에렌페스트의 역설

에렌페스트의 역설은 상대성 이론에서 "강체" 원반의 회전에 관한 것이다.

Paul ^[1]Ehrenfest가 특수상대성이론에서 Born 강성의 개념과 관련하여 제시한 1909년 제식에서는 ^[2]대칭축을 중심으로 회전하는 이상적인 강성 실린더에 대해 설명합니다.실험실 프레임에서 보이는 반지름 R은 항상 운동에 수직이므로 정지 시 값₀ R과 같아야 합니다.단, 원주(2µR)는 정상인자 θ에 의해 정지시보다 작은 값으로 축소된 것으로 보여야 한다.이는 R = R과₀ R < ^[3]R이라는₀ 모순으로 이어진다.

알버트 아인슈타인에 의해 역설은 더욱 심화되었는데, 아인슈타인은 주변부를 따라 정렬된 막대 측정과 함께 움직이는 막대 측정이 수축된 것처럼 보여야 하기 때문에, 더 많은 막대들이 원주 주변에 들어맞을 것이고, 따라서 2µR 이상 측정될 것이라는 것을 보여주었다.이것은 기하학이 회전하는 관찰자들에게 비유클리드이고, 아인슈타인의 일반 ^[4]상대성 이론 발전에 중요했다는 것을 나타냅니다.

원심압력은 재료의 전단계수를 초과할 수 없기 때문에 재료의 음속에 가까운 횡속도로 회전하는 실제 재료는 원심력에 의한 파열점을 초과해야 한다.

$({displaystyle {f} {S} = flac {mv^{2}} {rS} <\ frac {mc_{s} {rS}} {rS}} \ about {\ frac { mG} {rS\rho } } ） 。$

${\displaystyle {여기}_{}}$서$$c {\$displaystyle c_{$s$$}는 음속,$\delta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \rho}$는 밀도,$G{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ G$}$는 전단 계수입니다.그러므로 빛의 속도에 가까운 속도를 고려할 때, 그것은 단지 사고 실험일 뿐이다.중성자 축퇴 물질은 중성자별 진동 속도가 상대론적이기 때문에 빛의 속도에 가까운 속도를 허용한다(이러한 물체는 엄밀하게는 "강체"라고 말할 수 없음).

역설의 본질

반지름 R의 디스크가 일정한 각속도$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \omega$로 회전한다고 가정합니다.

기준 프레임은 디스크의 고정된 중심에 고정됩니다.디스크 원주상의 임의의 점의 상대 속도 크기는 ${\displaystyle \delta }$R(\$displaystyle \obe$ R$)$입니다.따라서 원주는 1${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{(\theta {}^{}}}$R )${\displaystyle \sqrt{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}}$ / ${\displaystyle \sqrt{{c\mathrm{}}^{}}}$2 (\$displaystyle${1-(\$displaystyle$ {$1-\obe R)^2$} /$c^{2$의 배수로 로렌츠 수축합니다.

그러나 반지름은 운동방향과 수직이기 때문에 수축은 일어나지 않습니다.그렇게

${\displaystyle {\mathrm {conference}{\mathrm {frc}}=sqrt {2\pi R}{1-(\mega R)^2}/c^{2}}}}}}{2}}R}}=\pi({1-(오메가 R)^{2}/c^{2}})}$

유클리드 기하학에 따르면, 이것은 정확히 θ와 같아야 하기 때문에 역설적이다.

에렌페스트의 주장

Ehrenfest는 회전하는 이상적인 Born-Rigid 실린더로 간주되었습니다.실린더가 팽창하거나 수축하지 않는다고 가정할 때, 실린더의 반지름은 동일하게 유지됩니다.단, $원주{\displaystyle \mathrm{}}$ 2$r R을$따라$$ 배치된 측정봉은 정상계수 γ 로 정지상태보다 작은 값으로 축소해야 한다.이는 로렌츠 수축으로 인해 강체 측정봉이 서로 분리되어야 한다는 역설로 이어집니다. 에렌페스트가 지적한 불일치는 회전된 Born 강체 원반이 깨져야 한다는 것을 암시하는 것으로 보입니다.

