8점 알고리즘

8점 알고리즘은 대응하는 일련의 이미지 포인트에서 스테레오 카메라 쌍과 관련된 필수 매트릭스 또는 기본 매트릭스를 추정하기 위해 컴퓨터 비전에 사용되는 알고리즘입니다.1981년 크리스토퍼 롱게트-하이긴스에 의해 필수 매트릭스의 경우에 도입되었다.이론적으로는 이 알고리즘은 기본행렬에도 사용할 수 있지만 실제로는 1997년 리처드 하틀리에 의해 기술된 정규화된 8점 알고리즘이 이 경우에 더 적합하다.

알고리즘의 이름은 8개 이상의 대응하는 이미지 포인트에서 필수 매트릭스 또는 기본 매트릭스를 추정한다는 사실에서 유래했습니다.그러나 알고리즘의 변형은 8점 미만으로 사용할 수 있습니다.

공평면성 제약

두 카메라의 에피폴라 기하학과 공간의 한 점을 대수 방정식으로 표현할 수 있다.$포인트{\displaystyle }$P({$displaystyle$P})가$$ 공간 내 어디에 있든 벡터 ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$P${\$ ${\displaystyle {O_{L}$P$\},$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ P${\$ {\$displaystyle {O_R}P$$}$ $및{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{OL}_{}}}$ $¯$ {\$displaystyle$ {$O_style}$에 주의해 주십시오.${\displaystyle {왼쪽}_{}}$ 눈의 기준 프레임에 $있는{\displaystyle }$ 포인트 P$({displaystyle$$X_{L})$의 좌표를 X ${\displaystyle L_{}}$$({$$displaystyle$ X_{$R})$로 $호출$하고 오른쪽 눈의 기준 프레임에 있는$$P({$displaystyle$$$$X_$${$R})의 좌표를 X$$R$,$ $(\displaystyle$ R, T)로${\displaystyle {}_{}}$$$ $호출$합니다.기준 프레임 s.t. ${\displaystyle X_{}}$ R ${\displaystyle {}_{}R}$ ( ${\displaystyle {}_{}{L}_{}}$ -${\displaystyle T}$) { $displaystyle$ X _ { R } $= R$ ( X$_$ { L$$} - $T$)는$$ 두 기준 프레임의 P$${ $displaystyle$ P$$} $좌표$ 사이의 관계입니다.The following equation always holds because the vector generated from ${\displaystyle T\wedge X_{L}}$ is orthogonal to both ${\displaystyle T}$ and ${\displaystyle X_{L}}$ :

${\displaystyle X_{L}^{T}T\wedge X_{L}=(X_{L}-T)^{T}T\wedge X_{L}=0}$

I ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle R^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ R$$（ \ $displaystyle$I$$=$R$^ { T }$R$ $\}$ $because{\displaystyle }$ 、

$display$$RT\wedge X_{L}=0$

( ${\displaystyle {}_{}{L}_{}}$ -${\displaystyle {}^{}T}$ ) ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ $R$ { \ $displaystyle$ ( X$_$ { L } - T )^{$T }$$x$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ X ${\displaystyle {}_{}^{}}$ T$$（ \ $displaystyle$$$X _ { $R$}^ { T$$} x x x x x x ）로 치환하면 다음과 같이 됩니다.

${{R}^{T}RT\웨지X_{L}=X_{R}^{T}RSX_{L}=X_{R}^{T}EX_{L}=0}$

$T {\$ { $displaystyle$T \ $wedge$}는$$ 매트릭스로 간주할 수 있습니다.Longuet-Higgins는 $기호{\displaystyle }$S { $displaystyle$ S$}$를 사용하여 나타냈습니다.${\displaystyle \mathrm{제품}}$ R T${\displaystyle r}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle R}$ S$${\$displaystyle$RT\$wedge =RS}$는 흔히 필수 매트릭스라고 불리며 E$${\$displaystyle$ E$\}$로 표시됩니다.

