합리적 뿌리 정리

대수학에서 합리적 뿌리 정리(또는 이성적 뿌리 시험, 이성적 영점 정리, $이성적$ 영점시험 또는 p/q 정리)는 다항식의 합리적 해법에 대한 제약을 명시한다.

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0

$a_{i}\in \mathbb {Z}$ 계수 $a_{i}\in \mathbb {Z}$ $a_{i}\in \mathbb {Z}$ $a_{i}\in \mathbb {Z}$ ${\$ 및 $a_{0},a_{n}\neq 0$ $a_{0},a_{n}\neq 0$ $a_{0},a_{n}\neq 0$ $a_{0},a_{n}\neq 0$ ${\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0$ 방정식의 해법은 왼쪽 다항식의 루트 또는 0이라고도 한다.

정리에서는 $p$ 와 $q$ 가 비교적 원시적이 되도록 가장 낮은 용어로 쓰여진 각 합리적 용액 $x$ = $q$ ½은 다음과 같이 만족한다고 기술하고 있다.

$p$ 는 상수 용어 $a$ 의₀ 정수 인자이다.

$q$ 는 선행 계수 $a$ 의_n 정수 계수다.

합리적 뿌리 정리는 다항식의 인자화에 관한 가우스의 보조정리(단일 선형인자에 대한)의 특수한 경우다. 적분된 뿌리정리는 $선행계수$ 가_na = $1일$ 때 합리적 뿌리정리의 특수한 경우다.

적용

그 정리는 다항식의 모든 합리적 뿌리를 찾는 데 사용된다. 그것은 그것들이 뿌리인지 확인하기 위해 검사될 수 있는 한정된 수의 가능한 분수를 제공한다. 합리적인 루트 $x$ = $r$ 이 발견되면 다항식 긴 분할을 사용하여 다항식에서 선형 다항식 $(x$ – $r)$ 을 인수할 수 있어, 그 뿌리가 원래의 다항식의 뿌리이기도 한 낮은 수준의 다항식을 얻을 수 있다.

입방정식

일반 입방정식

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

정수 계수와 함께 복잡한 평면에 세 개의 용액이 있다. 만약 합리적인 뿌리 테스트가 합리적인 해결책을 찾지 못한다면, 그 해결책을 대수적으로 표현하는 유일한 방법은 큐브 뿌리를 사용한다. 그러나 이 테스트에서 합리적인 $해결책$ r을 찾으면 ( $x$ – r $)$ 인수하면 2차 다항식이 남게 되는데, 2차 공식으로 발견된 2개의 뿌리는 입방체의 나머지 2개의 뿌리로 큐브 뿌리를 피한다.

교정쇄

기초 교정쇄

Let $P(x)\ =\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ with $a_{0},\ldots a_{n}\in \mathbb {Z} .$

일부 coprime $p$ 에 대해 $P (p / q)$ = $0$ $,$ $q$ ∈:

P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.

분모를 지우려면 양측에 $q$ 를ⁿ 곱하십시오.

a_{n}p^{n}p^{n-1}+a_{n-1}p^{n-1q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.

$용어$ 를₀ 오른쪽으로 옮기고 $왼쪽$ 에서 p를 인수하면 다음과 같은 결과가 나온다.

p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}q^{n}.

따라서 $p$ 는 $aq$ 를₀ⁿ 나눈다. 그러나 $p$ 는 $q$ 와 일치하므로 $q$ 에ⁿ 따라서 유클리드의 보조정리 $p$ 에 의해 나머지 요소 $a$ 를₀ 나누어야 한다.

반면에 $용어$ 를_n 오른쪽으로 이동하고 왼쪽에 있는 $q$ 를 인수하면 다음과 같은 결과가 발생한다.

q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}}.

전과 같이 $q$ 가 $a$ 를_n 나누는 것을 따른다.^[1]

가우스의 보조정리 사용 증명

만약 다항식의 모든 계수를 나누는 비경쟁 인자가 있다면, 가우스의 보조정리라는 의미에서 원시 다항식을 얻을 수 있도록 계수의 가장 큰 공통점수로 나눌 수 있다; 이것은 이성적 뿌리 집합을 바꾸지 않고 가항성 조건만 강화한다. 저 보조정리기는 다항식 $인자$ 가Q[ $X]$ 에 있으면 원시 다항식의 $산물$ 로서Z[ $X]$ 도 인자가 된다고 말한다. 이제 어떤 합리적인 $루트$ p $/ q$ 는 다항식의 Q $[X]$ 의 1도 인수에 해당하며, $p$ 와 $q$ 가 동일하다고 가정할 때 원시적인 대표자는 $qx$ - $p$ 이다. 그러나 $qx$ - $p$ 의 $Z [X]$ 의 모든 배수는 $q$ 로 분할할 수 있는 선도적 용어와 $p$ 로 분할할 수 있는 상수적 용어가 있는데, 이 용어는 이 문구를 증명한다. 이 인수는 보다 일반적으로 $P$ 의 모든 수정 불가능한 인수는 정수 계수와 $P$ 의 해당 계수를 나누는 선행 계수와 상수 계수를 갖는 것으로 가정할 수 있음을 보여준다.

