평탄(지오메트리)

기하학에서 평면 또는 유클리드 아공간은 그 자체가 유클리드 공간(하위차원의)인 유클리드 공간의 부분집합이다. 2차원 공간의 평면은 점과 선이며, 3차원 공간의 평면은 점, 선, 평면이다.

n차원 공간에는 0부터 $n$ - $1$ 까지 모든 차원의 평면이 존재하며,^[1] $n$ - $1차원$ 평면을 하이퍼플레인이라고 한다.

플랫은 유클리드 공간의 아핀 서브 스페이스로, 원점을 통과할 필요가 없다는 점을 제외하면 선형 서브 스페이스와 유사하다는 것을 의미한다. 플랫은 선형 방정식의 솔루션 집합의 기하학적 실현으로서 선형 대수에서 발생한다.

플랫(flat)은 다지관과 대수적 품종이며, 다른 다지관이나 품종과 구별하기 위해 선형 다지관 또는 선형 품종이라고 부르기도 한다.

설명

기준 방정식

플랫은 선형 방정식의 시스템으로 설명할 수 있다. 예를 들어, 2차원 공간의 선은 $x$ 와 $y$ 를 포함하는 단일 선형 방정식으로 설명할 수 있다.

3x+5y=8을 표시 3x+5y=8).}

3차원 공간에서는 $x$ , $y$ , $z$ 를 포함하는 단일 선형 방정식이 평면을 정의하는 반면, 한 쌍의 선형 방정식을 사용하여 선을 설명할 수 있다. 일반적으로 $n$ 변수의 선형 방정식은 하이퍼플레인을 설명하고, 선형 방정식의 시스템은 이러한 하이퍼플레인의 교차점을 설명한다. 방정식이 일관되고 선형적으로 독립적이라고 가정할 때, $k$ 방정식의 시스템은 $차원$ n - $k$ 의 평면을 설명한다.

파라메트릭

플랫은 선형 파라메트릭 방정식의 시스템으로도 설명할 수 있다. 선은 한 개의 모수를 포함하는 방정식으로 설명할 수 있다.

x=2+3t,\;\;\;y=-1+t\;\;\;z={\frac {3}{2}}-4t

평면에 대한 설명은 두 개의 매개변수를 필요로 한다.

x=5+2t_{1}-3t_{2},\;\;\;y=-4+t_{1}+2t_{2}\;\;\;z=5t_{1}-3t_{2}.\,\!

일반적으로 치수 $k$ 평면의 매개변수화는 매개변수 $t 1, \dots,$ $t$ 를_k 필요로 한다.

평지에 대한 운영 및 관계

교차, 평행 및 스큐 플랫

플랫의 교차점은 플랫 또는 빈 세트 중 하나이다.^[2]

한 평판에서 각 선이 다른 평면에서 어떤 선과 평행하면 이 두 평면이 평행이다. 동일한 치수의 두 평행 평면은 일치하거나 교차하지 않는다. 그것들은 오른쪽 면에서만 다른 두 개의 선형 방정식으로 설명할 수 있다.

평면이 교차하지 않고, 첫 번째 평면에서 평행한 선이 두 번째 평면에서 평행하지 않으면, 이는 스큐 플랫이다. 치수의 합계가 주변 공간의 치수보다 작아야 가능하다.

가입하다

치수 $k$ 와₁ $k$ 의₂ 두 평면의 경우 $치수 1$ k + $k 2$ + $1$ 을 포함하는 최소 평면이 존재한다. 두 평면이 교차하는 경우, 포함하는 평면의 치수는 $k 1$ + $k$ 에서₂ 교차점의 치수를 뺀 것과 같다.

작업 속성

이 두 가지 작업(만남과 합류라고 함)은 유클리드 n-공간에 있는 모든 평면을 격자로 만들고 어떤 차원에서도 평면에 대한 체계적인 좌표를 구축할 수 있어 그라스만 좌표나 이중 그래스만 좌표로 이어질 수 있다. 예를 들어, 3차원 공간의 선은 두 개의 구별되는 점 또는 두 개의 구별되는 평면에 의해 결정된다.

그러나 모든 평면의 격자는 분배 격자가 아니다. $두 1$ 선 $and$ 과₂ ℓ이 교차하면 $ℓ 1 \cap은 2$ 점이다. $p$ 가 같은 평면에 놓여 있지 않은 점이라면, ( $ℓ 1$ ∩ $ℓ 2)$ + p $=$ $(ℓ 1$ + $p) \cap (ℓ 2$ + $p$ ) 둘 다 선을 나타낸다 $.$ 그러나 $ℓ$ 과₁ $ℓ$ 이₂ 평행할 때 이 분배성은 실패하여 $왼쪽$ 은 p, 오른쪽은 세 번째 평행선이 된다.

유클리드 기하학

앞서 언급한 사실들은 유클리드 공간(이름, 유클리드 거리 포함)의 구조에 따라 달라지지 않으며 어떤 부속 공간에서도 정확하다. 유클리드 공간에서:

평지와 점 사이의 거리가 있다. (예: 점에서 평면까지의 거리 및 점에서 선까지의 거리 참조)
두 평지 사이에는 거리가 있는데, 두 평지가 교차할 경우 0과 같다. (예: 두 선 사이의 거리(동일한 평면에서)와 스큐 선 § 거리 참조)
두 평판 사이에 각도가 있으며, 0과 직각 사이의 간격 $[0, π/2]$ 에 속한다. (예를 들어 두 평면 사이의 디헤드랄 각도를 참조하십시오. 플랫 사이의 각도도 참조하십시오.)

참고 항목

메모들

^ 또한, 그 자체의 부분집합인 전체 n차원 공간도 n차원 플랫으로 간주될 수 있다.
^ -1-플랫으로 간주할 수 있다.

참조

하인리히 구겐하이머(1977) 적용 가능한 기하학, 7페이지 뉴욕 크리거
Stolfi, Jorge (1991), Oriented Projective Geometry, Academic Press, ISBN 978-0-12-672025-9
원본 스탠포드 박사 논문에서 DEC SRC 연구 보고서 36으로 제공되는 계산 기하학을 위한 Primattics for Computing Geometric, Primitical Report 36.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Hyperplane". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Flat". MathWorld.

[1] 또한, 그 자체의 부분집합인 전체 n차원 공간도 n차원 플랫으로 간주될 수 있다.

[2] -1-플랫으로 간주할 수 있다.

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