$벡터{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{O_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{P_{}}}$ ${\displaystyle ,}$ 、 ${\displaystyle \stackrel{}{O_{}}}$ R ${\displaystyle \stackrel{}{P_{}}}$ {\$$（ \ $display style${ O _ { L } $p _$ { $L$$$} } 、 { \ $overline$ {$$O _ R $}$} 、 { \ overline { OP } }}}는$$ $벡터{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{O_{}}}$ L ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}\stackrel{}{}}$ 、 ${\displaystyle \stackrel{}{O_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$o $o$o o o o o $odisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$the the the the the to to to to the to to to to to to to to to to to to to to the $the to$ to to to to to to to toy${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$,$$y${\displaystyle {}^{}}$display {$display$ y,y$$$'$라고 부르면 왼쪽 및 오른쪽 이미지 평면에 있는$$P {\$display$ P$$$}$의 투영 좌표를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle y'^{T}\mathbf {E} y=0}$

기본 알고리즘

기본 8점 알고리즘은 필수 $행렬{\displaystyle \mathbf{}}$ E$(\$$})$를 추정하는 경우에 대해 설명합니다. 3단계로 구성됩니다.$먼저$E와 직접 관련된$균질{\displaystyle \mathbf{}}$ 선형 방정식을 공식화한 후 $정확$한 해를 갖지 않을 수 있음을 고려하여 방정식을 푼다$.$마지막으로 결과 매트릭스의 내부 구속조건을 관리한다.첫 번째 단계는 Longuet-Higgins의 논문에서 설명되며, 두 번째와 세 번째 단계는 추정 이론의 표준 접근법이다.

$필수행렬{\displaystyle \mathbf{}}$E$(\displaystyle$ \$mathbf${E$})$에 의해 정의된 제약조건은 다음과 같습니다.

${\displaystyle(\mathbf {y} ')^{T},\mathbf {E},\mathbf {y} =0}$

정규화된 이미지 $좌표{\displaystyle \mathbf{}}$ y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ \$displaystyle \mathbf {y},\mathbf {y$ '에 표시되는 해당 이미지 포인트의 경우알고리즘이 해결하는 문제는 일치하는 이미지 포인트 세트에 대해 E$(\$를 $결정$하는 것입니다.실제로 이미지 포인트의 이미지 좌표는 노이즈의 영향을 받으며, 솔루션도 과잉 결정될 수 있습니다. 즉, 모든 포인트에 대해 위의 제약 조건을 정확히 충족하는$$E$(\displaystyle$ \$mathbf${E$}$})를 찾을 수 없습니다.이 문제는 알고리즘의 두 번째 단계에서 해결됩니다.

1단계: 균질 선형 방정식 공식화

와 함께

${\displaystyle \mathbf{y}}$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle \begin{array}{c}{y\mathrm{}}_{}\end{array}}$ 1 ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\\ {}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{2\mathrm{}}_{}\\ \end{array}\begin{array}{c}{}_{}\\ \mathrm{}\end{array}}$) { $displaystyle$$$\ $mathbf { y$ } $= pmatrix${ }$y$ _ { $}$ \ \ \ ${\displaystyle \begin{array}{c}y\\ \mathrm{}\end{array}}$ _ {$$${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}^{}\end{array}}$ \ \ ${\displaystyle \begin{array}{c}1\\ {}_{}^{}\end{array}}$ \$end$ { pmatrix$$} }$$′ ( ${\displaystyle \begin{array}{c}{y\mathrm{}}_{}^{}\end{array}}$ ${\displaystyle =}$ \$displaystyle$ \$mathbf$ { ${\displaystyle \begin{array}{c}{y\mathrm{}}_{}^{}\end{array}}$} \ $pmatrix =$ { $1$} \ $y$$displaystyle$

제약은 또한 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

${{1}y_{1}e_{11}+y'_{1}y_{2}e_{12}+y'_{1}e_{13}+y'_{2}y_{21}+y'_{2}e_{22}+y'_{1}y'_{1}y'_{1}y'_{1}y'_{2}y'_{2}y'_{12+y'_{1}y'_{1}y'_{1}y'_{1}y'_{1}y_{1}y_{1}y'''''''''''''''''$

