거짓말 집단행동

미분 기하학에서 Lie group action은 부드러운 설정에 맞게 조정된 그룹 동작이다: G는 Lie group, M은 부드러운 다지관이며, Action map은 가변적이다.

정의 및 첫 번째 속성

$\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ : $\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ $\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ $\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ → $\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ , $\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ ( $\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ g , $\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ ) $\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ g $\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ x ${\displaystyle \sigma$ : $G\time M\to$ M $,$ $(g,x)\mapsto g\cdot x}$ 는 부드러운 $\sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x$ 다지관 M에서 Lie 그룹 G의 (왼쪽) 그룹 작업이며, 지도 $\sigma$ {\ $displaystyle \sigma}$ 이(또는 부드러운 작업 $\sigma$ )가 서로 다른 경우 Lie 그룹 작업(또는 부드러운 작업)이라고 한다.동등하게 M에 대한 G의 Lie group $G\to \mathrm {Diff} (M)$ 은 Lie group 동형성 G → $G\to \mathrm {Diff} (M)$ $G\to \mathrm {Diff} (M)$ $G\to \mathrm {Diff} (M)$ $G\to \mathrm {Diff} (M)$ {\ $displaystyle G\to \mathrm {Diff$ } (M $)}$ 로 구성되며, Lie group action이 부여된 매끄러운 다지관을 G-manifold라고도 한다 $G\to \mathrm {Diff} (M)$

액션 맵 $\sigma }$ 이(가 $\sigma$ ) 매끄럽다는 사실은 몇 가지 즉각적인 결과를 낳는다.

그룹 작업의 $G_{x}\subseteq G$ 스태빌라이저 $G_{x}\subseteq G$ $G_{x}\subseteq G$ x ${\displaystyle G_{x}\subseteq$ G $}$ 이(가) 닫히므로 G의 Lie 하위 그룹임
그룹 동작의 $G\cdot x\subseteq M$ 궤도 $G\cdot x\subseteq M$ $G\cdot x\subseteq M$ $G\cdot x\subseteq M$ $G\cdot x\subseteq M$ M $G\cdot x\subseteq M$ 은(는) 하위 manifolds에 담근다.

부드러운 구조를 잊어버린 채, 리 그룹 액션은 연속적인 그룹 액션의 특별한 경우다.

예

모든 Lie 그룹 G에 대해 다음과 같은 Lie 그룹 동작이 있다.

어떤 다지관에 대한 G의 사소한 작용
왼쪽 곱하기, 오른쪽 곱하기 또는 결합에 의한 G 자체의 작용
왼쪽 곱하기, 오른쪽 곱하기 또는 결합에 의한 G의 모든 $H\subseteq G$ Lie 부분군 $H\subseteq G$ $H\subseteq G$ $H\subseteq G$ $H\subseteq G$ 의 작용

Lie 대수 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 에 대한 G의 부호 작용 ${\mathfrak {g}}$

거짓말 그룹 활동의 다른 예는 다음과 같다.

완전한 벡터 필드의 흐름에 의해 주어진 M에 대한 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\$ 의 작용
the actions of the general linear group $GL(n,\mathbb {R} )$ and of its Lie subgroups $G\subseteq GL(n,\mathbb {R} )$ on $\mathbb {R} ^{n}$ by matrix multiplication
보다 일반적으로 벡터 공간의 모든 Lie 그룹 표현
모든 해밀턴 집단 행동의 다지관
균질한 공간에 깔린 전이 작용
보다 일반적으로 주요 번들의 기반이 되는 그룹 작업

무한리듬 대수 작용

Lie group-Lie 대수적 대응의 정신에 따라, Lie 그룹 작용도 극소수의 관점에서 연구될 수 있다.실제로 모든 Lie group action $\sigma :G\times M\to M$ : $\sigma :G\times M\to M$ $\sigma :G\times M\to M$ $\sigma :G\times M\to M$ → $\sigma :G\times M\to M$ ${\displaystyle \sigma$ : $G\times M\to M}$ induces an infinitesimal Lie algebra action on M, i.e. a Lie algebra homomorphism ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)$ . Intuitively, this is obtained by differentiating at the identity the Lie group homomorphism $G\to \mathrm {Diff} (M)$ , and in벡터 필드 ${\mathfrak {X}}(M)$ ) ${\mathfak{X}(M)$ 의 리 대수학으로 ${\mathfrak {X}}(M)$ (무한 차원) Lie 그룹 $\mathrm {Diff} (M)$ $\mathrm {Diff} (M)$ $\mathrm {Diff} (M)$ ) $\mathrm {Diff}(M)$ 을(를) 리 대수로 지정 $\mathrm {Diff} (M)$

