기본 벡터장

수학, 특히 미분 기하학의 연구에서 기본 벡터 장은 매끄러운 다지관 위에서 매끄러운 Lie 그룹 작용의 극소수 동작을 설명하는 기구다.그러한 벡터 장은 Lie 이론, 공감 기하학, 해밀턴 집단 행동 연구 등에서 중요한 응용 분야를 발견한다.

동기

수학과 물리학의^[1] 응용에 있어서 중요한 것은 다지관에서의 흐름의 개념이다.In particular, if ${\displaystyle M}$ is a smooth manifold and ${\displaystyle X}$ is a smooth vector field, one is interested in finding integral curves to ${\displaystyle X}$. More precisely, given ${\displaystyle p\in M}$ one is interested in curves ${\displaystyle \gamma _{p}:\mathbb {$$R$$} \to$ M$}:$

$\displaystyle \gamma _{p}(t)=X_{\gamma _{p}(t)},\qquad \gamma _{p}(0)=p,}$

그 지역적 해결책은 일반 미분방정식의 존재와 고유성 정리에 의해 보장된다.If ${\displaystyle X}$ is furthermore a complete vector field, then the flow of ${\displaystyle X}$, defined as the collection of all integral curves for ${\displaystyle X}$, is a diffeomorphism of ${\displaystyle M}$. The flow ${\displaystyle \phi _{X}:\mathbb {R} \times M\to M}$ given by $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( ${\displaystyle t}$, $p$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ p (${\displaystyle {}_{}t}$) ${\displaystyle \phi _{X}(t,p)=\gamma _{p}(t)}}}$은 $사실{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M$에 있는 첨가된 Lie 그룹$R$,$+$)의 작업이다$.$

반대로 매끄러운 $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A:\mathb {R} \to$ M$}$은(는) 방정식을 통해$$ 완전한 벡터 필드 $X{\displaystyle }$ ${\\displaystyle$ X$}$을(를) 정의한다.

$[\\displaystyle X_{p}=\왼쪽.{\frac {d}{dt}\오른쪽 _{t=0}A(t,p)}$

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 $대한{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ 작업과$$$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 대한 완전한 벡터 필드 사이에 비주사적인 일치성이 있다는 것은 단순한 결과일^[2] 수 있다$.$

흐름 이론 언어에서 벡터 필드 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$을(를$$) 최소 생성기라고 한다.^[3]직관적으로 각 지점에서 흐름의 거동은 벡터장이 가리키는 "방향"에 해당한다.$M{\displaystyle }$ {\displaystyle M$}에서 벡터$ 필드와 보다 자의적인 Lie 그룹 동작 사이에 유사한 대응성을 설정할지 여부를 묻는 것은 자연스러운 질문이다$.$

정의

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 해당 Lie 대수 g ${\$과(와) 함께 Lie 그룹으로 하고$$$,$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 부드러운 동작 $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \times }$ M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystystyle A:$$G\time M\to M$ 지도 $A{\displaystyle {}_{}}$:${\displaystyle G}$ → M ${\displaystyle A_{p}:$G\to M}는 Ap(g))(g, p){\displaystyle A_{p}(g)=A(g,p)}, X∈ g{\displaystyle X\in{\mathfrak{g} 들어{p\displaystyle}.[4]이}에 해당하는}한{A\displaystyle}의 궤도 지도라고 불리는 등과 같은 근본적인 벡터장 X#{\displaystyle X^{)#}}X{\displ에 해당한다.ays$tyle X}$은(는) 다음과 같은 정의 중 하나이다.^[2][4][5]

• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=d_{e}A_{p}(X)}$
• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=d_{(e,p)}A\left(X,0_{T_{p}M}\오른쪽)}$
• ${\displaystyle X_{p}^{\#}=\왼쪽.{\frac {d}{dt}\오른쪽 _{t=0}A\왼쪽(\exp(tX),p\오른쪽)}$

여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은(는) 평활지도의 차등이며 0 $T{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {p_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\$은 벡터 공간 T $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystytle T_{p}M}$의 영점 벡터 입니다$.$

지도 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$→ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$(${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mapsto }$ X${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$# ${\$ ($TM), X\mapsto$ X$^{\#}}$는 Lie 대수적 동형성으로 나타낼 수 있다$$.^[5]

적용들

거짓말 그룹

Lie 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 Lie 대수는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 왼쪽 또는 오른쪽-invariant 벡터 필드로 식별할 수 있다$$$.$ 그러한 벡터 필드가 $ID$의 접선 공간인$$T$$ ${\displaystyle G_{}}$ {\$displaystyty$ T_${e}G}$에 이형성이 있다는 것은 잘 알려진 결과다^[3].실제로 $오른쪽{\displaystyle }$ 곱셈을 통해 G ${\displaystyle$ G$}$이(가) 스스로 작용하도록$$ 하면, 그에 상응하는 기본 벡터 장은 정확하게 좌변량 벡터장이 된다.

해밀턴 집단 행동

동기에서, $매끄러운{\displaystyle \mathbb{}}$R {\$displaystyle \mathb${R$$$}$ 동작과 완전한 벡터 필드 사이에 편향적인 일치성이 있음을 보여주었다.마찬가지로, 동시렉토리얼 작용(유도된 차이점동형들은 모두 동시렉토리즘이다)과 완전한 동시렉트릭 벡터장 사이에는 주관적 대응성이 있다.

밀접하게 연관된 아이디어는 해밀턴 벡터장이다.공감각 다지관$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle (M,\$$displaystyle X_{H}})$을 고려할$$때, 부드러운 함수 $H{\displaystyle }$: M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ H$:$$가$ 존재한다면$$ X H ${\$ H:$만족스러운$$M$\to$\mathb$ {$R}$

${\displaystyle dH=\iota _{X_{H}}\오메가 }$

여기서 지도 $\iota {\displaystyle }$ ${\displaystyle \iota}$이(가) 내부 제품이다.이것은 다음과 같은 해밀턴 집단행동의 정의에 동기를 부여한다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$과($와{\displaystyle )}$ ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle G}$× ${\displaystyle M}$→ M {\displaystyle A:인$경우:$$G\times M\to M}$ is a group action of ${\displaystyle G}$ on a smooth manifold ${\displaystyle M}$, then we say that ${\displaystyle A}$ is a Hamiltonian group action if there exists a moment map ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ such that for each ${\displaystyle X\in$${\mathfrak{g$

${\displaystyle d\mu ^{X}=\iota _{X^{\#}}\omega,}$

여기서 $\mu {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$: ${\displaystyle M\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R}$, p ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \mu \mu }$(${\displaystyle }$p ) , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \mu$^{$X:$$M\to \mathb {R}, p\mapsto \langle\mu(p),$ X$\rangele },$ $X$ # ${\$는 $X{\displaystyle }$ ${\\displaystyle X}$의 기본 벡터 필드다.

참조