또는

$\displaystyle \mathbf {e} \cdot \tilde {mathbf {y}} = 0$

어디에

${\displaystyle \stackrel{}{}\begin{array}{c}y{}_{}^{}\end{array}\stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle \begin{array}{c}{y\mathrm{}}_{}^{}\end{array}}$ 1 ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}^{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{y\mathrm{}}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{1\mathrm{}}_{}^{}y{}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{y\mathrm{}}_{}\end{array}}$ 1 ${\displaystyle \begin{array}{c}y\\ {}_{}^{}\end{array}}$ y ${\displaystyle \begin{array}{c}{2\mathrm{}}_{}^{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}^{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}y{}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\\ {}_{}^{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}^{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{y\mathrm{}}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{2\mathrm{}}_{}^{}\end{array}}$ ′ ${\displaystyle \begin{array}{c}{y\mathrm{}}_{}\end{array}}$ 2$$ ${\displaystyle \begin{array}{c}y\\ {}_{}\\ \end{array}\begin{array}{c}{}_{}\\ {}_{}\end{array}}$ ) ( $displaystyle$ { $tilde${ $mathbf { y$ } ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}^{}\end{array}}$ $= displaystyle${ $pmatrix$} $y'_{1$}\$y_y_{1}\y_2\y_1\y_1')$$displaystyle$

$즉$$,$ e(\$displaystyle$$\mathbf {e})$는 9차원 벡터 형태의 필수 $행렬$을 나타내며, 이 벡터는$3{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$${\displaystyle }$× ${\displaystyle 3}$× $3$× 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3$$× 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × ${\displaystyle {}^{}}$ × ${\displaystyle 3{\mathbf{}}^{}}$ × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 ×${\displaystyle {}^{}}$3 × 3 × 3 ×$\displaystyle \mathbf {y},\mathbf {y}^{T$

대응하는 각 이미지 포인트의 쌍은 $벡터{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$y${\displaystyle \stackrel{}{}}$~(\$displaystyle\mathbf {y$를 생성합니다.3D 포인트 P$$k(\$displaystyle\mathbf {P}$$_$${k$})가$$ 주어진 경우 이는 $벡터{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$y ~ $(\$style$\tilde\tilde\mathbf {y}}}}}}}}}$에 해당합니다.

$\displaystyle \mathbf {e} \cdot {tilde {mathbf {y}}}_{k}=0}$

$벡터{\displaystyle \mathbf{}}$e {\$displaystyle \mathbf$$${$e$ 충분한 수의 선형 $독립{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$ 벡터${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$y$$~ ${\displaystyle k_{}}$ {\$displaystyle {tilde {mathbf${$y}}}_{$k$$}가 주어지면 e$${$displaystyle \mathbf {e}}$을(를) 쉽게 $결정$할 수 있습니다.모든 $벡터{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$ y$(\$를 $행렬{\displaystyle \mathbf{}}$Y의 열로 수집합니다(\$displaystyle\mathbf {Y}).$ 그$$ 후 다음과 같이 해야 합니다.

$\displaystyle \mathbf {e}^{T},\mathbf {Y} =\mathbf {0} }$

즉$,$ e$(\displaystyle$ \$mathbf${e$})$는 균질 선형 방정식의 해입니다.

2단계: 방정식 풀기

이 방정식을 풀기 위한 표준 접근방식은 e$\$가 0과 같은 단수 값에 대응하는$$ Y$\$의 우측 단수 $벡터임$을 의미합니다.$Y를$하기 위해 최소 8개의 선형 독립 $벡터{\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}_{}}$y ~$$ {\$displaystyle$$\mathbf$$${$y}}$$_{k}$가 사용된다면, 이 단수 벡터는 유일하며(스칼라 곱셈과 관련하여) 결과적으로 e$\$가 $된다{\displaystyle \mathbf{}}$.$(\$를 결정할 수 있습니다.

