해석할 수 있다. ^[1]

동적 위험 측정에 대한 다른 접근방식이 노박에 의해 제안되었다.^[2]

조건부 위험도 측정

어떤 $터미널{\displaystyle }$ 시간 T ${\displaystyle T}$에서 포트폴리오의 수익을 균일하게 경계하는 랜덤 변수로 고려하십시오. 즉, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle F_{}}$ T${\displaystyle {}_{}}$) ${\$ X$\in L^{\ft{}\$ft}\$ft({\mathcal{F}_{T}\right)}$는 포트폴리오의 수익을 나타낸다$$. 매핑 mapping ${\displaystyle t_{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{F}_{}}$ T${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle t_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$) ${\$$L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)\rightarrow L_{t}^{\infty }=L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{t}\right)}$ is a conditional risk measure if it has the following properties for random portfolio returns ${\displaystyle X,Y\in L^{\infty }\left({\mathcal {F}}_{T}\right)}$:^[3][4]

조건부현금불변동

${\displaystyle \forall m_{t}\in L_{t}^{\\infit }:\;\rho_{t}(X+m_{t})=\rho_{t}-m_{t}}}}}}$^{[필요하다]}

단조도

${\displaystyle \mathrm {If} \;X\leq Y\;\mathrm {ten} \;\rho _{t}(X)\geq \rho _{t}(Y)}$^{[필요하다]}

정규화

${\displaystyle \rho _{t}(0)=0}$^{[필요하다]}

조건부 볼록 위험 조치인 경우 다음과 같은 특성도 갖는다.

조건부 볼록도

${\displaystyle \forall \lambda \in L_{t}^{\infty },0\leq \lambda \leq 1:\rho _{t}(\lambda X+(1-\lambda )Y)\leq \lambda \rho _{t}(X)+(1-\lambda )\rho _{t}(Y)}$^{[필요하다]}

조건부 일관성 있는 위험 측정은 다음을 추가로 충족하는 조건부 볼록 위험 측정이다.

조건부 양의 동질성

$\displaystyle \all \lambda \in L_{t}^{\npty }}\lambda \geq 0:\rho _{t}(\lambda X)=\lambda \rho_{t}(X)}$^{[필요하다]}

합격 집합

조건부 위험 측정과 관련된$$ $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$의 허용 집합은

${\displaystyle A_{t}=\{$$s$$}}\}}$.

시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 허용 집합이 주어지는 경우$$ 해당 조건부 위험 측정은

${\displaystyle \rho _{t}={\text{ess}\inf\{{}}Y\in L_{t}^{\inful }:X+Y\in A_{t}\}}$

${\displaystyle \text{여기}}$서 에센스 ${\displaystyle{\text{$ess}\$inf }$이(가) 필수 최소값이다.^[5]

일반재산

A conditional risk measure ${\displaystyle \rho _{t}}$ is said to be regular if for any ${\displaystyle X\in L_{T}^{\infty }}$ and ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{t}}$ then ${\displaystyle \rho _{t}(1_{A}X)=1_{A}\rho _{t}(X)}$ where $$${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 지표 함수로서$,$ 모든 정규화된 조건부 볼록 위험 측정은 규칙적이다.^[3]

이에 대한 재무 해석에 따르면 일부 미래 노드(예: ${\displaystyle {\rho }_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$)[${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \rho _{t(X)[\omega$의 조건부 위험은 해당 노드로부터의 가능한 상태에만 의존한다. 이항 모델에서 이는 해당 지점에서 분기되는 하위 트리의 위험을 계산하는 것과 유사할 것이다.

시간 일치 속성

A dynamic risk measure is time consistent if and only if ${\displaystyle \rho _{t+1}(X)\leq \rho _{t+1}(Y)\Rightarrow \rho _{t}(X)\leq \rho _{t}(Y)\;\forall X,Y\in L^{0}({\mathcal {F}}_{T})}$.^[6]

예: 동적 슈퍼헤딩 가격

The dynamic superhedging price involves conditional risk measures of the form ${\displaystyle \rho _{t}(-X)=\operatorname {*} {ess\sup }_{Q\in EMM}\mathbb {E} ^{Q}[X {\mathcal {F}}_{t}]}$. It is shown that this is a time consistent risk measure.

참조