보다 정확하게, $x\in M$ $x\in M$ $x\in M$ ${\displaystyle x\in$ M $x\in M$ 궤도 지도 $\sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x$ x $\sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x$ : $\sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x$ → M $\sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x$ $\sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x$ $\sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x$ $\sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x$ g g $\sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x$ $\sigma _{x}:$ $G\to M,g\mapsto g\cdot x}$ is differentiable and one can compute its differential at the identity $e\in G$ . If $X\in {\mathfrak {g}}$ , then its image under ${\displaystyle d_{e}\sigma _{x}:$ ${\mathfrak{g}\to T_{x}M}$ 은 x에서 접선 벡터로서 $d_{e}\sigma _{x}:{\mathfrak {g}}\to T_{x}M$ , 변화 x는 M에서 벡터장을 얻는다.The minus of this vector field, denoted by $X^{\#}$ , is also called the fundamental vector field associated with X (the minus sign ensures that ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M),X\mapsto X^{\#}$ is a Lie algebra homomorphism).

반대로, Li-Palais의 정리에 의해, 콤팩트 다지관 위에 있는 (완료차원) Lie 대수학의 추상적인 최소 작용은 Lie 집단 작용에 통합될 수 있다.^[1]

더욱이, 극소수의 Lie 대수 ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)$ g → ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)$ ( $){\displaystyle$ {\ $mathfrak{g}\to$ {\ $mathfrak{X}(M)}$ 은 해당 글로벌 Lie 그룹 작용이 자유로운 경우에만 주입된다 ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)$ . $d_{e}\sigma _{x}:{\mathfrak {g}}\to T_{x}M$ $d_{e}\sigma _{x}:{\mathfrak {g}}\to T_{x}M$ $d_{e}\sigma _{x}:{\mathfrak {g}}\to T_{x}M$ $d_{e}\sigma _{x}:{\mathfrak {g}}\to T_{x}M$ : $d_{e}\sigma _{x}:{\mathfrak {g}}\to T_{x}M$ → $d_{e}\sigma _{x}:{\mathfrak {g}}\to T_{x}M$ x $d_{e}\sigma _{x}:{\mathfrak {g}}\to T_{x}M$ ${\displaystyle d_{e}\sigma _{x}:$ ${\mathfrak {g}}\to T_{x}M}$ is the Lie algebra ${\mathfrak {g}}_{x}\subseteq {\mathfrak {g}}$ of the stabilizer $G_{x}\subseteq G$ . On the other hand, ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)$ in general not surjective.예를 들어 $\pi :P\to M$ : $\pi :P\to M$ → M ${\displaystyle \pi$ :로 한다. $P\to M}$ 이 $\pi :P\to M$ (가) 주요 G 번들임: 최소 동작의 이미지는 실제로 수직 하위 번들 $T^{\pi }P\subset TP$ $T^{\pi }P\subset TP$ $T^{\pi }P\subset TP$ $T^{\pi }P\subset TP$ $T^{\pi }P\subset TP$ $T^{\pi }P\subset TP$ $T^{\pi }P\subset TP$ 와 동일함 $T^{\pi }P\subset TP$

적절한 조치

거짓말 집단 행동의 중요하고 흔한 계급은 적절한 계급이다.실제로 그러한 위상학적 조건은 다음과 같은 것을 내포하고 있다.

스태빌라이저 $G_{x}\subseteq G$ $G_{x}\subseteq G$ $G_{x}\subseteq G$ $G_{x}\subseteq G$ $G_{x}\subseteq G$ 은 $G_{x}\subseteq G$ (는) 소형이다.
궤도 $G\cdot x\subseteq M$ $G\cdot x\subseteq M$ $G\cdot x\subseteq M$ $G\cdot x\subseteq M$ $G\cdot x\subseteq M$ $G\cdot x\subseteq M$ 은 $G\cdot x\subseteq M$ (는) 내장형 서브매니폴드임
궤도 공간 $M/G$ $M/G$ 은 $M/G$ (는) 하우스도르프(Hausdorff이다.

