모더스 포넨스

변환 규칙
명제 미적분학
추론 규칙
시사 소개/제거(모더스 폰) 바이콘드 도입/제거 접속사 도입/제거 분리 도입/제거 이절 / 가상 삼단논법 건설적/파괴적 딜레마 흡수/모더스 톨렌스/모더스 폰도 톨렌스 부정소개
교체규칙
연관성 동시성 분배성 이중 부정 드 모건의 법칙 전치 물질적 함축성 수출 토토로지
술어 논리학
추론 규칙
보편적 일반화/인스턴시 실존적 일반화 / 인스턴스화

명제 논리학에서 모드스 폰스(/modus ponendor ponensor ponensor ponens, "puting method"를 위한 라틴어)^[1] 또는 함축적 제거 또는 사전 확언으로 알려진 모드스 폰스(/modmoʊdəs ˈpoʊnɛnz/; MP)는 연역적 논법이며 추론의 규칙이다.^[2][3] 그것은 "P는 Q.P가 진실임을 암시한다. 따라서 Q도 진실이어야 한다."

Modus ponens는 또 다른 유효한 형태의 논쟁인 modus tollens와 밀접하게 관련되어 있다. 두 사람 모두 결과의 확언, 선행자 부인, 부재 증거 등 겉으로 보기에는 비슷하지만 잘못된 형식을 갖고 있다. 건설적인 딜레마는 모더스 폰의 분리형 버전이다. 가설적 삼단논법은 모드스 폰과 밀접하게 연관되어 있으며, 때로는 "이중 모드 폰"으로 생각되기도 한다.

모드스 폰의 역사는 고대로 거슬러 올라간다.^[4] 모더스 폰의 주장을 가장 먼저 분명하게 설명한 것은 테오프라스토스였다.^[5] 그것은 모듀스 톨렌과 함께 원하는 목표를 이끄는 결론의 사슬을 도출하는 데 적용할 수 있는 추론의 표준 패턴 중 하나이다.

설명

모듀스 폰의 논쟁의 형태는 삼단논법을 닮았는데, 두 가지 전제와 결론이 있다.

P이면 Q.

P.

그러므로 Q.

첫 번째 전제는 조건부("만약-그러면") 청구, 즉 P가 Q를 내포한다는 것이다. 두 번째 전제는 조건부 청구의 선행 조건인 P가 해당된다는 주장이다. 이 두 가지 전제에서 조건부 청구의 결과물인 Q도 반드시 해당해야 한다는 논리적으로 결론을 내릴 수 있다.

형식에 맞는 논쟁의 예는 다음과 같다.

오늘이 화요일이라면 존은 출근할 것이다.

오늘은 화요일이다.

그러므로 존은 일하러 갈 것이다.

이 주장은 타당하지만, 이것은 논쟁의 어떤 진술이 실제로 사실인지와 무관하다. 모드스 폰이 건전한 주장이 되려면, 그 전제들은 결론의 어떤 진실된 예에 대해서도 사실이어야 한다. 논쟁은 타당할 수 있지만, 하나 이상의 전제가 거짓이면 불분명하다. 주장이 타당하고 모든 전제가 사실이라면, 논거는 건전하다. 예를 들어, 존은 수요일에 출근할 것이다. 이 경우 (수요일이기 때문에) 존이 통할 것이라는 추론이 불분명하다. 그 주장은 화요일에만 타당하지만(존이 출근할 때), 요일마다 유효하다. 모더스 포넨을 이용한 명제적 논쟁은 연역적이라고 한다.

단일 컨버전스 시퀀스 캘커리에서는 모드스 폰이 컷 룰이다. 미적분학의 컷 엘리미네이션 정리는 컷과 관련된 모든 증거가 컷 없이 (일반적으로, 건설적인 방법에 의해) 증명으로 변형될 수 있으며, 따라서 컷은 허용된다.

교정과 프로그램 간의 Curry-Howard 대응은 기능 적용에 모드 폰과 관련된다: f가 유형 P → Q이고 x가 유형 P인 경우, f x는 유형 Q이다.

인공지능에서는 모드스 폰은 흔히 포워드 체인이라고 불린다.forward chaining)이라고 불린다.

형식 표기법

모드스 폰스 규칙은 다음과 같이 순차적 표기법으로 쓰여질 수 있다.

$(\displaystyle P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;;)Q}$

여기서 P, Q, P → Q는 공식 언어로 된 문장(또는 명제)이고, ⊢은 일부 논리 체계에서 Q는 P와 P → Q의 통사적 결과라는 것을 의미하는 금속학 기호다.

