벨의 우주선 역설

벨의 우주선 역설은 특수 상대성 이론의 사고 실험입니다. 그것은 E에 의해 처음 기술되었습니다. 디완이랑 엠. 1959년에^[1] 베란은 존 스튜어트 벨이 1976년에 이 아이디어를 더 자세히 설명한 후에 더 널리 알려지게 되었습니다.^[2] 같은 방향으로 향하는 두 우주선 사이에 섬세한 실이 걸려 있습니다. 관성 프레임 S에서 측정한 것과 동일하게 동시에 가속하기 시작하므로 S에서 볼 때 항상 동일한 속도를 갖습니다. 따라서 이들은 모두 동일한 로렌츠 수축을 받기 때문에 시작할 때의 길이에 대해 전체 조립체가 S 프레임으로 동일하게 수축되는 것으로 보입니다. 언뜻 보기에는 가속 중에 실이 끊어지지 않는 것처럼 보일 수 있습니다.

그러나 이 주장은 드완과 베란, 그리고 나중에 벨이 보여주듯이 틀렸습니다.^[1][2] 우주선 사이의 거리는 시작할 때의 거리에 대해 로런츠 수축을 겪지 않습니다. 왜냐하면 S에서 두 우주선의 동일하고 동시적인 가속도로 인해 S에서 동일하게 유지되도록 효과적으로 정의되기 때문입니다. 또한 동시성의 상대성으로 인해 우주선의 가속이 여기에서 동시적이지 않기 때문에 둘 사이의 휴식 길이가 순간적으로 정지한 프레임(S')에서 증가한 것으로 나타났습니다. 반면에 실은 정전기적 힘에 의해 결합된 물리적 물체로서 동일한 휴식 길이를 유지합니다. 따라서 프레임 S에서는 로렌츠가 수축되어야 하며, 이 결과는 운동하는 물체의 전자기장을 고려할 때도 도출될 수 있습니다. 따라서 두 프레임 모두에서 계산한 결과 나사산이 끊어지는 것으로 나타났습니다. S'에서는 비동시 가속 및 우주선 사이의 거리 증가로 인해, S에서는 나사산의 길이 수축으로 인해.

다음에서 물체의 휴식 길이^[3] 또는 적절한 길이는^[4] 물체의 휴식 프레임에서 측정된 길이입니다. (이 길이는 개체의 정지 프레임의 끝점에서 이러한 이벤트를 동시에 측정할 때 특수한 경우 두 이벤트 사이의 적절한 거리에 해당합니다.)^[4]

드완과 베란

Dewan과 Beran은 다음과 같이 생각하는 실험을 기술했습니다.

"관성 프레임 S에서 동일하게 제작된 로켓 두 대를 생각해 보세요. 그들이 같은 방향을 향하도록 하고 다른 쪽 뒤에 위치하도록 합니다. 만약 우리가 미리 준비된 시간에 두 로켓이 동시에 발사된다고 가정한다면, S에 대한 그들의 속도는 (시간의 함수일지라도) 나머지 실험 내내 항상 같습니다. 이것은 정의상 S에 대해 두 로켓 사이의 거리는 상대론적 속도까지 속도를 내더라도 변하지 않는다는 것을 의미합니다."^[1]

그러면 이 설정이 다시 반복되는데, 이번에는 1호 로켓의 뒷부분이 실크실로 2호 로켓의 앞부분과 연결됩니다. 그들은 다음과 같이 결론지었습니다.

"특수 이론에 따르면 실은 S에 대해 속도를 갖기 때문에 S에 대해 수축해야 합니다. 그러나 로켓은 S에 대해 일정한 거리를 유지하기 때문에 나사산이 수축할 수 없습니다. 따라서 충분히 높은 속도에서 나사산이 최종적으로 탄성 한계에 도달하여 끊어질 때까지 응력이 형성되어야 합니다."^[1]

또한 Dewan과 Beran은 로렌츠 변환을 적용하여 관성 프레임이 첫 번째 로켓과 순간적으로 결합하는 관점에서 결과에 대해 논의했습니다.

"$t{\displaystyle {\text{'}}^{}}$ =${\displaystyle }$($t$- v x${\displaystyle }$/ ${\displaystyle c^{}}$ ${\displaystyle 2}$ )$$/ 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle \scriptstyle t'=(t - vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}, (...) 여기에 사용된 각 프레임은 v x / c 2 {\display vx/c^{2}} 인자로 인해 동기화 방식이 다릅니다. $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$가 증가함에 따라 전면 로켓은 순간 관성 프레임에 대해 후면 로켓으로부터 더 먼 거리로 보일 뿐만 아니라 더 이른 시간에 시작된 것으로 보일 것입니다."^[1]

그들은 다음과 같이 결론지었습니다.