$Y$를 $생성$하기 위해$$8개 이상의 $대응$하는 점이 사용되는 경우 0과 같은 $특이값$이 없을 수 있습니다$.$실제로 영상 좌표가 다양한 유형의 노이즈에 의해 영향을 받는 경우 이 문제가 발생합니다.이 상황에 대처하기 위한 일반적인 접근법은 총 최소 제곱 문제로서 설명하는 것입니다.$$e\$displaystyle \mathbf {e}$를 $찾아서{\displaystyle \mathbf{}}$

$\displaystyle \\mathbf {e}^{T},\mathbf {Y} \ }$

$\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle e\mathbf{}}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle =}$ {\$style$\ $\mathbf${$e$} \$=1$인 경우.해결책은$$Y의 $최소{\displaystyle \mathbf{}}$ 단수값에 대응하는 왼쪽 단수 벡터로$e$(\$displaystyle$ \$mathbf$$$${$e$$})를 선택하는 것입니다$.$ e$(\displaystyle$$\$mathbf {$e})$를 3${\displaystyle }$×$$ (\$displaystyle$ 3$\times$ 3$)$ $매트릭스$로 다시 정렬하면 이 스텝의 결과를 얻을 수 있습니다.빨간색은 E$$ \$displaystyle \mathbf {E} _{\rm {est$로 표시됩니다.

순서 3: 내부 구속의 실시

노이즈가 많은 화상 좌표를 처리하는 또 다른 결과는 결과 행렬이 필수 행렬의 내부 구속조건을 충족하지 못할 수 있다는 것입니다. 즉, 행렬의 단수 값 중 두 개가 같고 0이 아니며 다른 하나는 0입니다.애플리케이션에 따라서는, 내부 제약으로부터의 편차가 작거나 큰 것이 문제가 될 수도 있고, 문제가 되지 않을 수도 있습니다.추정된 행렬이 내부 제약 조건을 충족하는 것이 중요한 경우, 이는 다음과 같이 최소화하는 등급 2의 $행렬{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ E$style \displaystyle \mathbf$ {E$$$}$ '}을(를) 구함으로써 달성할 수 있습니다.

$\displaystyle \\mathbf {E} '-\mathbf {E} _{\rm {est}} \ }$

${\displaystyle {}_{}}$서 E e ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$\$displaystyle \mathbf {E} _{\rm {est}}}$는 2단계에서 얻은 행렬이며 Frobenius 행렬 노름을 사용합니다.이 문제에 대한 해결책은 먼저 E ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ t$$\$displaystyle \mathbf {E} _{\rm {est$의 특이값 분해를 계산하는 것입니다.

$\displaystyle \mathbf {E} _{\rm {est}}=\mathbf {U} ,\mathbf {S} ,\mathbf {V} ^{T}$

$여기$서 U${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle V\mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf${U$},$ \$mathbf$ {V$$$}$는 직교 $행렬$이며$,$ S$$${\displaystyle$$$\$mathbf$ {$S}}$는 E ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle$ \$mathbf$ {$E} _{\rm${est$\}\}\}\}\}$의 단수를 포함하는 대각 행렬이다.$$ 0이거나 적어도 같아야 하는 다른 두 개에 비해 작아야 합니다.어떤 경우에도,

$({displaystyle \mathbf {S} '=snowled{pmatrix}s_{1}&0\0&s_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}})$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 s${\displaystyle {}_{}}$1, ${\displaystyle {}_{}}$ $({$는 각각 S$(\$에서 가장 크고 두 번째로 큰 단수 값입니다.마지막으로 E ${\$ \ $displaystyle$\$mathbf${ $E$}는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {U} ,\mathbf {S} ' ,\mathbf {V} ^{T}}$

$행렬{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ E ${\$ \$displaystyle \mathbf {E}$ '는$$ 알고리즘에 의해 제공되는 필수 행렬의 결과 추정치입니다.

정규화 알고리즘

기본 8점 알고리즘은 기본 $행렬{\displaystyle \mathbf{}}$ F$(\$의 추정에도 원칙적으로 사용할 수 있습니다. F$(\$에 대한 정의 제약은 다음과 같습니다.

${\displaystyle(\mathbf {y} ')^{T},\mathbf {F},\mathbf {y} =0}$

$여기$서 y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ \$displaystyle \mathbf {y} ,\mathbf {y}$ ' 는$$ 대응하는 이미지 좌표를 균질하게 표현한 것입니다(정규화할 필요는 없습니다).즉, 행렬$Y{\displaystyle \mathbf{}}$(\$displaystyle \mathbf {Y})$를 필수 행렬과 유사하게 형성하여 방정식을 풀 수 있습니다.