그래서 에렌페스트는 Born 강성이 일반적으로 특수 상대성 이론과 양립할 수 없다고 reductio ad furnum에 의해 주장했다.반면에 태어난 강성을 유지하는 특별한 상대성 이론에 따르면 개체를non-rotating 상태에서지만 한때 특별한 상대성을 위배하지 않고 disk-riding 관찰자 둘레는:[3]C′을 측정할 것이다(아인슈타인이 나중에 보여 줬다)출생. 강성을 유지하나 일정한 조금이라도 각 속도 달성했다 신설될 수 없다. $2$$2$$}$

아인슈타인과 일반상대성이론

회전하는 원반과 그것의 강성과의 연관성은 또한 일반 상대성 이론을 ^[4]개발하는 데 있어 알버트 아인슈타인에게 중요한 사고 실험이었다.그는 1912년, 1916년, 1917년, 1922년 여러 출판물에서 그것을 언급했고, 원반의 기하학이 공회전하는 관찰자에게 비유클리드적이 된다는 통찰력을 얻었다.아인슈타인은 다음과 같이 썼다.^[5]

66ff: K'의 x'y 평면에서 원점과 이 원의 직경에 대해 그려진 원을 상상해 보십시오.더 나아가, 우리가 서로 동일한 다수의 단단한 막대기를 제공했다고 상상해 보십시오.우리는 이것들이 K'에 상대적인 정지 상태에서 원의 주변과 직경을 따라 직렬로 놓여 있다고 가정한다.U가 주변부의 막대 수이고 D가 직경을 따른 수이고 K'가 K에 대해 상대적으로 회전하지 않으면 U${\displaystyle /D}$ $=$ {$display$ U$/D$=\$pi$ $\}$가 $되지만{\displaystyle }$ K'가 회전하면 다른 결과를 얻을 수 있다.K의 일정한 시간 t에서 모든 막대의 끝을 결정한다고 가정합니다.K에 관해서 주변부의 모든 로드는 로렌츠 수축을 경험하지만, 직경의 로드는 (길이에 따라) 이 수축을 경험하지 않는다.따라서[/ D $]>$ [ \ $displaystyle U$ / D > \ pi 가 됩니다.

따라서 K'에 대한 강체의 구성 법칙은 유클리드 기하학에 따른 강체의 구성 법칙과 일치하지 않는다.또한 두 개의 유사한 클럭(K'로 회전)을 원주위에 배치하고 다른 클럭을 원의 중심에 배치하면 K에서 판단하면 원주위의 클럭은 중심부의 클럭보다 느려집니다.K'에 대한 시간을 완전히 부자연스럽지 않게, 즉 K'에 대한 법칙이 시간에 따라 명확하게 달라지는 방식으로 정의한다면 K'에서 판단한 것과 같은 일이 일어나야 한다.따라서 공간과 시간은 K'에 대해 관성계에 대한 특수 상대성 이론에서와 같이 정의될 수 없다.그러나 등가 원리에 따르면 K'는 중력장(원심력과 코리올리의 힘)이 존재하는 정지계로도 간주된다.그러므로 우리는 결과에 도달한다: 중력장이 시공간 연속체의 운율 법칙에 영향을 미치고 심지어 결정한다.만약 이상적인 강체의 구성 법칙이 기하학적으로 표현된다면, 중력장의 존재 하에서 기하학은 유클리드형이 아니다.

간단한 이력

아래에 언급된 논문(그리고 많은 것은 아님)에 대한 인용문은 온라인에서 ^[3]구할 수 있는 vyvind Grön의 논문에서 찾을 수 있습니다.

