엥겔 팽창

양수 실수 x의 엥겔 확장은 ${\displaystyle {양수\mathrm{}}_{}}$ 정수${\displaystyle }${${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}\dots \}}$ ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \}}}$의 고유한 비감소 시퀀스다.

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}a_{2}}+{\frac {1}{1}a_{2}}+{1}{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .}}$

예를 들어 오일러의 상수 e는 엥겔 팽창이^[1] 있다.

1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

무한 계열에 해당하는

${\displaystyle e={\frac {1}{1}:{1}:{1}{1}:{1}{1}{1\cdot2}}+{1}{1}{1\cdot 2\cdot 3}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 4}\cdots}}}}}}}}}}}}}}$

합리적 숫자는 유한한 엥겔 확장을 가지고 있는 반면, 비합리적인 수는 무한 엥겔 확장을 가지고 있다.x가 합리적이라면, 엥겔 확장은 x를 이집트 분수로 표현한다.엥겔 팽창은 1913년에 그것을 연구한 프리드리히 엥겔의 이름을 따서 명명되었다.

교대 항이 음수인 엥겔 팽창과 유사한 팽창은 피어스 팽창이라고 불린다.

엥겔 팽창, 연속 분수, 피보나치

Kraaikamp & Wu(2004)는 엥겔 팽창이 지속 분수의 오름차순으로 기록될 수 있다고 관찰한다.

${\displaystyle x={\displaystyle x={\1+{\cdac{1+{1+\cdots }{a_{3}}}{a_{2}}:{a_{1}}}}.}$

이들은 이와 같은 상승 지속 분수가 피보나치의 리베 아바시(1202년)만큼 일찍부터 연구되어 왔다고 주장한다.이러한 주장은 동일한 분율 바를 공유하는 일련의 분자와 분모가 상승 지속 분율을 나타내는 피보나찌의 복합 분수 표기법을 가리키는 것으로 보인다.

${\displaystyle {\frac {a\b\d}{e\f\g\h}={\dfrac {d+{d+{c+{b+{e}}}{f}}{g}}}{h}}}}.}$

만일 그러한 표기법에 모든 숫자가 0 또는 1인 경우, 리베르 아바시의 여러 예에서 발생하는 경우, 그 결과는 엥겔 확장이다.그러나 일반적인 기법으로서의 엥겔 팽창은 피보나찌에 의해 설명되지 않는 것 같다.

Engel 확장 계산 알고리즘

x의 엥겔 확장을 찾으려면

${\displaystyle u_{1}=x,}$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {1}{u_{k}}\right\rceil ,}$

그리고

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}$

여기서 $\lceil {\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rceil }$ ${\$은 천장 함수(r보다 작은 정수)이다$$.

i에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ${\displaystyle {ui}_{}}$= 0 ${\displaystyle u_{i}=0}$인 경우 알고리즘을 중지하십시오.

Engel 확장 계산용 반복 기능

다른 동등한 방법은 지도를 고려하는 것이다.

${\displaystyle g(x)=x\좌측(1+\좌측\lfloor {x}^{-1}\우측\우측)-1}$

세트

${\displaystyle u_{k}=1+\왼쪽\lfloor {1}{g^{(n-1)}}}}\오른쪽\슬로어 }$

어디에

${\displaystyle g^{}}$( ${\displaystyle n^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle g^{(n)}(x)=g(g^{(n-1)}(x)})$ 및$$ g${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{x}}^{}{)}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x$(x)=x}$

그러나 또 다른 동등한 방법, 즉 엥겔 확장이 에 의해 계산된 것이다.

${\displaystyle h(x)=\frac {1}{x}\right\floor g(x)=\frac {1}{x}\floor \refloor \refloor \reft(x\loor {1}{x}\right\loor +x-1\rig)}$

그리고

${\displaystyle u_{k}={\begin{cases}1+\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor &n=1\\\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-2)}(x)}}\right\rfloor \left(1+\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-1)}(x)}}\right\rfloor \right)&n\geqslant 2\end{cases}}}$

엥겔 지도 전송 연산자

엥겔 지도 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ g$(x)}$의 Probenius-Perron 전송 연산자는 다음과$$ 같이 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$ 함수에 작용한다$$.

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{g}f](x)=\sum _{y:g(y)=x}{\frac {f(y)}{\left {\frac {d}{dz}}g(z)\right _{z=y}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f\left({\frac {x+1}{n+1}}\right)}{n+1}}}$

그 이후

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x(n+1)-1)=n+1}$ and the inverse of the n-th component is ${\displaystyle {\frac {x+1}{n+1}}}$ which is found by solving ${\displaystyle x(n+1)-1=y}$ for ${\displaystyle x}$.

