헬리코이드

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평면과 카티노이드 다음으로 나선 표면으로도 알려진 헬리코이드는 알려진 세 번째 최소 표면이다.

묘사

그것은 1774년 오일러에 의해 그리고 1776년 장 베티스트 뫼스니에에 의해 묘사되었다.그것의 이름은 나선형과의 유사성에서 유래했습니다: 나선형의 모든 지점마다, 그 지점을 통과하는 나선형 안에 나선이 포함되어 있습니다.평면 범위가 음의 무한대와 양의 무한대를 통해 확장되는 것으로 간주되기 때문에, 면밀한 관찰은 한 평면의 기울기를 추적하면 동일 평면이 우회되거나 건너뛴 것으로 보일 수 있다는 점에서 두 개의 평행 또는 거울 평면의 모습을 보여준다. 그러나 실제로는 동일 평면이 반대 관점에서 추적되기도 한다..

헬리코이드는 또한 선상의 흔적이라는 것을 의미하는 규칙 있는 표면(및 오른쪽 원추체)입니다.또는 표면의 모든 점에 대해 표면을 통과하는 선이 있습니다.실제로, 카탈로니아는 1842년에 헬리코이드와 평면만이 최소 ^[1]표면이라는 것을 증명했다.

헬리코이드는 미분기하학의 의미에서도 번역면이다.

헬리코이드와 카테노이드는 헬리코이드-카테노이드 최소 표면군의 일부이다.

헬리코이드는 아르키메데스 나사처럼 생겼지만 모든 방향으로 무한히 뻗어 있다.이는 데카르트 좌표의 다음 파라메트릭 방정식으로 설명할 수 있습니다.

$(\displaystyle x=\rho \cos(\alpha \theta),\ }$

$\displaystyle y=\rho \sin(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle z=\theta,\}$

여기서 α와 β는 음의 무한대에서 양의 무한대까지의 범위이며, α는 상수이다.α가 양이면 그림과 같이 헬리코이드는 오른손잡이이고 음이면 왼손잡이이다.

헬리코이드는 주요 곡면${\displaystyle }$±${\displaystyle \alpha /}$ (${\displaystyle {}^{}}$ + ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$2$$) { $displaystyle \pm \alpha$/ ($1+\alpha$^{$2}\rho$^{$2}\$ $\}\backslash$ $}$ 입니다. 이러한 양의 합은 평균 곡면(나리코이드는 최소 표면이므로 0)을 나타내며 곱은 가우스 곡면이다.

헬리코이드는 $평면{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $(\$^{$2$와 동형이다. 이를 확인하려면 α를 주어진 값에서 0으로 연속적으로 감소시킨다.α의 각 중간값은 α = 0에 도달하고 헬리코이드가 수직면이 될 때까지 서로 다른 헬리코이드를 설명한다.

반대로 평면상의 선 또는 축을 선택하고 그 축을 중심으로 평면을 비틀면 평면을 나선형으로 만들 수 있다.

반지름 R의 헬리코이드가 높이 h만큼 상승하면서 축을 중심으로 θ각도 회전하면 표면적은 다음과 같이 된다^[2].

${\displaystyle {\sqrt {R^{2}+c^{2}\left}}+c^{2}}\ln \left({\frac {R+{\sqrt {R^{2}+c^{2})}}}}{c}\right}\right],\c=snapsfrac {h}{\theta }.}$

헬리코이드와 카테노이드

헬리코이드와 카티노이드는 국소 등각면이다.카티노이드# 참조헬리코이드 변환.

「 」를 참조해 주세요.

• 일반 헬리코이드
• 디니 표면
• 오른쪽 원추형
• 괘면

메모들

외부 링크

• "Helicoid", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• WebGL 기반의 인터랙티브 3D 헬리코이드