"어떤 사람은 물체의 모든 부분이 관성 프레임에 대해 동일한 가속도를 갖는 방식으로 움직이도록 제한될 때마다 (또는 관성 프레임에 대해 치수가 고정되고 회전이 없는 방식으로) 그러한 물체는 일반적으로 상대론적 스트레스를 경험해야 한다고 결론지을 수 있습니다."^[1]

그런 다음 그들은 a) 연결된 막대의 양 끝 사이의 거리와 b) 관성 프레임에 대해 동일한 속도로 움직이는 연결되지 않은 두 물체 사이의 거리 사이에 차이가 없어야 한다는 반대 의견에 대해 논의했습니다. 드완과 베란은 다음과 같이 논쟁함으로써 이의를 제거했습니다.

• 로켓은 정확히 같은 방식으로 만들어지기 때문에 S에서 같은 순간부터 같은 가속도로 시작하기 때문에 S에서 항상 같은 속도를 가져야 합니다. 따라서 그들은 S에서 같은 거리를 이동하고 있으므로 이 틀에서는 상호 거리가 변할 수 없습니다. 그렇지 않으면 거리가 S로 수축한다면 이 프레임에서도 로켓의 속도가 다르다는 것을 의미하며, 이는 동일한 구성과 가속도의 초기 가정과 모순됩니다.
• 그들은 또한 a)와 b) 사이에는 정말로 차이가 있다고 주장했습니다. case a)는 길이 수축의 일반적인 경우로, 로드가 강성으로 보일₀ 수 있는 한 항상 동일하게 유지되는 S의 로드의₀ 정지 길이 l의 개념에 기초합니다. 그런 상황에서 로드는 S에 수축됩니다. 그러나 거리는 S에서 불균등한 가속으로 인해 증가하기 때문에 b₀)의 경우 경직된 것으로 볼 수 없으며, 로켓은 이를 보완하기 위해 서로 정보를 교환하고 속도를 조정해야 합니다(a)의 경우 이러한 모든 복잡성이 발생하지 않습니다).

벨

벨 버전의 사고 실험에서, 세 우주선 A, B, C는 처음에는 A와 등거리이며, B와 C는 공통 관성 기준 프레임에서 정지되어 있습니다. 그런 다음 A에서 B와 C에 동시에 도달하기 위한 신호가 전송되어 B와 C가 수직 방향으로 가속하기 시작합니다(동일한 가속 프로파일로 사전 프로그래밍됨). 반면 A는 원래 기준 프레임에서 정지 상태를 유지합니다. 벨에 따르면, 이것은 B와 C가 (A의 나머지 프레임에서 볼 수 있듯이) "모든 순간에 동일한 속도를 가질 것이고, 따라서 서로 일정한 거리만큼 변위된 상태를 유지할 것입니다." 이제 B와 C 사이에 깨지기 쉬운 실을 묶으면 길이 수축으로 더 이상 길지 않아 끊어집니다. 그는 "자연 수축을 인위적으로 방지하는 것은 참을 수 없는 스트레스를 준다"^[2]고 결론지었습니다.

벨은 그 역설을 발표했을 때 "유명한 실험가"로부터 많은 회의에 직면했다고 보고했습니다. 분쟁 해결을 위해 CERN에서 비공식적이고 비체계적인 의견 조사를 실시했습니다. 벨에 따르면, 현이 끊어지지 않을 것이라는 "명백한 합의"가 있었다고, 부정확하게 주장했습니다. 벨은 다음과 같이 말합니다.

"물론, 처음에 틀린 답을 얻은 많은 사람들은 더 깊이 생각해보고 옳은 답을 얻습니다. 일반적으로 그들은 관찰자 B나 C에게 상황이 어떻게 보이는지 알아내야 할 의무를 느낍니다. 예를 들어, 그들은 B가 C가 점점 더 뒤로 떠내려가는 것을 보고, 그래서 주어진 실 조각이 더 이상 그 거리를 가로지를 수 없다는 것을 발견했습니다. 그런 사람들은 결국 피츠제럴드 수축을 포함한 A의 설명으로 볼 때 지극히 사소한 결론을 받아들이게 된 것은 이것을 해결한 후, 그리고 아마도 불안감이 남아있을 때 뿐입니다."

