등변차형식

미분 기하학에서, Lie 그룹 G에 의해 작용하는 다지관 M의 이등변 미분 형태는 다항식 지도다.

\alpha :{\mathfrak {g}\to \Oomega ^{*}(M)

Lie 대수 ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ = ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ ( ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ ) ${\mathfrak{g}=\Operatorname {Lie}(G)$ 에서 등가변인 M의 미분형 공간까지 ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ .

\alpha(\operatorname {Ad}(g)X)=g\alpha(X)

즉^[1], 등가미 미분형식은 의 불변요소다.

\mathfrak {g}[{\mathfrak {g}]\otimes \Operatorname {Sym}({\mathfrak {g}^{*})\otimes \Oomega ^{*}}(M)

등차 차동 형식 $\alpha$ $\alpha$ 의 경우, $\alpha$ $\alpha$ ${\$ $displaystyle d_{\mathfrak {g}\alpha$ $}$ 의 $d_\mathfrak{g} \alpha$ 등차 외부 파생 형식 $d_{\mathfrak {g}}\alpha$ $d_{\mathfrak {g}}\alpha$ {\ $displaystyle\alpha$ }은(으)에 의해 정의된다 $\alpha$ .

{\d_{\mathfrak {g}\alpha )(X)=d(\alpha(X)---i_{X^{\#}(\alpha(X)))}

여기서 d는 일반적인 외부 파생상품이고 $i_{X^{\#}}$ $i_{X^{\#}}$ # ${\$ 는 X가 생성하는 기본 벡터장에 의한 내부 제품이다 $i_{X^\#}$ . $d_{\mathfrak {g}}\circ d_{\mathfrak {g}}=0$ $d_{\mathfrak {g}}\circ d_{\mathfrak {g}}=0$ $d_{\mathfrak {g}}\circ d_{\mathfrak {g}}=0$ $d_{\mathfrak {g}}\circ d_{\mathfrak {g}}=0$ $d_{\mathfrak {g}}\circ d_{\mathfrak {g}}=0$ = 0 ${\displaystyle d_{\mathfrak{g}}\circle d_{\mathfrak{g}=0}($ $#{\$ X $^\#})$ 을 $\alpha(X)$ 따라 $){\displaystystylepha(X$ $X^{\#}$ $)$ 의 Lie) 파생된 것을 쉽게 볼 수 있다.

H_{G}^{*(X)=\ker d_{\mathfrak {g}/\operatorname {im}d_{\mathfrak {g},

이것을 M의 등가공 코호몰로지(Borel 구성의 관점에서 정의된 일반 등가공 코호몰로지(equivarant cohomology)와 일치)라고 한다.그 정의는 H. Cartan 때문이다.그 개념은 등변지수 이론에 적용된다.

$d_{\mathfrak {g}}$ $d_{\mathfrak {g}}$ ${\$ -closed $d_{\mathfrak {g}}$ 또는 $d_{\mathfrak {g}}$ $d_{\mathfrak {g}}$ ${\$ -mathfrak $d_{\mathfrak {g}}$ 형식 -closure 형식은 등간히 닫히거나 등간히거나 등간히 정확하다고 한다.

유사하게 폐쇄된 형태의 적분은 국산화 수식을 사용해 제한점에서 고정점까지 평가할 수 있다.

참조

^ Proof: with $V=\Omega ^{*}(M)$ , we have: ${\displaystyle \operatorname {Mor} _{G}({\mathfrak {g}},V)=\operatorname {Mor} ({\mathfrak {g}},V)^{G}=(\operatorname {Mor} ({\mathfrak {g}},\mathbb {C} )\otimes V)^{G}.$ $}$ } $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ C [ $]$ {\ $displaystyle \mathb$ { $C}$ [{\ $mathfrak {g}}}$ 은 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ {\ $mathfrak {g}$ 의 선형 함수에 있는 다항식 링이다 $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ ${\mathfrak {g}}$ 다항식 함수의 링을 참조하십시오.M. Emerton의 코멘트는 https://math.stackexchange.com/q/101453을 참조하십시오.