본질적 특이점

복잡한 분석에서, 함수의 본질적인 특이점은 함수가 이상한 행동을 보이는 근처의 "심각한" 특이점이다.

범주 본질적 특이점은 특히 관리할 수 없는 "좌측" 또는 기본 격리된 특이점 그룹이다. 정의상 그것들은 어떤 방식으로든 다루어질 수 있는 다른 두 범주의 특이점 - 제거 가능한 특이점과 극과 같은 두 가지 범주에 모두 들어맞지 않는다. 실제로 일부에는^[who?] 비절연 특이점도 포함된다. 이러한 특이점에는 잔여물이 없지만, 모든 격리된 특이점에는 잔류물이 있다.^{[citation needed]}

형식 설명

Consider an open subset ${\displaystyle U}$ of the complex plane ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Let ${\displaystyle a}$ be an element of ${\displaystyle U}$, and ${\displaystyle f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$ a holomorphic function. 특이점이 폴이나 탈착 가능한 특이점이 아닌 경우$$, $점{\displaystyle }$ a ${\displaystyle$ a$}$을(를) $f{\displaystyle }${\$displaystyle f}$ 함수의 필수 특이점이라고 한다$$.

예를 들어 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ z ${\$ $함수$에는 z${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle z=0}$에 본질적인 특이성이 있다$$$.$

대체 설명

${\$을(를$)$ 복잡한 숫자로 하고$$, $f{\displaystyle (}$ z${\displaystyle )}$ ${\$에서 정의되지$$ 않지만$$ 복잡한 평면의 일부$$ $영역{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U}$에서 분석되며, ${\displaystyle a}$의 모든 인접 영역에는 $U{\displaystyle }$ ${\di$와 비어 있지 않은 교차가 있다고$$ 가정한다.$splaystyle U}$.

If both ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ and ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ exist, then ${\displaystyle a}$ is a removable singularity of both ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$.

If ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ exists but ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ does not exist, then ${\displaystyle a}$ is a zero of ${\displaystyle f}$ and a pole of ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$.

Similarly, if ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ does not exist but ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ exists, then ${\displaystyle a}$ is a pole of ${\displaystyle f}$ and a zero of ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$.

If neither ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ nor ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ exists, then ${\displaystyle a}$ is an essential singularity of both ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$.

$본질적$인 특이점을 특징짓는 또 다른 방법은 ${\displaystyle a}$ 지점에 $있는$ f ${\displaystyle f}$의 Laurent 시리즈가 무한히 많은 음의 도 용어를 갖는다는 것이다(즉, Laurent 시리즈의 주요 부분은 무한정 합이다). A관련 정의 한다면 조건은{\displaystyle}것은 z{z\displaystyle}는{\displaystyle}는 경향이 있f{\displaystyle f} 나서{\displaystyle}은 필수적인 특이점은 이를 f의(z는 −)n{\displaystyle f(z)(z-a)^{n}(z)도 파생 상품}한도까지,.[1전진이다.]

On a Riemann sphere with a point at infinity, ${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$, the function ${\displaystyle {f(z)}}$ has an essential singularity at that point if and only if the ${\displaystyle {f(1/z)}}$ has an essential singularity at 0: i.e. neither ${\displaystyle \underset{z\to 0}{lim}f(1/z)}$${\displaystyle \lim _{z\to$ 0$}{f(/z)}$ 또는$$ ${\displaystyle \underset{}{lim}}$z → ${\displaystyle \frac{0}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}\frac{\mathrm{}}{}}$ f${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{1}{}}$/${\displaystyle \frac{z}{}}$ $){\$to 0}{\$frac {1}{f(1/z)}}}}}}}}}}}}}}}$이(가$$ 있다.^[2] 리만 구의 리만 제타 함수는 $\infty {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {C\mathbb{}}_{}}$ ${\$에서 단 하나의 본질적인 특이점만을 가진다$.$^{[citation needed]}

필수 특이점 근처에 있는 홀로모픽 함수의 동작은 카소라티-에 의해 설명된다.위어스트라스 정리 및 상당히 강한 피카르의 대정리. 후자는 필수적인 $특이점$인 ${\displaystyle a}$의 모든 이웃에서$$$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 함수가 모든 복잡한 가치를 무한히$$ 여러 번 차지한다고 말한다. (예: ${\displaystyle \exp }$(${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \exp(1/z)}$ 함수 exp는 0 값을 차지하지 않는다$$.)

참조

외부 링크

• Stephen Wolfram의 필수 특이점, Wolfram 데모 프로젝트.
• 행성 수학의 본질적 특이점