프로이트 스피로이드 좌표

프로이트 스피로이드 좌표는 타원의 초점 축, 즉 포커스가 위치한 대칭 축에 대해 2차원 타원 좌표계를 회전시킨 결과 발생하는 3차원 직교 좌표계다. 다른 축을 중심으로 회전하면 회전 좌표가 사라진다. 프로이트 스피로이드 좌표는 가장 작은 두 개의 주요 축의 길이가 같은 타원형 좌표의 제한 사례로도 간주할 수 있다.

프로이트 스피로이드 좌표는 z축에 초점을 맞춘 2개의 중심에서 생성된 장에 대한 해결 등 경계조건이 대칭과 형태에 일치하는 다양한 부분 미분 방정식을 푸는 데 사용할 수 있다. 한 예는 수소 분자 이온에서와₂⁺ 같이 양전하 핵의 전자기장에서 이동하는 전자의 파동 기능에 대한 해결이다. 또 다른 예는 두 개의 작은 전극 팁에 의해 생성된 전기장에 대한 해결이다. 그 밖에 라인 세그먼트(μ = 0) 또는 누락된 세그먼트가 있는 라인(μ=0)에서 생성된 영역을 제한 사례로 들 수 있다.

정의

프로이트 스피로이드 좌표$({\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ , φ ,$$) {\$displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$의 가장 일반적인 정의는 다음과$$ 같다.

$\displaystyle x=a\sinh \mu \sinnu \cos \varphi }$

$\displaystyle y=a\sinh \mu \sinnu \sin \varphi }$

$\displaystyle z=a\cosh \mu \cosh \cos \nu}$

여기서 $[\displaystyle \mu }$은(는) 음이 아닌 실제 숫자로 $and{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle 0,\pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \nu \in [0,\pi$ $]\}.$ 방위각 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 간격${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$에 속한다$$$.$

삼각측량정체성

${\displaystyle {\frac{z^{2}}:{a^{2}\cosh^{2}\mu }}}}{\frac {x^{2}+y^{2}}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}}}\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

일정한 $[\displaystyle \mu }$의 표면이 포커스를 이루는 축을 중심으로 타원이 회전하기 때문에 프로이트 스피로이드 형태임을 보여준다. 마찬가지로 쌍곡선 삼각측량 아이덴티티도

${\displaystyle {\frac{z^{2}}:{a^{2}\cos ^{2}\nu }-{\frac {x^{2}+y^{2}}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

상수 ${\displaystyle \nu}$의 표면이 혁명의 하이퍼볼로이드를 형성한다는$$ 것을 보여준다.

$({\displaystyle \mathrm{x}}$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$± a${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,\pm$ $)}$에 위치한 foci로부터의 거리는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle r_{\pm }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z\mp a)^{2}}=a(\cosh \mu \mp \cos \nu).}$

척도계수

타원 좌표$({\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$에 대한 스케일 계수는 동일함$$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}}}$

방위 척도계수는 다음과 같다.

${\displaystyle h_{\varphi }=a\sinh \mu \sin \nu ,}$

그 결과 의 결과

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=h_{\mu }^{2}d\mu ^{2}+h_{\nu }^{2}d\nu ^{2}+h_{\varphi }^{2}d\varphi ^{2}\\&=a^{2}\left[(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )d\mu ^{2}+(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )d\nu ^{2}+(\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu )d\varphi ^{2}\right].\end{정렬}}}$

따라서 최소의 볼륨 요소는 동일하다.

${\displaystyle dV=a^{3}\sinh \sin \sin \nu (\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\nu \d\nu \d\\varphi }$

그리고 라플라크는 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {1}{a^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\{2}\nu }}{\partial ^{2}\phi }{\partial \varphi ^{2}}}{\partial \varphi ^{2}}}\ed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

Other differential operators such as ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ and ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ can be expressed in the coordinates ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$ by substituting the scale factors into the general formulae found in orthogonal coordinates.

대체 정의

An alternative and geometrically intuitive set of prolate spheroidal coordinates ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ are sometimes used, where ${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$ and ${\displaystyle \tau =\cos \nu }$. Hence, the curves of constant ${\displaystyle \sigma }$ are 프로이트 스페로이드, 상수 ${\displaystyle \tau}$의 곡선은 혁명의 하이퍼볼로이드인 반면$$. 좌표 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$은(는) 구간[-1, 1]에 속하지만$$, $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ 좌표는$$ 1보다 크거나 같아야 한다.