길이수축의 중요도

일반적으로 Dewan & Beran and Bell은 상대론적 응력은 물체의 모든 부분이 관성 프레임에 대해 동일한 방식으로 가속될 때 발생하며 길이 수축은 실제 물리적 결과를 가져온다고 결론지었습니다. 예를 들어 벨은 상대론적 전자기학을 이용하여 S 프레임에서 물체들 사이의 길이 수축이 없는 것뿐만 아니라 물체들의 길이 수축도 설명할 수 있다고 주장했습니다. 일그러진 전자기 분자간의 장들은 움직이는 물체를 수축시키거나, 그렇게 하는 것을 방해한다면 스트레스를 받게 합니다. 대조적으로 물체 사이의 공간에는 이러한 힘이 작용하지 않습니다.^[2] (일반적으로 리처드 파인만은 로렌츠 변환이 일정한 속도로 움직이는 전하의 퍼텐셜로부터 어떻게 유도되는지를 증명했습니다. (리에나드로 표현된 바와 같이)비처트 포텐셜). 역사적 측면과 관련하여, 파인만은 헨드릭 로렌츠가 로렌츠 변환에서 본질적으로 동일한 방식으로 도달했다는 정황을 언급했습니다.^[5] (로렌츠 변환의 역사 참조)

그러나 Petkov(2009)^[6]와 Franklin(2009)^[3]은 이 역설을 다르게 해석합니다. 그들은 로켓 프레임의 불균일한 가속으로 인해 줄이 끊어지고, 이로 인해 줄 사이의 휴식 길이가 증가한다는 결과에 동의했습니다(분석 섹션의 민코프스키 다이어그램 참조). 그러나 그들은 이러한 응력이 S의 길이 수축에 의해 발생한다는 생각을 부인했습니다. 그들이 생각하기에, 길이 수축은 "물리적 현실"이 아니라 단지 로렌츠 변환, 즉 그 자체로는 전혀 스트레스를 유발할 수 없는 4차원 공간에서의 회전의 결과일 뿐이기 때문입니다. 따라서 S를 포함한 모든 참조 프레임에서 이러한 응력의 발생과 끈의 파손은 상대론적 가속의 영향으로만 추정됩니다.^[3][6]

토론 및 간행물

폴 나우로키(Paul Nawrocki, 1962)는 끈이 끊어져서는 안 되는 이유를 세 가지 주장을 제시하는 반면,^[7] 에드몽 드완(Edmond Dewan, 1963)은 답변에서 자신의 원래 분석이 여전히 유효하다는 것을 보여주었습니다.^[8] 수년 후와 벨의 책 이후, 마쓰다와 기노시타는 그들이 독자적으로 재발견한 그 역설에 대한 기사를 일본 저널에 게재한 후 많은 비판을 받았다고 보도했습니다. 그러나 마쓰다와 기노시타는 구체적인 논문을 인용하지 않고, 이러한 반론은 일본어로 작성되었다고만 진술하고 있습니다.^[9]

However, in most publications it is agreed that the string will break, with some reformulations, modifications and different scenarios, such as by Evett & Wangsness (1960),^[10] Dewan (1963),^[8] Romain (1963),^[11] Evett (1972),^[12] Gershtein & Logunov (1998),^[13] Tartaglia & Ruggiero (2003),^[14] Cornwell (2005),^[15] Flores (2005),^[16] Semay (2006),^[17] Styer (2007),^[18] Freund (2008),^[19] Redzic (2008),^[20] Peregoudov (2009),^[21] Redžić (2009),^[22] Gu (2009),^[23] Petkov (2009),^[6] Franklin (2009),^[3] Miller (2010),^[24] Fernflores (2011),^[25] Kassner (2012),^[26] Natario (2014),^[27] Lewis, Barnes & Sticka (2018),^[28] Bokor (2018).^[29] 각도 가속도와 관련해서도 유사한 문제가 논의되었습니다: 그뢴(1979),^[30] 맥그리거(1981),^[31] 그뢴(1982, 2003).^[32][33]

즉시가속

마찬가지로 벨의 우주선 역설의 경우, 선박 사이의 초기$$ 정지 길이 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle L}($가속 후 S에서의 이동 길이와 동일)와 가속 후 S${\displaystyle {\text{'}}^{}}$에서의 $새로운$ 정지 $길$이 L' {\displaystyle L$'}$ 사이의 관계는 다음과 같습니다.^{[3][6][8][16]}

${\displaystyle {}^L}$ =$γ$L {\$displaysty$ L'=\gamma L}.

