변수 내 오류 모형

${\displaystyle {\hat {\beta }={\frac {{K}(n_{1},n_{2}+1)}{{\hat{K}}{{{1}+1,n_{2}}}}}}}{\quad n_{1},{2},},},}$

여기서 (n₁,n₂)은 (x,y)의 관절 누적분인 K(n₁+1,n₂)가 0이 아닌 것과 같다. 잠복 퇴행기 x*의 세 번째 중심 모멘트가 0이 아닌 경우 공식은 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle {\hat {\frac }={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar{x})(y_{t}-{\bar{y}})^{2}}{\tfrac {1}{1}{{\tfrac {1}{{{}}}}}{{\tfr}}}{{{}}}}}}}}}}}}}}}}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar{x}})^{2}(y_{t}-{\bar{y}})}}}}}\$

${\displaystyle{\begin{정렬}&, z_ᆬ=\left(1\ z_{1}'\ z_{t2}'\ z_{t3}'\ z_{t4}'\{t5}'\z_z_{t6}'\z_{t7}'\right)',\quad{\text{어디}}\\&, z_{t1}=x_{t}\circ x_{t}\\&, z_{t2}=x_{t}y_{t}\\&, z_{t3}=y_{t}^{2}\\&, z_{t4}=x_{t}\circ x_{t}\circ x_{t}-3{\big(}\operatorname{E}I_{k}{\big[x_{t}x_{t}']\circ)}x_{t}\\&, z_{t5}=x_{t}\circ인데_{t}y_{t}-2{\big(}\operatorname {E} [y_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}-y_{t}{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}\iota _{k}\\&z_{t6}=x_{t}y_{t}^{2}-\operatorname {E} [y_{t}^{2}]x_{t}-2y_{t}\operatorname {E} [x_{t}y_{t}]\\&z_{t7}=y_{t}^{3}-3y_{t}\operatorname {E} [y_{t}^{2}]\end{aligned}}}$

여기서 $\circ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circle }$은(는) 행렬의 Hadamard 제품과 변수 x를 예비적으로_t 제거했다_t. 이 방법의 저자들은 풀러의 수정된 IV 추정기를 사용할 것을 제안한다.^[16]

${\displaystyle {\hat {\beta }={\big (}X'Z)^{-1}Z'X{\big )^{-1}XZ(Z'Z'Z'y.}$

${\displaystyle x_{t}^{*}=\pi _{0}'z_{t}+\sigma _{0}\zeta _{t},}$

where π₀ and σ₀ are (unknown) constant matrices, and ζ_t ⊥ z_t. The coefficient π₀ can be estimated using standard least squares regression of x on z. The distribution of ζ_t is unknown, however we can model it as belonging to a flexible parametric family — the Edgeworth series:

${\displaystyle f_{\zeta }(v;\,\gamma )=\phi (v)\,\textstyle \sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v^{j}}$

where ϕ is the standard normal distribution.

Simulated moments can be computed using the importance sampling algorithm: first we generate several random variables {v_ts ~ ϕ, s = 1,…,S, t = 1,…,T} from the standard normal distribution, then we compute the moments at t-th observation as

${\displaystyle m_{t}(\theta )=A(z_{t}){\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}H(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )\sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v_{ts}^{j},}$

where θ = (β, σ, γ), A is just some function of the instrumental variables z, and H is a two-component vector of moments

${\displaystyle {\begin{aligned}&H_{1}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=y_{t}-g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta ),\\&H_{2}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=z_{t}y_{t}-({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts})g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta )\end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\,y_{t}x_{t}^{*},]=\int g(x_{t}^{*},\beta )f_{x^{x^{*}x_{t}^{t}x}^{},}},}$

조건부 밀도 함수 ƒ을_{x* x} 알면 적분을 계산할 수 있을 것이다. 만약 이 기능을 알거나 추정할 수 있다면, 문제는 예를 들어 NLLS 방법을 사용하여 추정할 수 있는 표준 비선형 회귀 분석으로 바뀐다.
η₁, η이₂ 동일하게 분포되어 있는 단순성을 가정하면, 이 조건부 밀도는 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\hat {f}}_{x^{*} x}(x^{*} x)={\frac {{\hat {f}}_{x^{*}}(x^{*})}{{\hat {f}}_{x}(x)}}\prod _{j=1}^{k}{\hat {f}}_{\eta _{j}}{\big (}x_{j}-x_{j}^{*}{\big )},}$

여기서 표기법 x를_j 약간 남용하면 벡터의 j번째 성분을 나타낸다.
이 공식의 모든 밀도는 경험적 특성 함수의 역전을 사용하여 추정할 수 있다. 특히.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(v)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v,0)}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)}},\quad {\text{where }}{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v_{1},v_{2})={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}e^{iv_{1}x_{1tj}+iv_{2}x_{2tj}},\\{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)=\exp \int _{0}^{v}{\frac {\partial {\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})/\partial v_{1}}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})}}dv_{2},\\&{\hat {\varphi }}_{x}(u)={\frac {1}{2T}}\sum _{t=1}^{T}{\Big (}e^{iu'x_{1t}}+e^{iu'x_{2t}}{\Big )},\quad {\hat {\varphi }}_{x^{*}}(u)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x}(u)}{\prod _{j=1}^{k}{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(u_{j})}}.\end{정렬}}}$

이러한 특성 함수를 반전시키기 위해서는 역 푸리에 변환을 적용해야 하며, 숫자 안정성을 보장하는 데 필요한 트리밍 파라미터 C가 필요하다. 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle {\f}_{x}(x)={\frac {1}{1}{{k}}\int _{-C}^{C}^{-C}^{C}^{-i'x}{\varphi }{x}(u)du.}$

${\displaystyle {\begin{cases}y_{t}=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\beta _{j}g_{j}(x_{t}^{*})+\sum _{j=1}^{\ell }\beta _{k+j}w_{jt}+\varepsilon _{t},\\x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}}$

where w_t represents variables measured without errors. The regressor x* here is scalar (the method can be extended to the case of vector x* as well).
If not for the measurement errors, this would have been a standard linear model with the estimator

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\big (}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}\xi _{t}'\,]{\big )}^{-1}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}y_{t}\,],}$

where

${\displaystyle \xi _{t}'=(g_{1}(x_{t}^{*}),\cdots ,g_{k}(x_{t}^{*}),w_{1,t},\cdots ,w_{l,t}).}$

It turns out that all the expected values in this formula are estimable using the same deconvolution trick. In particular, for a generic observable w_t (which could be 1, w_1t, …, w_{ℓ t}, or y_t) and some function h (which could represent any g_j or g_ig_j) we have

${\displaystyle \operatorname {E} [\,w_{t}h(x_{t}^{*})\,]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{h}(-u)\psi _{w}(u)du,}$

where φ_h is the Fourier transform of h(x*), but using the same convention as for the characteristic functions,

${\displaystyle \varphi _{h}(u)=\int e^{iux}h(x)dx}$,

and

${\displaystyle \psi _{w}(u)=\operatorname {E} [\,w_{t}e^{iux^{*}}\,]={\frac {\operatorname {E} [w_{t}e^{iux_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{iux_{1t}}]}}\exp \int _{0}^{u}i{\frac {\operatorname {E} [x_{2t}e^{ivx_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{ivx_{1t}}]}}dv}$

결과 추정기 $\beta {\displaystyle \hat{}}$ ${\$은(는) 일관성이 있고 증상이 없는 정상이다.

${\displaystyle {\hat {g}}(x)={\frac {{\hat {\operatorname {E} }}[\,y_{t}K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}{{\hat {\operatorname {E} }}[\,K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}},}$