The coordinates ${\displaystyle \sigma }$ and ${\displaystyle \tau }$ have a simple relation to the distances to the foci ${\displaystyle F_{1}}$ and ${\displaystyle F_{2}}$. For any point in the plane, the sum ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ of its distances to the foci equals ${\displaystyle }$${\displaystyle 2a\sigma }$, whereas their difference ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ equals ${\displaystyle 2a\tau }$. Thus, the distance to ${\displaystyle F_{1}}$ is ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$, whereas the distance to ${\displaystyle F_{2}}$ is ${\displaystyle a}$${\displaystyle (\sigma }$ -${\displaystyle \tau }$ )${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$ .$$($F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 및 $F$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}이 각각 ${\displaystyle z}$=${\displaystyle }$- ${\$$displaysty$ $z$$=-$$a}$ $및{\displaystyle }$ z$$$=+a}$에 위치한다는$$ 점을 상기하십시오$.)$ $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma$ $\},$ $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$및 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 대해 다음과 같은 식을 제공한다$.$

${\displaystyle \frac {1}{1}{2a}\왼쪽 \sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\오른쪽)}$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{1}{2a}\왼쪽 \sqrt {x^{2}+{2}+(z+a)^{2}}-{\sqrt {x^{2}+{2}+{2}+}+(z-a)^{2}}:}\오른쪽)}$

${\displaystyle \varphi =\arctan \lefts\frac {y}{x}\오른쪽)}$

유사한 주멸의 구뇌 좌표와는 달리 프로이트 스피로이드 좌표( (, τ, φ)는 퇴화되지 않는다. 즉, 그것과 데카르트 좌표 사이에는 독특하고 되돌릴 수 있는 일치성이 있다.

${\displaystyle x=a{\sqrt {(\displayma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}\coses \varphi }}$

${\displaystyle y=a{\sqrt {(\displayma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}\sin \varphi }$

$\displaystyle z=a\ \ \ma \tau }$

대체 척도 계수

대체 타원 좌표$({\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle \tau ,\phi }$ )에 대한 스케일 계수는 ${\displaystyle(\sigma ,\tau ,\varphi )$이다.

${\displaystyle h_{\proxma }=a{\sqrt {\fractma ^{2}-\tau ^{2}}:{\proxma ^{2}-1}:{2}}:\proxma ^{2}-1}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\\sqrt {\frac {\fracma ^{2}-\tau ^{2}}:{1-\tau ^{2}}:}$

방위 척도 인자가 현재에 있는 동안

${\displaystyle h_{\varphi }=a{\\sqrt {\reft(\reftma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}$

따라서 최소 볼륨 요소는

${\dplaystyle dV=a^{3}(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi })$

그리고 라플라시아인은 동등하다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\nabla ^{2}\Phi ={}&,{\frac{1}(\sigma ^{2}-\tau^{2})}}\left\{{\frac{\partial}{\sigma\partial}}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}}\right]+{\frac{\partial}{\tau\partial}}\left[(1-\tau ^{2}){\frac{\partial \Phi}{\partial \tau}}\right]\right\}\\&,{}+{\frac{1.}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}\ended}}}}}}}}}$

Other differential operators such as ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ and ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ can be expressed in the coordinates ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$ by substituting the scale factors into the general formulae found in orthogonal coordinates.

구면 좌표와 마찬가지로 라플레이스의 방정식은 일정한 프로이트 스피로이드 좌표를 가진 표면에 경계 조건이 정의되었을 때 사용하기 편리한 프로이트 스피로이드 고조파 형태의 해결책을 산출하는 변수의 분리방법으로 해결할 수 있다(Smythe, 1968 참조).

참조

참고 문헌 목록

각도 없음 규약관

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 661. ξ₁ = cosh μ, ξ₂ = sin ν, ξ₃ = cos φ을 사용한다.
• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9. Morse & Feshbach(1953년)와 동일하며_k, u를 ξ으로_k 대체한다.
• Smythe, WR (1968). Static and Dynamic Electricity (3rd ed.). New York: McGraw-Hill.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 97. LCCN 67025285. 좌표 ξ = cosh μ, η = sin ν, φ을 사용한다.

각도 규약

• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 177. LCCN 59014456. 코른과 코른은 (μ, ν, φ) 좌표를 사용하지만, 퇴행(σ行, τ, φ) 좌표도 도입한다.
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 180–182. LCCN 55010911. 코른과 코른(1961년)과 유사하지만 위도 latitude 대신 대장경 θ = 90° - ν을 사용한다.
• 문근영 중성인 PH, 스펜서 DE(1988년)."Prolate 은하 Coordinates(η, θ, ψ)".필드 이론 핸드 북, 좌표계, 방정식, 그리고 그들의 해결책(. 2일 교육 교정하고, 3인쇄 교육.)을 포함해서.뉴욕:스프링거 출판사..를 대신하여 서명함. 28–30(1.06표).아이 에스비엔 0-387-02732-7.달과 스펜서 θ cm이고, ψ로 φ의 이름을 바꾸는 여위도 대회 90도− ν을 사용한다.

특이한 관례

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) (2nd ed.). New York: Pergamon Press. pp. 19–29. ISBN 978-0-7506-2634-7. 프로이트 스피로이드 좌표를 일반 타원 좌표의 제한 사례로 취급한다. 거리 단위를 제곱한 좌표(ξ, η, ζ)를 사용한다.

외부 링크

• MathWorld의 프로이트 프로이드 좌표 설명