$\displaystyle \mathbf {f}^{T},\mathbf {Y} =\mathbf {0} }$

F ${\$의 변형 버전인 f$${\$displaystyle$ \mathbf {f$}}$의 경우 $위$에서 설명한 절차에 따라 일치하는 8개의 점 집합에서$$F {\$displaystyle \mathbf {F}$을(를$)$ $결정$할 수 있습니다.그러나 실제로는 결과 기본행렬이 에피폴라 구속조건을 결정하는 데 유용하지 않을 수 있다.

어려움

문제는 $결과적$인$$Y$(\style$ \$mathbf${$Y})$가 종종 잘못된 조건이라는 것입니다.이론적으로 Y$(\$에는 0과 같은 단수가 하나 있고 나머지는 0이 아닙니다.그러나 실제로는 0이 아닌 일부 특이값은 큰 값에 비해 작아질 수 있습니다.좌표가 거의 정확한$$Y {\$displaystyle \mathbf {Y$을$($를) 생성하기 위해 8개 이상의 대응하는 점이 사용되는 경우, 약 0으로 식별할 수 있는 명확한 단수 값이 없을 수 있습니다.이것에 의해, 균질한 선형 방정식의 해답은, 유용하기에 충분히 정확하지 않을 수 있다.

원인

하틀리는 1997년 기사에서 이 추정 문제를 다루었다.이 문제에 대한 그의 분석은 이 문제가 $공간$의 균질한 이미지 좌표가 제대로 분포되지 않았기 때문에 발생했음을 보여줍니다. R$$ (\$displaystyle \mathbb {R}$^{$3}).$ 2D 이미지 좌표$({\displaystyle }$ y 1, y${\displaystyle {}_{}}$2$)$의 일반적인 균질한 표현(\display$$ style $(y_{1$},$y_{2},},$

${\displaystyle \mathbf {y} = syslog {pmatrix}y_{1}\y_{2}\1\end {pmatrix}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 y${\displaystyle {}_{}}$1, ${\displaystyle {}_{}{}_{}}{\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$(\$displaystyle y_{1},y_{2},)$는 모두 최신 디지털 카메라의 경우 0 ~ 1000 ~ 2000 범위에 있습니다.즉, y$\$의 처음 두 좌표가 세 번째 좌표보다 훨씬 큰 범위에 걸쳐 변화합니다.$또한{\displaystyle \mathbf{}}$ Y$(\$$$\$mathbf {Y})$를 구성하는 데 사용되는 이미지 포인트가 (${\displaystyle 700,}$ ${\displaystyle 700)}$±${\displaystyle }$(${\displaystyle 100,}$ $)$ {\$displaystyle (700,700)\pm (100,$100$)}$과 같이 이미지의 비교적 작은 영역에 있는 경우$$벡터 y(\displaystyle $\mathbf$ {y$})$는 같은 방향 이하에 있습니다.모든 포인트따라서 Y$(\$는 $하나$의 큰 단수 값을 가지며 나머지 단수 값은 작습니다.

솔루션

이 문제에 대한 해결책으로, Hartley는 두 영상의 각 좌표계를 다음 원칙에 따라 독립적으로 새로운 좌표계로 변환해야 한다고 제안했다.

• 새 좌표계의 원점은 영상 점의 중심(중력 중심)에서 중앙에 위치해야 합니다.이것은, 원래의 기원을 새로운 기원으로 변환하는 것으로 실현됩니다.
• 변환 후에는 원점에서 점까지의 거리의 평균이 2$(\$가 $되도록{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ 좌표가 균일하게 조정됩니다.

이 원리로 인해 일반적으로 두 영상 각각에 대해 별도의 좌표 변환이 이루어집니다.그 결과 새로운 균질한 이미지 $좌표{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ y ,${\displaystyle }$、 ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{¯}}}^{}}$ $、$ y display （ \ $displaystyle$\$mathbf${ $y }$ , \ $mathbf${$y }$）는$$ 다음과 같이 표시됩니다.