진실 표를 통한 정당성

고전적인 두 가지 가치 논리학에서 모드 폰의 타당성은 진리표를 사용하여 명확하게 증명할 수 있다.

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

모듀스 폰의 경우에 우리는 p → q가 진실이고 p가 진실이라고 전제한다. 진리표의 한 줄(첫 번째)만이 이 두 가지 조건(p와 p → q)을 만족시킨다. 이 대목에서 q도 사실이다. 따라서 p → q가 참이고 p가 참일 때마다 q도 참이어야 한다.

상태

모듀스 폰은 논리학에서 가장 흔히 사용되는 논쟁 형태 중 하나이지만, 논리학 법칙으로 오인되어서는 안 된다. 오히려, 그것은 "정의의 법칙"과 "대체 규칙"을 포함하는 연역적 증명 구성을 위한 허용된 메커니즘 중 하나이다.^[6] 모드스 폰은 논리적인 증거나 논쟁(전제적)에서 조건부 진술을 제거할 수 있도록 허용하고, 따라서 이러한 선행 조건들을 항상 지속되는 기호들의 끈으로 앞으로 운반하지 못하게 한다. 이러한 이유로 모드스 폰은 때때로^[7] 분리 규칙이나 분리 법칙이라고 불린다.^[8] 예를 들어 Enderton은 "modus ponens는 더 긴 공식으로부터 더 짧은 공식들을 만들 수 있다"^[9]고 관찰하고, Russell은 "추정의 과정은 기호로 축소될 수 없다"고 관찰한다. 그것의 유일한 기록은 ⊦q [결과] ...의 발생이다. 추론은 진정한 전제가 떨어지는 것이고, 그것은 함축된 것이다."^[10]

"신뢰 추론"에 대한 정당성은 "두 개의 이전의 주장[전제]이 잘못되지 않는다면, 최종 주장[결과]은 잘못되지 않는다는 믿음"이다.^[10] 즉, 하나의 성명이나 명제가 두 번째 명제를 내포하고, 첫 번째 명제나 명제가 참이라면 두 번째 명제 역시 참이다. P가 Q와 P가 참임을 의미한다면 Q는 참이다.^[11]

다른 수학적 프레임워크와의 대응

확률 미적분학

모더스 폰은 이진 변수에 대해 다음과 같이 표현되는 총 확률의 법칙의 한 예를 나타낸다.

${\displaystyle \Pr(Q)=\Pr(Q\mid P)\Pr(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\Pr(\lnot P)\,}$,

where e.g. ${\displaystyle \Pr(Q)}$ denotes the probability of ${\displaystyle Q}$ and the conditional probability ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)}$ generalizes the logical implication ${\displaystyle P\to Q}$. Assume that ${\displaystyle \Pr(Q)=1}$ is equivalent to ${\dis$$Playstyle Q}$이(가) TRUE이고 ${\displaystyle Pr(Q}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Pr(Q)=0}$은(는) $Q{\displaystyle }$ ${\displaysty Q}$이(가) FALSE인 것과 같다. It is then easy to see that ${\displaystyle \Pr(Q)=1}$ when ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$ and ${\displaystyle \Pr(P)=1}$. Hence, the law of total probability represents a generalization of modus ponens.^[12]

주관적 논리학

모더스 폰은 주관적 논리에서 다음과 같이 표현되는 이항 공제 사업자의 한 예를 나타낸다.

${\displaystyle \omega _{Q\ P}^{A}=(\omega _{Q P}^{A},\omega _{Q \lnot P}^{A})\circledcirc \omega _{P}^{A}\,}$,

where ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$ denotes the subjective opinion about ${\displaystyle P}$ as expressed by source ${\displaystyle A}$, and the conditional opinion ${\displaystyle \omega _{Q P}^{A}}$ generalizes the logical implication ${\displaystyle P\to Q}$. The deduced marginal opinion about ${\displaystyle Q}$ is denoted by ${\displaystyle \omega _{Q\ P}^{A}}$. The case where ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$ is an absolute TRUE opinion about ${\displaystyle P}$ is equivalent to source ${\displaystyle A}$ saying that ${\displayst$$yle P}$은 TRUE이며, $\Omega {\displaystyle }$ P ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$가 P ${\displaystyle P}$에 대한 절대 FALSE 의견인$$ 경우는 P ${\displaystyle P}$이(가) FALSE라고 말하는$$ $소스{\displaystyle }$ A ${\displaystysty A}$와 동등하다$$. The deduction operator ${\displaystyle \circledcirc }$ of subjective logic produces an absolute TRUE deduced opinion ${\displaystyle \omega _{Q\ P}^{A}}$ when the conditional opinion ${\displaystyle \omega _{Q P}^{A}}$ is absolute TRUE and the antecedent opinion ${\displaystyl$$e \omega _{P}^{A}}$는 절대 TRUE이다. 따라서 주관적 논리 공제는 모드 폰과 전체 확률의 법칙의 일반화를 나타낸다.^[13]