이 길이 증가는 다양한 방법으로 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 가속이 완료되면 선박들은 최종 정지 프레임(S')에서 일정한 위치를 유지하게 되므로, S에서 S'로 변환된 x좌표 사이의 거리만 계산하면 됩니다. $만약{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ A$${\$displaystyle x_{$$A}$ 및 $x$ ${\displaystyle B_{}}$ $=$ x ${\displaystyle A_{}}$+$$L {\displaystyle x_{B} $=$ x_{A} + L}은 S의 선박 위치이며, 새 정지 프레임 S'의 위치는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A}+L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}\\&=\gamma L\end{aligned}}$

Dewan(1963)은 동시성의 상대성 이론의 중요성을 입증한 또 다른 방법을 보여주었습니다.^[8] 프레임 S'는 가속이 완료된 후에 양쪽 선박이 정지하는 것을 특징으로 하는 구조물. 배들은 ${\displaystyle {tA}_{}}$ = ${\displaystyle {tB}_{}}$ {\$displaystyle$ $t_{$에서 동시에 가속하고 있습니다.$A$}$=t_{B}$는 S에서 (극소의 $assuming$ 가속도), B는 동시성의 상대성 때문에 A보다 먼저 S'에서 가속 및 정지하지만 시간차는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta'&=t'_{B}-t'_{A}=\gamma \left(t_{B}-{\frac {vx_{B}}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(t_{A}-{\frac {vx_{A}}{c^{2}}\right)\\&={\frac {\gamma vL}{c^{2}}\end{aligned}}}$

선박들은 가속 전에 S'에서 동일한 속도로 이동하므로, S에서의 초기 정지 길이 L ${\displaystyle L}$은 길이 수축으로 인해 ${\displaystyle {\mathrm{Lold}}_{}^{}}$'${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle L}$/$$γ${\displaystyle$L'_{old} = L $/\$gamma }만큼 S'에서 단축됩니다. S'의 틀에서 B는 A보다 먼저 가속을 시작하고 A보다 먼저 가속을 중단합니다. 이 때문에 A도 가속이 끝나는 순간까지 B는 항상 A보다 더 높은 속도를 가질 것이고, 둘 다 S'에 대해 정지해 있습니다. B와 A 사이의 거리는 A가 가속을 멈출 때까지 계속 증가합니다. A의 가속 타임라인은$$δ t' ${\displaystyle \Delta$t'}의 오프셋만큼 지연되지만 A와 B는 각각의 가속에서 동일한 거리를 커버합니다. 그러나 B의 타임라인은 A가 가속을 멈출 때까지$$δ t' {\displaystyle$\Delta$ t'}를 위해 S'에서 정지 상태를 유지하는 것을 포함합니다. 따라서 전체 코스에서 B가 커버하는 추가 거리는 이 단계에서 B가 이동한 거리를 측정하여 계산할 수 있습니다. 드완은 (다른 표기법으로) 관계에 도달했습니다.^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}L'&=L'_{old}+v\Delta t'={\frac {L}{\gamma }}+{\frac {\gamma v^{2}L}{c^{2}}\\&=\gamma L\end{aligned}}$

또한 S에서의 일정한 길이와 S'에서의 증가된 길이는 길이 수축 $공식$ L =${\displaystyle {}^{}\text{'}}$ /$$γ {\$displaystyle$ L= L$'/\$gamma}과 일치하며, 이는 S'에서 초기 정지 길이 L {\displaystyle L}이 γ {\displaystyle \gamma }만큼 증가하기 때문이며, S에서 동일한 인자에 의해 수축되므로 S에서도 동일하게 유지됩니다.^[6][14][18]

${\displaystyle L_{contr.}=L'/\gamma =\gamma L/\gamma =L}$

요약: 선박 사이의 휴식 거리가 S'에서$$γ L ${\displaystyle \gamma$ L}로 증가하는 반면, 상대성 원리는 (물리적 구성이 변경되지 않은) 문자열이 새로운 휴식 시스템 S'에서 휴식$길이$ L ${\displaystyle$ L}을 유지하도록 요구합니다. 따라서 배 사이의 거리가 증가하여 S'에서 파손됩니다. 위에서 설명한 바와 같이, 동일한 가속도로 인해 선박 사이의 거리가 동일하게 유지된 상태에서 끈의 길이 수축(또는 움직이는 분자장의 수축)을 사용하여 시작 프레임 S만을 고려함으로써도 동일하게 얻어집니다.