Riemann $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta }$ 함수와의$$ 관계

지도 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle g(x)}$의 멜린 변환은 공식에 의한 리만 제타 함수와 관련이 있다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[5pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[5pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}}$

예

엥겔 확장 1.175를 찾기 위해 다음과 같은 단계를 수행한다.

${\displaystyle u_{1}=1.168,a_{1}=\왼쪽\lceil {\frac {1}{1.168}\오른쪽\rceil =1;}$

${\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1.168\cdot 1-1=0.168,a_{2}=\left\lceil {1}\frac{0.155}\right\rceil =6}$

${\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0.204\cdot 6-1=0.05,a_{3}=\left\lceil {1}{0.05}\frac {1}\right\rceil =20}$

${\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0.05\cdot 20-1=0}$

시리즈는 여기서 끝난다.그러므로,

${\displaystyle 1.cdot={\frac {1}{1}+{1}{1\cdot 6}+{\frac {1}{1\cdot 6}}}{1\cdot 6\cdot 20}}}}$

그리고 엥겔 확장 1.175는 {1, 6, 20}이다.

합리적인 수의 엥겔 팽창

모든 양의 이성적인 숫자는 독특한 유한한 엥겔 확장을 가지고 있다.엥겔 확장 알고리즘에서 u가_i 합리적인 숫자 x/y이면 u_i+1 = (-y mod x)/y이다.따라서 각 단계에서 나머지 분수 u에_i 있는 분자가 감소하고 엥겔 확장을 구성하는 과정은 한정된 수의 스텝으로 종료되어야 한다.모든 이성적인 숫자들은 또한 독특한 무한 엥겔 확장을 가지고 있다: 정체성 사용.

${\displaystyle {\frac {1}{n1}=\sum _{r=1}^{\inflt }{\frac {1}{(n+1)^{r}}.}$

유한 엥겔 팽창의 마지막 자릿수 n은 값을 변경하지 않고 (n + 1)s의 무한 시퀀스로 대체될 수 있다.예를 들어,

${\displaystyle 1.20=\1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\cHB\}.}$

이것은 유한한 십진표현을 가진 합리적 숫자도 무한 소수표현을 가지고 있다는 사실과 유사하다(0.999... 참조).모든 용어가 동일한 무한 엥겔 팽창은 기하학 계열이다.

Erdős, Rény, Szüsz는 합리적인 수 x/y의 유한한 Engel 확장의 길이에 대해 비경쟁적 한계를 요구했고, Erdős와 Salit에 의해 이 질문에 대한 답이 나왔으며, Erd ands와 Salit은 이 확장의 용어 수가 ε > 0에 대해 O(y^{1/3 + ε})임을 증명했다.^[3]

잘 알려진 상수에 대한 엥겔 확장

${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi}$ $$= {1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492,...}(OEIS에서 시퀀스 A006784)

${\displaystyle \sqrt{2}}$ ${\$ $$= {1, 3, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144,...{}(OEIS에서 시퀀스 A028254)

${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ $$= {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...}}(OEIS에서 시퀀스 A028310)

그리고 일반적으로는

${\displaystyle e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\cHB\}}}$

상수에 대한 더 많은 엥겔 팽창은 여기서 찾을 수 있다.

팽창조건의 증가율

엥겔 확장의 계수_i a는 일반적으로 지수 성장을 나타낸다. 보다 정확히 말하면 구간 내 거의 모든 숫자에 대해 한계 림 ${\displaystyle \underset{}{n}}$ →${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ /${\displaystyle {}_{}^{}}$n ${\$ _$}a_{n}^{n$}^{$1/n}}$이 존재하고 e와 같다.그러나, 이것이 사실이 아닌 구간의 부분집합은 여전히 그것의 하우스도르프 치수가 하나일 정도로 충분히 크다.^[4]

이집트 분수에 대한 탐욕스러운 알고리즘에 의해 생성된 팽창의 용어에 동일한 일반적인 증가율이 적용된다.그러나 엥겔 팽창과 그들의 탐욕스러운 팽창이 일치하는 구간(0,1)의 실수 집합은 0이고, 하우스도르프 치수는 1/2이다.^[5]

참고 항목

• 오일러의 연속 분수식

메모들

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Engel Expansion". MathWorld–A Wolfram Web Resource.