의심스러운 실패 사례

철학자와 언어학자들은 모드스 폰이 실패하는 것으로 보이는 다양한 경우를 확인했다. 반 맥기 교수는 "모더스 폰은 그 결과 자체가 조건인 조건에서는 실패할 수 있다"고 주장했다.^[14]

1. 셰익스피어나 홉스가 햄릿을 썼다.
2. 만약 셰익스피어나 홉스가 햄릿을 썼다면, 셰익스피어가 하지 않았다면 홉스는 썼다.
3. 따라서 셰익스피어가 햄릿을 쓰지 않았다면 홉스는 그렇게 했다.

셰익스피어가 햄릿을 썼기 때문에, 첫 번째 전제는 사실이다. 세익스피어와 홉스에만 한정된 가능한 작가들의 집합에서 시작해서 그들 중 한 명을 제거하면 다른 한 사람만 남게 되기 때문에 두 번째 전제는 또한 사실이다. 그러나 셰익스피어를 햄릿의 작가로 배제하면 홉스보다 더 그럴듯한 대안인 수많은 후보들을 남길 수 있기 때문에 결론은 거짓으로 보일 수도 있다.

The general form of McGee-type counterexamples to modus ponens is simply ${\displaystyle P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)}$, therefore ${\displaystyle Q\rightarrow R}$; it is not essential that ${\displaystyle P}$ be a disjunction, as in the example given. 이러한 종류의 사례가 모드스 폰의 실패를 구성하는 것은 논리학자들 사이에서 소수의 견해로 남아 있지만, 그 사례들을 어떻게 처분해야 하는지에 대해서는 의견이 분분하다.^[15][16][17]

신논리학에서는 조건부 의무의 일부 사례도 실패의 가능성을 제기한다. 이러한 조건부 전제가 비도덕적이거나 경솔한 행동으로 전제된 의무를 설명하는 경우(예: "도씨가 어머니를 죽인다면, 그는 그렇게 부드럽게 해야 한다"), 의심스러운 무조건적인 결론은 "도씨는 어머니를 부드럽게 죽여야 한다"^[18]이다. 만약 Doe가 사실 그의 어머니를 부드럽게 살해한다면, 그는 무조건 해야 할 일을 하고 있는 것으로 보인다. 여기서 다시, 모드스 폰스 실패는 대중적인 진단은 아니지만 때때로 주장되기도 한다.^[19]

가능한 오류

그 결과물을 긍정하는 오류는 그 양식에 대한 일반적인 오해다.^[20]

참고 항목

• 응축 분리
• 가져오기-내보내기(로직)
• 라틴어 구절
• Modus tollens – 논리적 추론 규칙
• Modus vivendi – 상충하는 당사자들이 평화롭게 공존할 수 있도록 하는 협정
• 스토아 논리학 – 스토아 철학자들이 개발한 명제 논리학 체계
• 거북이가 아킬레우스에게 한 말 - 루이스 캐롤의 알레고리적 대화

참조

원천

• 허버트 B. 2001년 Enderton, 2001년, Harcourt Academic Edition 소개, Burlington MA, ISBN 978-0-12-238452-3.
• Audun Jøsang, 2016, 주관적 논리; 불확실성 스프링거, Cham, ISBN 978-319-42337-1
• Alfred North Whitehead와 Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica to *56 (Second Edition) 페이퍼백 1962년, 영국 University Press의 Cambridge. ISBN도 없고 LCCCN도 없다.
• 알프레드 타르스키 1946년 미놀라 뉴욕 도버 출판사에서 재인쇄한 연역학 제2판 로직 및 방법론 소개 ISBN 0-486-28462-X (pbk)

외부 링크

• "Modus ponens", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Modus ponens at PhilPapers
• 모더스 포넨스 울프램 매스월드