일정한 적정 가속도

순간적인 방향 변화 대신, 특수 상대성 이론은 또한 일정한 적절한 가속도의 보다 현실적인 시나리오, 즉 이동 가속도계에 의해 표시되는 가속도를 설명할 수 있게 해줍니다. 이것은 관찰자가 순간적인 관성 프레임을^[34] 지속적으로 변화시키는 쌍곡 운동으로 이어집니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left ({\sqrt {1+\left ({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}-1\right)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}-1\right)\\c\tau &={\frac {c^{2}}{\alpha }}\operatorname {asinh} {\frac {\alpha t}{c}}\quad ct={\frac {c^{2}}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}}\end{aligned}}}$

$여기$서 ${\displaystyle t}$는 외부 관성 프레임에서의 좌표 시간이고,$$τ ${\displaystyle$\ tau }는 순간 프레임에서의 적절한 시간이고, 순간 속도는 다음에 의해 주어집니다.

${\displaystyle v={\frac {\alpha t}{\sqrt {1+\left ({\frac {\alpha t}{c}\right)^{2}}}=c\tanh {\frac {\alpha \tau }{c}}$

이 역설의 수학적 처리는 Born 강체 운동의 처리와 유사합니다. 그러나 Born 강체 운동의 문제는 관성 프레임에서 같은 가속도를 가진 우주선의 분리에 대해 묻기보다는 "우주선 사이의 거리가 적절한 프레임에서 일정하게 유지되도록 두 번째 우주선이 요구하는 가속도 프로파일은 무엇인가?"^[35][34][36]라고 묻습니다. 처음에는 관성 프레임에서 정지한 두 우주선이 일정한 적정 거리를 유지하기 위해서는 리드 우주선의 적정 가속도가 더 낮아야 합니다.^[3][36][37]

이 Born 강체 프레임은 Rindler 좌표(Kottler-Möler 좌표)^[34][38]를 사용하여 설명할 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}ct&=\left(x'+{\frac {c^{2}}{\alpha}}\right)\sinh {\frac {\alpha t'}{c}},&y&=y',\x&=\left(x'+{\frac {c^{2}}{\alpha}}\right)\cosh {\frac {\alpha t'}}-{\frac {c^{2}}},&z&=z'입니다.\end{aligned}}\ (t'=\tau)}$

Born 강성의 조건은 우주선의 적절한 가속도가 다음과^[38] 같이 다를 것을 요구합니다.

${\displaystyle \alpha_{2}={\frac {\alpha_{1}}{1+{\frac {\alpha_{1}L'}{c^{2}}}$

그리고 관찰자 중 한 명에 의해 린들러 프레임(또는 순간 관성 프레임)에서 측정된 $길이{\displaystyle {}^{}}$L = ${\displaystyle x}$ $'$ - ${\displaystyle x_{}}$ 1$'$ {\$displaystyle$ L' = $x_${2}^{\prime } - x_{1}^{\prime }}는 외부 관성 프레임에서 L = x 2 - x 1 {\displaystyle L = x_{2} - x_{1}}로 수축된 로렌츠입니다.

${\displaystyle L={\frac {L'}{\cosh {\frac {\alpha t'}{c}}}}=L'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

위와 같은 결과입니다. 결과적으로 Born 강성의 경우, 순간 프레임의 길이 L'의 일정성은 외부 프레임의 L이 일정하게 감소하고 실이 끊어지지 않음을 의미합니다. 그러나 벨의 우주선 패러독스의 경우 Born 강성의 조건이 깨지는데, 이는 외부 프레임의 길이 L의 일정성이 순간 프레임의 L'이 증가한다는 것을 의미하기 때문에 실이 끊어집니다(또한, 동일한 적절한 가속도를 갖는 두 관측자 사이의 거리 증가에 대한 표현도 순간 프레임에서^[17] 더 복잡해집니다.

참고 항목

• 쌍곡운동(상대성)
• 물리적 역설
• 린들러 좌표
• 서플리의 역설
• 쌍둥이 역설

참고문헌

외부 링크

• 마이클 와이스, 돈 콕스 (1995-2017): 벨의 우주선 패러독스, USENET 상대성 FAQ
• 마티유 루오 (2022): 아인슈타인의 엘리베이터: 세계선, 마이컬슨-몰리 실험과 상대론적 역설. 3개의 로켓으로 가속된 기준틀에서 또 다른 상대론적 역설은 물질 입자가 빛보다 더 빨리 가는 것처럼 보인다는 것입니다.