예

먼저

다항식에서는

2x^{3}+x-1,

완전히 감소된 합리적 근은 1로 균등하게 분할되는 분자와 2로 균등하게 분할되는 분모를 가져야 할 것이다. 따라서 가능한 유일한 합리적 뿌리는 ±1/2와 ±1이다. 이들 중 어느 것도 다항식을 0과 동일시하지 않기 때문에 합리적 뿌리가 없다.

둘째

다항식에서는

x^{3}-7x+6

유일하게 가능한 합리적 뿌리는 6을 나누는 분자와 1을 나누는 분모를 가지며, 가능성을 ±1, ±2, ±3, ±6으로 제한한다. 이 중 1, 2, –3은 다항식을 0과 동일시하고, 따라서 그 합리적인 근원이 된다. (입방체는 3개의 뿌리만 가지고 있기 때문에 사실상 이것들이 그것의 유일한 뿌리들이다; 일반적으로, 다항식은 어떤 합리적이고 어떤 비합리적인 뿌리를 가지고 있을 수 있다.)

세 번째

다항식의 모든 이성적 뿌리

3x^{3}-5x^{2}+5x-2

다음과 같이 상징적으로 표시된 숫자에 포함되어야 한다.

\pm {1,2}{1,3}=\pm \left\{1,2,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}\right\}.

이 8개의 루트 후보 $x$ = $r$ 은 예를 들어 호너의 방법을 사용하여 $P (r$ )를 평가하여 테스트할 수 있다. $P (r)$ = $0$ 인 것이 정확히 하나 있는 것으로 밝혀졌다.

이 과정은 더 효율적으로 만들어질 수 있다: $P (r)가 0$ 일 경우, 나머지 후보자들의 명단을 단축하는 데 사용될 수 있다.^[2] For example, $x = 1$ does not work, as $P (1) = 1$ . Substituting $x = 1 + t$ yields a polynomial in $t$ with constant term $P (1) = 1$ , while the coefficient of $t 3$ remains the same as the coefficient of $x 3$ . Applying the rational root theorem thus yields the possible roots $t=\pm {\tfrac {1}{1,3}}$ , so that

x=1+t=2,0,{\tfrac {4}{3},{\tfrac {2}{3}}.

진정한 뿌리는 두 가지 리스트에서 모두 발생해야 하므로 합리적인 뿌리 후보 리스트는 $단지$ x = $2$ 와x = 2 $/3$ 으로 줄어들었다.

$k$ ≥ $1$ 의 합리적 뿌리가 발견되면 호너의 방법은 또한 그 뿌리가 정확히 $원래$ 의 다항식의 뿌리인 n - $k$ 의 다항식도 산출하게 된다. 어느 후보도 해법이 안 된다면 합리적 해법은 있을 수 없다.

참고 항목

메모들

^ Arnold, D.; Arnold, G. (1993). Four unit mathematics. Edward Arnold. pp. 120–121. ISBN 0-340-54335-3.
^ King, Jeremy D. (November 2006). "Integer roots of polynomials". Mathematical Gazette. 90: 455–456.

참조

찰스 D. 밀러, 마가렛 L. 리알, 데이비드 1세 슈나이더: 대학 대수학의 기초. Scott & Forsman/Little & Brown 고등교육, 1990년 3월호, ISBN 0-673-38638-4, 페이지 216–221
필립 S. 존스, 잭 D. Bedient: 기초 수학의 역사적 뿌리다. 도버 쿠리어 출판물 1998, ISBN 0-486-25563-8, 페이지 116–117(온라인 카피, 페이지 116, Google 북스)
론 라슨: 미적분학: 적용 접근 방식. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, 페이지 23–24(온라인 카피, 페이지 23, Google 북스)

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Rational Zero Theorem". MathWorld.
RationalRootTheorem at PlanetMath
스콧 E의 완벽한 n번째 힘을 제외하고는 정수의 n^th 루트가 비이성적이라는 또 다른 증거. 브로디
purplemath.com의 Rational Roots 테스트

[1] Arnold, D.; Arnold, G. (1993). Four unit mathematics. Edward Arnold. pp. 120–121. ISBN 0-340-54335-3.

[2] King, Jeremy D. (November 2006). "Integer roots of polynomials". Mathematical Gazette. 90: 455–456.

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