엔네퍼 표면

Enneper 표면의 일부

미분 기하학 및 대수 기하학에서 Enneper 표면은 파라메트릭 방식으로 설명할 수 있는 자가 교차 표면이다.

{\pregated}x&={\tfrac {1}{1}{3}{1}{3}u^{1}{3}{3}{{3}}}{{3}}\tfrac {1}{1}{3}{3}{3v^}+u^{{1}}}}{{{3}^2}}}}}}}{{{{{1}}}}}}^2}}}}}^2}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{}\\오른쪽)\\\z&={\tfrac {1}{3}}\왼쪽(u^{2}-v^{2}\오른쪽).\end{정렬}}

최소 표면 이론과 관련하여 1864년 알프레드 엔네퍼에 의해 도입되었다.^[1]^[2]^[3]^[4]

$f(z)=1,g(z)=z$ 매개변수화는 매우 간단하며, $f(z)=1,g(z)=z$ ( z $f(z)=1,g(z)=z$ ) $f(z)=1,g(z)=z$ = $f(z)=1,g(z)=z$ , $f(z)=1,g(z)=z$ ( $f(z)=1,g(z)=z$ ) $f(z)=1,g(z)=z$ = z $f(z)=1,g(z)=z$ , $f(z)=1,g(z)=z$ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,표면은 그 자체로 결합되어 있다.

대수 기하학의 암묵화 방법을 사용하여 위에 주어진 Enneper 표면의 점들이 도-9 다항식을^{[citation needed]} 만족한다는 것을 알 수 있다.

{\begin{aligned}&64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\\&{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\\&{}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\end{정렬}}

지정된 매개변수가 있는 점의 접선 평면은 + $a+bx+cy+dz=0,\$ $a+bx+cy+dz=0,\$ + $a+bx+cy+dz=0,\$ $a+bx+cy+dz=0,\$ + $a+bx+cy+dz=0,\$ $a+bx+cy+dz=0,\$ = $a+bx+cy+dz=0,\$ ${\$ 이다 $a+bx+cy+dz=0,\$ .

{\begin{aligned}a&=-\left(u^{2}-v^{2}\right)\left(1+{\tfrac {1}{3}}u^{2}+{\tfrac {1}{3}}v^{2}\right),\\b&=6u,\\c&=6v,\\d&=-3\left(1-u^{2}-v^{2}\right).\end{정렬}}

그 계수는 내포적인 정도-6 다항식을 만족한다.

{\begin{aligned}&162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\\&{}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\end{정렬}}

자코비안, 가우스 곡률 및 평균 곡률은

{\reasoned}J&={\frac{1}{81}(1+u^{2}+v^{2})^{4},\K&=-{\frac{4}{9}{\frac {1}{J},\H&=0.\end{정렬}}

\mathbb {R} ^{3}

곡률 -

-4\pi

㎛

{\displaystyle -4\pi

Osserman은 R

\mathbb {R} ^{3}

{\

displaystyle \mathb{R}^{3}

에서

\mathbb{R} ^{3}

전체 최소 곡률 -

-4\pi

{\displaystyle -4\pi

}}이

-4\pi

(

가) 카테노이드 또는 엔네퍼 표면임을 입증했다.^[5]

또 다른 특성은 모든 바이큐빅 최소 베지에 표면이 표면의 조각이라는 것이다.^[6]

정수 k>1의 경우 $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ f $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ ( z $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ ) $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ = $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ , $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ ( z $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ ) $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ = $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ ${\$ 를 사용하여 보다 높은 순서의 회전 대칭으로 일반화할 수 있다.^[3]또한 더 높은 차원으로 일반화할 수 있다. 엔네퍼 유사 표면은 최대 7까지 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 에 존재하는 것으로 알려져 있다.^[7]

참조

^ J.C. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalfléchen" , Springer (1975)
^ 프란시스코 J. 로페스, 프란시스코 마르틴, R3의 최소 표면 완성
^ ^a ^b 울리히 디에르크스, 스테판 힐데브란트, 프리드리히 쇼비니(2010년).최소 표면.베를린 하이델베르크: 스프링거. ISBN 978-3-642-11697-1.
^ Weisstein, Eric W. "Enneper's Minimal Surface". MathWorld.
^ R. Osserman, Minimal Surfaces의 조사.제1권, 케임브리지 유니브프레스, 뉴욕 (1989년)
^ 코신, C, 몬터드, 베지어 표면의 최소 면적.컴퓨터 공학 — ICCS 2002, Eds. J, 슬루트, 피터, 호크스트라, 알폰스, 탄, C, 동가라, 잭.컴퓨터 과학 2330, 스프링거 베를린 / 하이델베르크, 2002. 페이지 72-81 ISBN 978-3-540-43593-8
^ 최재영, 보다 차원 높은 엔네퍼 표면의 존재에 대하여, 1996년 리마타리 매스매티 헬베티치, 71, 1권 556-569

외부 링크

[1] J.C. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalfléchen" , Springer (1975)

[2] 프란시스코 J. 로페스, 프란시스코 마르틴, R3의 최소 표면 완성

[dierkes-3] 울리히 디에르크스, 스테판 힐데브란트, 프리드리히 쇼비니(2010년).최소 표면.베를린 하이델베르크: 스프링거. ISBN 978-3-642-11697-1.

[4] Weisstein, Eric W. "Enneper's Minimal Surface". MathWorld.

[5] R. Osserman, Minimal Surfaces의 조사.제1권, 케임브리지 유니브프레스, 뉴욕 (1989년)

[6] 코신, C, 몬터드, 베지어 표면의 최소 면적.컴퓨터 공학 — ICCS 2002, Eds. J, 슬루트, 피터, 호크스트라, 알폰스, 탄, C, 동가라, 잭.컴퓨터 과학 2330, 스프링거 베를린 / 하이델베르크, 2002. 페이지 72-81 ISBN 978-3-540-43593-8

[7] 최재영, 보다 차원 높은 엔네퍼 표면의 존재에 대하여, 1996년 리마타리 매스매티 헬베티치, 71, 1권 556-569

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[5]

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