• 1909: Max Born은 특수 상대성 ^[6]이론에서 강체 운동 개념을 도입한다.
• 1909: Born의 강성 개념을 연구한 후, Paul Ehrenfest는 정지 상태에서 회전하는 원통에 대한 역설로 확장된 물체의 대부분의 움직임은 Born이 ^[1]강성으로 태어날 수 없다는 것을 증명했습니다.
• 1910: Gustav Herglotz와 Fritz Noether는 독립적으로 Born의 모델을 상세하게 설명하여 보여주었다(Herglotz-).노에테르 정리) 선천적 강성은 움직이는 물체에 대해 3가지 자유도만 허용한다.예를 들어 강체가 균일한 회전을 하고 있을 가능성이 있지만 가속 회전은 불가능하다.따라서 본 강체는 정지 상태에서 회전할 수 없으며, 에렌페스트의 결과를 ^[7][8]확인할 수 있습니다.
• 1910: 막스 플랑크는 디스크의 회전으로 인한 수축 문제와 정지 상태의 관측자에 비해 디스크 라이딩 관측자가 측정할 문제를 혼동해서는 안 된다는 사실에 주의를 환기시킨다.그는 첫 번째 문제를 해결하려면 몇 가지 재료 모델을 도입하고 ^[9]탄성 이론을 채택해야 한다고 제안한다.
• 1910: Theodor Kaluza는 정적 관측자와 디스크 라이딩 관측자가 원주에 대해 다른 결과를 얻는 것에 대해 본질적으로 모순적인 것은 없다고 지적한다.그러나 이것은 "회전 원반의 기하학"이 비유클리드라는 것을 암시한다고 칼루자는 주장한다.그는 증거 없이 이 기하학이 본질적으로 단지 ^[10]쌍곡면의 기하학일 뿐이라고 주장한다.
• 1911: Max von Laue는 가속된 물체는 무한한 자유도를 가지며, 따라서 특수 상대성 ^[11]이론에서는 강체가 존재할 수 없다는 것을 보여준다.
• 1916: 그의 새로운 일반 상대성 이론을 쓰는 동안, 알버트 아인슈타인은 원반 관측자들이 더 긴 둘레, C = 2 µr/µ1-v를² 측정한다는 것을 알아챘다.즉, 길이 축에 평행하게 움직이는 눈금자가 정적 관측자에 의해 측정되었을 때 짧아 보이기 때문에 디스크 라이딩 관측자는 고정된 관측자가 할 수 있는 것보다 원주 둘레에 주어진 길이의 더 작은 눈금자를 맞출 수 있습니다.
• 1922: A.S.Eddington은 그의 정석인 "상대성이론" (p. 113)에서 둘레에 적용되는 '로렌츠 수축' 인자의 1/4의 회전 원반의 반지름의 수축(정지 눈금 대비)을 계산합니다.
• 1935년: Paul Langevin은 기본적으로 디스크 라이딩 옵저버 패밀리에 대응하는 이동 프레임(또는 현대 언어로는 프레임 필드)을 도입했습니다.현재는 Langevin 옵저버라고 불립니다.(그림 참조)그는 또한 인근 랑게뱅 관측자에 의해 측정된 거리가 현재 랑게빈-란다우-리프시츠 ^[12]메트릭이라고 불리는 특정 리만 메트릭에 해당한다는 것을 보여준다.
• 1937년: 얀 바이스센호프(현재는 곡률 0과 비틀림 0이 없는 카르탄 접속에 관한 연구로 가장 잘 알려져 있을 것이다)는 랑게뱅 관측자가 초면 직교하지 않는다는 것을 알아차렸다.따라서 Langevin-Landau-Lifschitz 메트릭은 Minkowski 시공간 초슬라이스가 아니라 각 월드 라인을 점으로 대체하여 얻은 몫 공간에 정의된다.이것은 미터법 구조를 추가하면 리만 다양체가 되는 3차원 매끄러운 다양체를 제공합니다.
• 1946년: Nathan Rosen은 Langevin 관측자와 순간적으로 결합된 관성 관측자가 Langevin-Landau-Lifschitz 측정법에 의해 주어진 작은 거리도 측정한다는 것을 보여준다.
• 1946: E. L. 힐은 (대략적으로) 음속이 빛의 속도와 같은 물질에서 상대론적 응력을 분석하여 원심력에 의한 반지름 팽창을 상쇄한다는 것을 보여준다(물리적으로 현실적인 물질에서는 상대론적 효과가 감소하지만 반지름 팽창을 상쇄하지는 않는다).힐은 아서 에딩턴과 다른 사람들의 초기 ^[13]분석에서 오류를 설명한다.
• 1952: C. Möller는 회전 관측자의 관점에서 영 측지학을 연구하려고 한다(그러나 적절한 몫 공간이 아닌 슬라이스를 잘못 사용하려고 한다).
• 1968: V. Cantoni는 에렌페스트의 역설 진술에 암묵적으로 포함된 가정 중 하나가 정확하지 않다는 것을 보여주면서 역설에 대한 간단하고 순수한 운동학적 설명을 제공한다. 민코프스키 시공간 기하학이 봇과 같은 방식으로 디스크를 정지 상태에서 회전으로 통과시킬 수 있다는 가정이다.h 결합 기준 프레임에 대해 측정된 반지름의 길이와 주변부의 길이는 변경되지 않는다."
• 1975: øyvind Grön은 "파라독스"의 솔루션에 대한 고전적인 리뷰 논문을 쓰고 있습니다.
• 1977년: Grünbaum과 Janis는 물리적으로 실현 가능한 "비강성" 개념을 도입하여 초기 비회전 디스크의 스핀업에 적용할 수 있습니다(이 개념은 디스크를 만들 수 있는 실제 재료에는 물리적으로 현실적이지 않지만 사고 실험에는 ^[14]유용합니다).
• 1981년: 그룬은 후크의 법칙이 로렌츠 변환과 일치하지 않는다는 것을 깨닫고 상대론적 일반화를 도입한다.
• 1997: T. A. Weber는 Langevin 옵저버와 관련된 프레임 필드를 명시적으로 도입합니다.
• 2000: Hrvoje Nikolich는 회전 원반의 각 조각이 각각의 국소 비관성 프레임에 살고 있는 것처럼 (일반 상대성 이론에 따라) 분리 처리되면 역설은 사라진다고 지적합니다.
• 2002년: Rizzi와 Ruggiero(및 Bel)는 위에서 언급한 지수 다양체를 명시적으로 도입한다.