$\displaystyle \mathbf {y} = \mathbf {T} , \mathbf {y} }$

$\displaystyle \mathbf {y}'=\mathbf {T}',\mathbf {y}''$

$여기$서${\displaystyle }$T , ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\$ \$displaystyle \mathbf {T} ,\mathbf {T}$ ' 는 기존$$ 정규화된 영상 좌표를 새로운 정규화 영상 좌표로 변환(변환 및 스케일링)한 것입니다.이 정규화는 단일 영상에 사용되는 이미지 포인트에만 의존하며 일반적으로 정규화된 카메라에 의해 생성된 정규화된 이미지 좌표와는 다릅니다.

기본 매트릭스에 기초한 에피폴라 제약은 이제 다음과 같이 다시 쓰여질 수 있습니다.

${\displaystyle 0=(\mathbf {y}')^{T},(\mathbf {T} ')^{T)^{-1},\mathbf {F},\mathbf {T}^{-1},\mathbf {y}} =(\mathbf {y}})^{T},\mathbf {F},\mathbf {y}}$

$여기$서 F ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{¯}}=}$ ( ( ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}{\mathrm{t}}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}{}^{}}$T${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle F{\mathbf{}}^{}}$ - 1 ( \ $displaystyle$\$mathbf${ F$}$ ) = ( ( \$mathbf${ T $}$ ' )^$T)^{-1},\mathbf {F},\mathbf {T}^{-1$즉, 정규화된 균일한 이미지 $좌표{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ y${\displaystyle }$,, ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}^{}}$ ¯${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}^{}}${\ ${\$ { $displaystyle \mathbf${$y}$, \$mathbf${ $y$$}$ ' 를$$ 사용하여 변환된 기본 $행렬{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ F ${\$ { $displaystyle \mathbf${ $F}}$를 추정할$$ 수 있습니다.

정규화 변환의 목적은 일반적으로 정규화된 이미지 좌표로 구성된 $행렬{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ Y ${\$ {\$displaystyle \mathbf$${Y$$}}$이$($가$)$ Y {\$displaystyle$ \$mathbf${Y$}}$보다 더 나은 조건 번호를 갖는 것입니다.즉$,$ 솔루션 $f{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\$ \ $display$$$style \$mathbf { f }는$$$$$y$display style \ mathbf {$ f$$$}$보다 $균질{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle 방정식\stackrel{}{\mathbf{}}\stackrel{}{\mathbf{}}}$Y {\ f ${\$ \ $display$ style \$mathbf { Y},$ \$mathbf${$f}$의 해로서$$ 정의됩니다.$(\$가 결정되어$$ F$(\$로 재형성되었습니다.F$$(\displaystyle \mathbf {$F})$에 따라 F$(\${F})를$$ $얻을{\displaystyle \mathbf{}}$ 수 있도록 F(\displaystyle \mathbf {F$})$

${\displaystyle \mathbf {F} =(\mathbf {T} ')^{T},\mathbf {F},\mathbf {T}}$

일반적으로 이 기본 행렬의 추정치는 정규화되지 않은 좌표에서 추정하여 얻은 것보다 더 나은 추정치입니다.

8점 미만 사용

각 점 쌍은$E$의 요소에서 하나의 구속 방정식에 기여합니다. E$(\$$${$E} }$$$}은$$(는) 자유도가 $5$이므로 이론적인 점에서$$E$(\displaystyle$ \$mathbf${E$\})$를 결정하는 데 5개의 점 쌍만으로 충분합니다.견해에 따르면, 이것의 실제 실행은 간단하지 않고 다양한 비선형 방정식을 푸는 것에 의존한다.

Kaveh Pathian 등은 회전 사분위수를 ^[1][2]직접 계산함으로써 필수 행렬의 계산을 우회하는 5, 6, 7점에 대한 알고리즘을 제안했다.

「 」를 참조해 주세요.

• 기본행렬
  • 기본 매트릭스 #회전 및 번역 추출
• 기본행렬
• 삼초점 텐서

레퍼런스

추가 정보

• Richard I. Hartley (June 1997). "In Defense of the Eight-Point Algorithm". IEEE Transactions on Pattern Recognition and Machine Intelligence. 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246.

• Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in computer vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3.

• H. Christopher Longuet-Higgins (September 1981). "A computer algorithm for reconstructing a scene from two projections". Nature. 293 (5828): 133–135. Bibcode:1981Natur.293..133L. doi:10.1038/293133a0. S2CID 4327732.