일반적으로, Lie 그룹 G가 작을 경우, 모든 부드러운 G-action은 자동으로 적절하다.반드시 컴팩트하지 않은 Lie 그룹에 의한 적절한 조치의 예는 G에 $H\subseteq G$ 있는 Lie 부분군 $H\subseteq G$ $H\subseteq G$ $H\subseteq G$ $H\subseteq G$ 에 의해 주어진다.

궤도 공간의 구조

M에서 G의 Lie 그룹 작용이 주어지면 궤도 공간 $M/G$ $M/G$ 은 일반적으로 다지관 구조를 인정하지 않는다 $M/G$ .그러나 동작이 자유롭고 적절하다면 $M/G$ ${\디스플레이스타일$ $M$ $/G}$ 은 $M\to M/G$ M $M\to M/G$ → $M\to M/G$ / $M\to M/G$ ${\디스플레이스타일$ M $\to$ M $/G}$ 이 $M\to M/G$ (가) 잠수( $M\to M/G$ M $M\to M/G$ → $M\to M/G$ / $M\to M/G$ ${\displaystyle$ M\ $to M/G}$ 이 $M\to M/G$ (가) 주요 G-분들(Bundle)일 정도로 독특한 부드러운 구조를 가지고 있다 $M/G$ .^[2]

$M/G$ / $M/G$ $M/G$ 이 $M/G$ (가) 하우스도르프라는 사실은 (위에서 논의한 바와 같이) 작용의 적절성에 달려 있을 뿐이며, 나머지 주장은 자유성이 필요하며 슬라이스 정리의 결과물이다."자유 작용" 조건(즉, "안정제 제로 보유")을 "유한 안정제 보유"로 완화할 경우, $M/G$ G ${\디스플레이$ 스타일 M/G $}$ 은 대신 궤도형(또는 지수 스택 $M/G$ )이 된다.

이 원리의 적용은 대수적 위상으로부터 보렐 건설이다.G가 콤팩트하다고 가정하면, $E$ G $EG$ 이(가) 콤팩트하기 때문에 우리가 다지관으로 가정할 수 있는 범용 번들을 나타내며 $EG$ , $EG\times M$ 가 E $EG\times M$ × $EG\times M$ $EG\times M$ 에 대각선으로 $EG\times M$ 작용하도록 한다.작용은 제1인자에 해당하므로 자유롭고 G가 작기 때문에 적절하므로 지수 다지관 $M_{G}=(EG\times M)/G$ $M_{G}=(EG\times M)/G$ = $M_{G}=(EG\times M)/G$ $M_{G}=(EG\times M)/G$ $M_{G}=(EG\times M)/G$ M $M_{G}=(EG\times M)/G$ ) $M_{G}=(EG\times M)/G$ / $M_{G}=(EG\times M)/G$ ${\displaystyle M_{G}=(EG\times$ M $)/G}$ 를 형성할 $M_{G}=(EG\times M)/G$ 수 있으며 M의 등가 공호학을 제1인자로 정의할 수 있다.

H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})

H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})

H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})

( M

H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})

)

H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})

=

H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})

H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})

H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})

H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})

H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})

)

{\displaystyle H_{G}^{*(M)=H_{\dr}^{dr

여기서 오른쪽은 $M_{G}$ $M_{G}$ G ${\$ 의 de Rham cohomology를 나타낸다 $M_{G}$

참고 항목

참조

^ Palais, Richard S. (1957). "A global formulation of the Lie theory of transformation groups". Memoirs of the American Mathematical Society (22): 0. doi:10.1090/memo/0022. ISSN 0065-9266.
^ Lee, John M. (2012). Introduction to smooth manifolds (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4419-9982-5. OCLC 808682771.

미슐레 오딘, 비르카우저, 2004년 토러스 연감 다지관에 대한 조치
존 리, 매끄러운 다지관 소개 9장 ISBN 978-1-4419-9981-8
Frank Warner, 다양한 다양성과 거짓말 그룹의 재단, 3장 ISBN 978-0-387-90894-6

[1] Palais, Richard S. (1957). "A global formulation of the Lie theory of transformation groups". Memoirs of the American Mathematical Society (22): 0. doi:10.1090/memo/0022. ISSN 0065-9266.

[2] Lee, John M. (2012). Introduction to smooth manifolds (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4419-9982-5. OCLC 808682771.

[1]

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