인자정리

대수학에서 인자 정리는 다항식 인자와 다항식 근을 연결합니다.Specifically, if ${\displaystyle f(x)}$ is a polynomial, then ${\displaystyle x-a}$ is a factor of ${\displaystyle f(x)}$ if and only if ${\displaystyle f(a)=0}$ (that is, ${\displaystyle a}$ is a root of the polynomial).이 정리는 다항식 나머지 정리의 특수한 경우입니다.^[1][2]

그 정리는 덧셈과 곱셈의 기본적인 특성에서 비롯됩니다.이 정리는 계수와$$원소 a {\$displaystyle a}$가 단지 필드가 아닌 임의의 교환 링에 속할 때도 성립함을 나타냅니다.

특히, 다변량 다항식은 변수 중 하나에서 일변량으로 볼 수 있으므로 다음과 같은 일반화가 성립합니다. 만약 f${\displaystyle }$( $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$X ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle f(X_{1},\ldots,X_{n})}$ 및$$ g${\displaystyle }$($X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$…,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle g(X_{2},\ldots,X_{n})}$는 다변량 다항식이고 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$는 X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}와 독립적입니다$le X_{1}}$, then ${\displaystyle X_{1}-g(X_{2},\ldots ,X_{n})}$ is a factor of ${\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ if and only if ${\displaystyle f(g(X_{2},\ldots ,X_{n}),X_{2},\ldots ,X_{n})}$ is the zero polynomial.

다항식 인수분해

인자 정리가 일반적으로 적용되는 두 가지 문제는 다항식 인수분해와 다항식의 근찾기 문제입니다. 이 문제들이 본질적으로 동등하다는 것은 그 정리의 직접적인 결과입니다.

인자 정리는 또한 다항식에서 알려진 0을 제거하는 데 사용되며 알려지지 않은 모든 0은 그대로 두므로 0을 찾기가 더 쉬운 하위 다항식을 생성합니다.추상적으로 방법은 다음과 같습니다.^[3]

1. 다항식 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle a}$ $후보$를 선행$$ 계수 ${\$와 ${\displaystyle {상수}_{}}$ 항 a ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 추론합니다$.$ (합리적 근 정리 참조)
2. 인자 정리를 사용하여${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ -${\displaystyle }$a${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (x-a)}$이${\displaystyle (가)}$ $(x$) {\$displaystyle$f(x))의 인자임을 결론짓습니다$.$
3. 다항식 $g$( $x$) = $f{\displaystyle \frac{}{}}$($$x ) ( x - a ) {\textstyle g(x) = {\dfrac {f(x)}{(x-a)}}}를 계산합니다.
4. Conclude that any root ${\displaystyle x\neq a}$ of ${\displaystyle f(x)=0}$ is a root of ${\displaystyle g(x)=0}$. Since the polynomial degree of ${\displaystyle g}$ is one less than that of ${\displaystyle f}$, it is "simpler" to find the remaining zeros by studying ${\displaystyle g}$.

다항식 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(${\displaystyle 가}$) 완전히 인수분해될 때까지 프로세스를 계속하면 $R{\displaystyle \mathbb{}}$[ x${\displaystyle }$] ${\displaystyle \mathbb {R} [x]$ 또는$$ C${\displaystyle }$[${\displaystyle x]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$에서 모든 인자를 줄일 수 없습니다$.$

예

$x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ ${\displaystyle 8}$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$의 인자를 구합니다${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle x^{3}$ + $7x^{2}$ + $8x+2.}$

해결책:$p{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle p(x)}$를 위의 다항식이라고 하자

상수항 = 2

$x$ ${\displaystyle 3^{}}$의 계수 = ${\displaystyle 1}$ ${\$displaystyle x^{3}=$1}$

2의 가능한 모든 인자는$$± ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \pm 1}$ 및$$± 2 ${\displaystyle \pm 2}$입니다$.$ $x$ = -${\displaystyle 1}$ ${\$displaystyle x = -1}을(를) 대입하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle(-1)^{3}+7 (-1)^{2}+8 (-1)+2=0}$

So, ${\displaystyle (x-(-1))}$, i.e, ${\displaystyle (x+1)}$ is a factor of ${\displaystyle p(x)}$. On dividing ${\displaystyle p(x)}$ by ${\displaystyle (x+1)}$, we get

몫 = x ${\displaystyle 2^{}}$ + ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x^{2}$ + $6x+2}$

따라서 $p$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ $2$+ 6$x$+ $2 )$ ( x + $1$) {\displaystyle p(x)= (x^{2} + 6x+2) (x+1)}

Out of these, the quadratic factor can be further factored using the quadratic formula, which gives as roots of the quadratic ${\displaystyle -3\pm {\sqrt {7}}.}$ Thus the three irreducible factors of the original polynomial are ${\displaystyle x+1,}$ ${\displaystyle x-(-3+{\sqrt {7}}),}$ and ${\displaystyle x-(-3-\sqrt{7}).}$${\displaystyle x-(-3-{\sqrt {7}}).$$}$

증명

정리의 몇 가지 증명이 여기에 제시되어 있습니다.