역설의 해결

Grön은 역설의 분해능은 회전 기준 ^[15]프레임의 클럭 동기화가 불가능하기 때문에 발생한다고 말한다.회전 원주상의 옵서버가 원주 주위의 클럭을 동기화하여 디스크 시간을 설정하려고 하면 두 엔드포인트 사이에 시간차가 생깁니다.

최신 해상도는 다음과 같이 요약할 수 있습니다.

1. 원반 주행 관측자에 의해 측정된 작은 거리는 Langevin-Landau-Lifschitz 측정법으로 설명되며, 이는 Kaluza가 주장한 것처럼 쌍곡면 기하학으로 (작은 각속도에 대해) 잘 근사된다.
2. 물리적으로 합리적인 물질의 경우, 스핀업 단계에서 실제 원반은 원심력에 의해 방사상으로 팽창합니다. 상대론적 보정은 부분적으로 뉴턴 효과를 상쇄합니다(그러나 취소하지 마십시오).정상 상태 회전이 달성되고 디스크가 이완된 후, "소형" 지오메트리는 랑게뱅-란다우-리프시츠 메트릭에 의해 대략적으로 주어집니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 견고하게 회전하는 원반을 타고 있는 관측자에게 적합한 좌표 차트용 본 좌표
• 길이 수축
• 상대론적 원반

특수 상대성 이론의 다른 "낙원"들

• 벨의 우주선 역설
• 사다리 역설
• 물리적 역설
• 서플리의 역설
• 쌍둥이 역설

메모들

인용문

인용된 작품

역사상의 흥미있는 논문 몇 편

몇 가지 고전적인 "현대적" 참조

몇 가지 실험 작업과 후속 논의

선택한 최근 소스

외부 링크

• Sci의 Michael Weiss(1995)가 쓴 상대성의 단단한 회전 디스크.물리 FAQ.
• 아인슈타인의 회전목마 (섹션 3.4.4), B.크로웰