${\displaystyle x}$ -${\displaystyle }$a ${\displaystyle$ ${\displaystyle \mathrm{x-a}}$$}$ 가 f${\displaystyle }$( x ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle$f$(x),}$ 의 $인자$이면 $f$ ${\displaystyle (a)}$ = ${\displaystyle 0.}$ ${\$displaystyle f (a) = 0.} 이므로 다음에서는 그 역만 증명합니다.

증명 1

이 인수는 $a$ = ${\displaystyle 0}$ ${\$displaystyle a = 0}에 대한 정리를 확인하는 것으로 시작합니다.That is, it aims to show that for any polynomial ${\displaystyle f(x)}$ for which ${\displaystyle f(0)=0}$ it is true that ${\displaystyle f(x)=x\cdot g(x)}$ for some polynomial ${\displaystyle g(x)}$. To that end, write ${\displaystyle f(x)}$ explicitly as ${\displaystyle c_0+c_1{x}^1+\dots }$${\$$}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n$ 이제 0 $=$ ${\displaystyle \mathrm{f}}$( $0$ ) $=$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle \{\backslash }$displaystyle 0 $=$ f (0) $=$ c_{0}}이므로 c 0 $=$ 0 {\displaystyle c_{0}$=$ 0}임을 $확인$하십시오.따라서,${\displaystyle }f$ ( ${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle x}$($c$1 + c$2$ x 1 + … + c n x n - 1 ) = x ⋅ g ( x ) {\displaystyle f(x) = x (c_{1} + c_{2)$}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n-1$})$=x\$cdot $g(x$ 이 경우는 이제 증명되었습니다.

남은 $것$은 ${\displaystyle \mathrm{a}}$ =$$0 {\displaystyle a = 0} 경우로 줄여서 $일반적$인$${\$displaystyle a}$에 대한 정리를 증명하는 것입니다.To that end, observe that ${\displaystyle f(x+a)}$ is a polynomial with a root at ${\displaystyle x=0}$. By what has been shown above, it follows that ${\displaystyle f(x+a)=x\cdot g(x)}$ for some polynomial ${\displaystyle g(x)}$. Finally, ${\dis$$playstyle f(x$)$=f((x-a$)+a)$=$(x-a)\cdot g(x-a)}.

증명2

First, observe that whenever ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ belong to any commutative ring (the same one) then the identity ${\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)(y^{n-1}+x^{1}y^{n-2}+\dotsc +x^{n-2}y^{1}+x^{n-1})}$ is true.이는 괄호를 곱하여 표시됩니다.

${\displaystyle f}$ (${\displaystyle X)}$ ∈ R$$[ X ] ${\displaystyle f(X$)\$in R\left[$X\right]}에서$$R ${\displaystyle$ R}을(를) 교체 링이라고 합니다.Write ${\displaystyle f(X)=\sum _{i}c_{i}X^{i}}$ for a sequence of coefficients ${\displaystyle (c_{i})_{i}}$. Assume ${\displaystyle f(a)=0}$ for some ${\displaystyle a\in R}$. Observe then that ${\displaystyle f(X)=f(X)-f(a)=\sum _{i}c_{i}(X^{i}-a^{i}$$)}.$위에서 논의한$$ $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{y}^{}}$ n ${\$ x$^{n}-y^{n}$ 형식의 식 인수분해에 의해 각 합에 $X{\displaystyle }$- ${\displaystyle$ $X-a$$}$가 있음을 관찰합니다.따라서 $X{\displaystyle }$ -${\displaystyle X-a}$을${\displaystyle (}$를${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f(X)}$의 인자로$$ 결정합니다$.$

증명3

The theorem may be proved using Euclidean division of polynomials: Perform a Euclidean division of ${\displaystyle f(x)}$ by ${\displaystyle x-a}$ to obtain ${\displaystyle f(x)=(x-a)Q+R}$ where ${\displaystyle \deg(R)<\deg(x-a)}$. Since ${\displaystyle \deg$$(R)<\deg(x-a)},$$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 일정함을 따릅니다.마지막으로 $0$ = ${\displaystyle f}$(a ${\displaystyle )}$= R {\displaystyle 0 = f (a) =$R$ $그렇다면{\displaystyle }$(${\displaystyle x)}$ $=$ ${\displaystyle (x}$ -$$a ) Q {\displaystyle f(x)$=$ (x - a)Q}입니다.

위의 유클리드 분할은 $x{\displaystyle }$- a {\$displaystyle x-a}$가 단다항식이기 때문에 모든 교환환에서 가능하며, 따라서 다항식 긴 분할 알고리즘은 계수의 분할을 포함하지 않습니다.

다른 정리의 따름

이는 다항식 나머지 정리의 따름이지만, 반대로 이를 나타내기 위해 사용될 수도 있습니다.

다항식이 다변량이지만 계수가 대수적으로 닫힌 필드를 형성하는 경우 Nullstellensatz는 중요하고 심층적인 일반화입니다.

참고문헌